Delmängd

En delmängd i mängdlära är begreppet en del av en mängd.

Definition

En mängd kallas en delmängd av mängden om alla element som hör till också tillhör [1] . Formell definition: $A$ $B$ $A$ $B$

(A\subset B)\Leftrightarrow \left(\forall x(x\in A\Rightarrow x\in B)\right)\,

Det finns två symboliska notationssystem för delmängder:

" är en delmängd av (icke-strikt)" betecknas $A$ $B$	" är en strikt delmängd " betecknas $A$ $B$	Notera
$A\subseteq B$	$A\delmängd B$	Symbolen är en analog , det vill säga i det fall lika uppsättningar tillåts; $\subseteq$ $\leq$ $A\subseteq B$ $A=B$ karaktären är en analog till , det vill säga i fallet i finns det element som inte är i . $\delmängd$ $<$ $A\delmängd B$ $B$ $A$
$A\delmängd B$	$A\subsetneq B$	En enklare symbol används för "(icke-strikt) delmängd" eftersom den anses vara mer "grundläggande".

Båda notationssystemen tillhandahålls av ISO 31-11-standarden , men använder symbolen i olika betydelser, vilket kan leda till förvirring. I den här artikeln kommer vi att använda den senaste notationen. $\delmängd$

En mängd kallas en supermängd av en mängd om den är en delmängd av en mängd . $B$ $A$ $A$ $B$

Det som är en supermängd av uppsättningen skrivs ner , dvs. $B$ $A$ $B\uppset A$ $(A\subset B)\Leftrightarrow (B\supset A)\,.$

Mängden av alla delmängder av en mängd betecknas och kallas boolean . $A$ ${\mathcal {P}}(A)$

Mängder och kallas lika endast när de består av samma element, det vill säga och . [2] $A$ $B$ $A=B$ $A\subseteq B$ $B\subseteq A$

Egen och felaktig delmängd

Varje uppsättning bland dess delmängder innehåller sig själv och den tomma uppsättningen . Själva uppsättningen och den tomma uppsättningen kallas inkorrekta delmängder , de återstående delmängderna kallas korrekta [3] . $B$ $B$

Det vill säga, om vi vill utesluta sig själv och den tomma mängden från övervägande, använder vi begreppet en riktig delmängd, som definieras enligt följande: $B$

uppsättningen är en riktig delmängd av uppsättningen endast om och , .

A

B

A\delmängd B

A\neq B

A\neq \varnothing

Utländsk litteratur

I utländsk litteratur kallas olämpliga delmängder i ovanstående mening (mängden B själv och den tomma mängden) triviala , och korrekta undermängder kallas icketriviala , och termen " korrekt delmängd " används i betydelsen "strikt inkludering av A i B ” eller ”delmängd av A , strikt inkluderad i mängden B , det vill säga en som inte tillhör åtminstone ett element i mängden B ", det vill säga här begreppet " rätt delmängd " redan, tvärtom , inkluderar den tomma uppsättningen.

I det här fallet, om den tomma uppsättningen dessutom ska uteslutas från beaktande, måste begreppet en icke-trivial delmängd användas, vilket definieras enligt följande:

en mängd är en icke-trivial delmängd av mängden om den är dess egen delmängd (rätt delmängd) och .

A

B

A

B

A\neq \varnothing

Exempel

Mängder är delmängder av en mängd ${\displaystyle \varnothing ,~\{0\},~\{1,3,4\},~\{0,1,2,3,4,5\))$ $\{0,1,2,3,4,5\}.$
Uppsättningar är triviala (olämpliga) delmängder av uppsättningen ; alla andra delmängder av elementen i uppsättningen är icke-triviala eller korrekta. $\varnothing ,~\{0,1,2,3,4,5\}$ $\{0,1,2,3,4,5\},$
Mängder är delmängder av en mängd $\{\varnothing ,\uparrow ,{\mbox{oca))\},~\{\$,\%,*,\uparrow \},~\{\varnothing \},~\varnothing$ $\{\$,\%,\varnothing ,\uparrow ,*,{\mbox{oca))\}.$
Låt sedan $A=\{a,b\}.$ ${\mathcal {P}}(A)=\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}.$
Låt . Då och också (det vill säga, C är varken en strikt eller en icke-strikt delmängd av A ). ${\displaystyle A=\{1,2,3,4,5\},\;B=\{1,2,3\},\;C=\{4,5,6,7\))$ $B\subset A,\;C\inte \subset A,$ $\neg (C\subsetneq A)$

Egenskaper

Delmängdsrelationen har ett antal egenskaper [4] .

Delmängdsrelationen är en delordningsrelation :
- Delmängdsrelationen är reflexiv : $B\subset B$
- Delmängdsrelationen är antisymmetrisk : $(A\subset B\;\land \;B\subset A)\Leftrightarrow (A=B)$
- Delmängdsrelationen är transitiv : $(A\subset B\;\land \;B\subset C)\Rightarrow (A\subset C)$
Den tomma mängden är en delmängd av någon annan, så det är den minsta mängden med avseende på delmängdsrelationen: $\varnothing \subset B$
För alla tre uppsättningar och sådana att alla påståenden: $A,$ $B$ $X$ $A,B\subset X,$
- $A\subset B;$
- $A\cap B=A;$
- $A\cup B=B;$
- $X\setminus B\subset X\setminus A;$
- $(A\cap X)\setminus B=\varnothing ;$
- $A\cap (X\setminus B)=\varnothing ;$
- $(X\setminus A)\cup B=X;$
- $B^{\complement }\subset A^{\complement }$

är likvärdiga [5] .

Delmängder av ändliga mängder

Om den ursprungliga mängden är ändlig har den ett ändligt antal delmängder. Nämligen, -elementuppsättningen har delmängder (inklusive den tomma ). För att verifiera detta räcker det att notera att varje element antingen kan inkluderas eller inte inkluderas i en delmängd, vilket innebär att det totala antalet delmängder blir en -faldig produkt av tvåor. Om vi endast betraktar delmängder av -elementuppsättningen av element, så uttrycks deras antal av den binomiala koefficienten . För att verifiera detta faktum kan du välja elementen i underuppsättningen sekventiellt. Det första elementet kan väljas på sätt, det andra på ett sätt, och så vidare, och slutligen kan det e elementet väljas på ett sätt. Således får vi en sekvens av element, och exakt en delmängd motsvarar sådana sekvenser. Därför finns det sådana undergrupper totalt. $n$ $2^{n}$ $n$ $n$ $k\leq n$ $\textstil {\binom {n}{k))$ $n$ $n-1$ $k$ $n-k+1$ $k$ $k!$ $\textstyle {\frac {n(n-1)\dots (n-k+1)}{k!)}}={\binom {n}{k}}$

Anteckningar

↑ Birkhoff, 1976 , sid. tio.
↑ Melnikov O. V., Remeslenikov V. N., Romankov V. A. Allmän algebra. Volym 1. - M., Nauka, 1990. - sid. elva
↑ Delmängd. // Matematisk encyklopedisk ordbok. / ed. Yu. V. Prokhorov . - M., sovjetisk uppslagsverk, 1988. - sid. 465
↑ V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . Kapitel 2. Reella tal // Matematisk analys / Ed. A.N. Tikhonova . - 3:e uppl. , reviderad och ytterligare - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 65. - 672 sid. — ISBN 5-482-00445-7 .
↑ Kelly J. Allmän topologi. - M., Nauka, 1981. - sid. 16

Litteratur

Vereshchagin N.K., Shen A. Föreläsningar om matematisk logik och teori om algoritmer. Del 1. Början av mängdlära - 3:e uppl., stereotyp. - M. : MTSNMO, 2008. - 128 sid. - ISBN 978-5-94057-321-0 .
Birkhoff G. , Barty T. Modern Applied Algebra. — M .: Mir, 1976. — 400 sid.

Länkar

Weisstein, Eric W. Subset (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .

Logik

Filosofi • Semantik • Syntax • Historia

Logiska grupper

klassisk logik	Aristotelisk logik propositionell logik Första beställningslogik Andra ordningens logik högre ordningslogik
matematisk logik	mängdteori Modellteori Beräkningsbarhetsteori Bevisteori och konstruktiv matematik Linjär logik formellt system naturlig slutsats Sekvenskalkyl Algebra av logik Relevant logik Deontisk logik intuitionistisk logik Lambek kalkyl
Icke-klassisk logik	intuitionism rolig logik Substrukturell logik logik Beskrivningslogik Flervärdig logik Logisk syntes Bindande logik Temporal logik Modal logik ( Hybrid logik ) epistemisk logik
Filosofisk logik	Kritiskt tänkande informell logik deduktiva resonemang

Komponenter

Bortförande (logik)
Sannolikhet
påstående
Avdrag / Induktion / Traduktion
Verklighet
induktivt resonemang
slutledning
boolesk konstant
Sann
logiskt följa
Logisk form
Nödvändiga och tillräckliga förutsättningar
Beskrivning
Definition
Utbyte
Paket
Kontrovers ( Antinomy )
Syntetisk bedömning / Analytisk bedömning
Länk

Lista över booleska symboler