Oräkneligt set

En oräknelig mängd är en oändlig mängd som inte kan räknas .

Några likvärdiga definitioner av oräknelighet för en uppsättning : $X$

det finns ingen injektiv mappning till mängden naturliga tal ; $X$ $\mathbb {N}$
$X$ är inte tomt , och för varje numrerad sekvens av element finns det minst ett element som inte ingår i den; $X$ $X$
- med andra ord: är icke-tom, och det finns ingen surjektiv avbildning av mängden naturliga tal på ; $X$ $\mathbb {N}$ $X$
makt är varken ändlig eller lika med . $X$ $\aleph_0$

Dessa definitioner är likvärdiga i Zermelo-Fraenkel-systemet utan att använda valets axiom . Bevis på att dessa definitioner är likvärdiga med följande:

effekt överstiger strängt $X$ $\aleph_0$

- kräver användning av valets axiom.

En superuppsättning av en oräknelig uppsättning är oräknelig. Det enklaste exemplet på en oräknelig mängd är kontinuum , frågan om existensen av oräkneliga mängder med en potens mindre än kontinuumets potens är kontinuumhypotesens innehåll .

Litteratur

M. I. Voitsekhovsky. Mathematical Encyclopedia : [i 5 volymer] / Kap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1982. - T. 3: Koo - Od. - 1184 stb. : sjuk. — 150 000 exemplar.