Hierarki av alfer

Hierarkin av alfer i mängdlära och i matematik i allmänhet är ett ordnat system av generaliserade (”kardinal”) tal som används för att representera styrkan (antalet element) hos oändliga välordnade mängder [1] . Kardinaliteten för en ändlig mängd är antalet av dess element, så hierarkin av kardinaltal inkluderar de vanliga naturliga talen , ordnade på traditionellt sätt. Nästa i hierarkin är oändliga välordnade uppsättningar, vars kardinalitet (kardinalnummer) betecknas med bokstaven alef (ℵ) i det hebreiska alfabetet med index, och själva indexet kan vara ett oändligt ordningsnummer . Uppsättningar av större kardinalitet motsvarar ett högre värde på indexet.

Den första av aleferna är kraften i uppsättningen naturliga tal (" countable "), som indikeras av symbolen (läs: "aleph-noll"), följt av (aleph-one) och så vidare. $\aleph_0$ $\aleph_1$

Alefernas hierarki beskrevs av den tyske matematikern Georg Kantor i artikeln "On the substantiation of the doctrine of transfinite sets" (i två delar, 1895-1897) [2] .

Alefnotationen ska inte förväxlas med Wallis oändlighetssymbol ( ), som förekommer ofta i kalkyl och andra grenar av matematiken. Wallis-symbolen betecknar antingen en obegränsad ökning ( betyder en obegränsad minskning) av en funktion, eller en speciell ("vid oändligheten ") punkt på den utökade tallinjen eller komplexa planet , medan alfen är ett mått på mängden kardinalitet. $\infty$ $-\infty$

Allmän definition och egenskaper

Som nämnts ovan anger symbolen den naturliga seriens räknebara kraft. Låta vara något ordningstal ; betrakta motsvarande ordningsföljd. Då betecknar symbolen [1] kardinaliteten för mängden av alla ordningstal mindre än $\aleph_0$ $\alfa$ $\omega _{\alpha }.$ $\aleph _{\alpha }$ $\omega _{\alpha }.$

Vissa fastigheter [3] .

Alla alfer är jämförbara med varandra, av de två alferna är den med det större indexet större.
Varje kardinalnummer är detsamma som en av aleferna ( det valda axiomet behövs för beviset ).
Antagande: känd som kontinuumhypotesen . $2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}$
Uppsättningen av alla alfer mindre än en given är välordnad, och dess ordningstyp är lika med $\aleph _{\alpha },$ $\alfa.$
Kardinalnumret följer omedelbart, det finns inga mellanpotenser däremellan. ${\displaystyle \aleph _{\alpha +1))$ $\aleph _{\alpha },$
Det finns inget största element bland alfer. Hierarkin av aleferna bildar inte en uppsättning i betydelsen av Zermelo-Fraenkels axiomatik .

Exempel

Aleph noll

$\aleph_0$ (alef-noll) är styrkan av mängden naturliga tal, den första oändliga kardinal. Mängden av alla ändliga ordningstal betecknas med en grekisk liten bokstav ( omega ), eller så har den kardinalitet $\mathbb {N} ,$ $\omega$ $\omega _{0};$ $\aleph _{0}.$

En mängd har makt om och bara om den kan räknas , det vill säga det finns en en-till-en-överensstämmelse mellan den och mängden naturliga tal . Exempel på kraftuppsättningar : $\aleph_0$ $\mathbb {N}$ $\aleph_0$

mängden av alla kvadrattal , mängden av alla kubiktal ;
uppsättning av alla jämna tal , uppsättning av alla udda tal;
mängden av alla primtal , mängden av alla sammansatta tal ;
mängden av alla heltal ;
mängden av alla rationella tal ;
helheten av alla geometriska storheter som kan byggas med en kompass och linjal ;
mängden av alla algebraiska tal ,
uppsättningen av alla beräkningsbara tal ,
uppsättningen av alla definierbara tal ;
uppsättningen av alla binära strängar av ändlig längd;
mängden av alla ändliga delmängder av en given räknebar mängd.

Oändliga ordningstal :

{\displaystyle \omega ,\omega +1,\omega \cdot 2,\omega ^{2},\omega ^{\omega ))

alla hänvisar till räknebara uppsättningar [4] . Till exempel, följande sekvens (med ordningen ω 2) som innehåller först alla positiva udda tal och sedan alla positiva jämna tal:

{1, 3, 5, 7, 9, ..., 2, 4, 6, 8, 10, ...}

beskriver en viss ordning på uppsättningen av positiva heltal av kardinalitet . $\aleph_0$

Om valets axiom håller , eller åtminstone axiomet för det räknebara valet (svagare), så mindre än någon annan oändlig kardinal. $\aleph_0$

Aleph-one

$\aleph_1$ (aleph-one) är kardinaliteten av mängden av alla räknebara ordningstal , som betecknas (ibland ). Ordinalen är större än alla räknebara ordningstal och motsvarar oräkneliga mängder. Därför sammanfaller inte med och är större än det. $\omega_{1}$ ${\displaystyle \Omega _{1))$ $\omega_{1}$ $\aleph_1$ $\aleph_0$

Om Zermelo-Fraenkel- axiomet accepteras (även utan valfritt axiom ), så finns det inga andra kardinaltal mellan och . Med hjälp av valets axiom kan vi visa en av de mest användbara egenskaperna hos en mängd, varje räknebar delmängd har en övre gräns i (detta följer av det faktum att en räknebar förening av räknebara mängder är räknebar). Detta faktum är analogt med situationen i : varje ändlig mängd naturliga tal har ett maximalt element som också är ett naturligt tal, och den ändliga föreningen av ändliga mängder är ändlig. $\aleph_0$ $\aleph_1$ $\omega _{1}\colon$ $\omega_{1}$ $\omega_{1}$ $\aleph_0$

Om vi accepterar kontinuumhypotesen , då sammanfaller den med kraften i fältet av reella tal ( kontinuum ). Om kontinuumhypotesen är felaktig, så motsvarar kontinuumet en av de mer avlägsna aleferna. $\aleph_1$

Arithmetic of the Alephs

Georg Cantor definierade operationer som liknar vanlig aritmetik för alla kardinaltal. Deras egenskaper skiljer sig dock på många sätt från de vanliga och kräver ofta tillämpning av valets axiom . Exempel [5] :

Summan av varje alef med sig själv ger samma alef: $\aleph _{\alpha }+\aleph _{\alpha }=\aleph _{\alpha }.$
Den ändliga graden av alla alef ger samma alef.
Summan och produkten av olika alfer ger den största av dem.

Se även

insatsnummer

Anteckningar

↑ 1 2 Encyclopedia of Mathematics, 1977 .
↑ Joseph Warren Dauben; Joseph Warren Dauben. Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite (engelska) . — ISBN 9780691024479 .
↑ Kuratovsky, Mostovsky, 1970 , sid. 283-284.
↑ Jech, Thomas (2003), Set Theory , Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag
↑ Kuratovsky, Mostovsky, 1970 , sid. 284-286.

Litteratur

Efimov B. A. Alephs // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer) . - M .: Soviet Encyclopedia , 1977. - T. 1. - S. 235.
Kuratovsky K. , Mostovsky A. Mängdlära / Översatt från engelska av M. I. Kortfattat, redigerad av A. D. Taimanov. - M . : Mir, 1970. - 416 sid.

Länkar

Weisstein, Eric W. Aleph-0 (engelska) på Wolfram MathWorld -webbplatsen .