Modal logik

Modal logik (från latin  modus  - metod, mått) - logik , där det, förutom vanliga logiska kopplingar, variabler och predikat , finns modaliteter (modala operatorer, andra namn: modala begrepp, modala relationer, modala egenskaper, uppskattningar).

En logisk teori är modal om [1]

Modala operatörer används för att bedöma sanningen i en dom (detaljerat: för att bedöma sanningen i domar om sanningen i en situation eller dom). Man kan säga att modal logik är studiet av det deduktiva beteendet hos uttrycken "det är nödvändigt att", "det är möjligt att" och liknande (i snäv mening kallas det [2] "nödvändighetens och möjlighetens logik ). ”). Termen "modal logik" gäller dock även för andra system som arbetar med liknande koncept (se nedan för varianter av modaliteter). Modala logiker är tillämpbara inom datavetenskap och speciellt inom filosofi, där bedömningar med modaliteter tillämpas brett och samtidigt intrikat. [3]

Ovanstående krav anses nödvändiga för all modal logik, och den första av dem motsvarar själva definitionen av modal logik, medan resten förhindrar modal logik från att urarta till vanlig propositionell logik (som inte har kvalifikationer genom modal operatorer). En av de enklaste modala logikerna - Kripkes logik föreslagen av Saul Kripke, kallad "logic K" till hans ära - innehåller endast två modala operatorer (av de obligatoriska, bara "nödvändiga", och den andra är en valfri "kanske ") och är inte [3 ] tillräckligt stark för att ta hänsyn till den "nödvändiga" operatören.

Modal logik tillämpas [2] i språkfilosofin, epistemologi, metafysik och formell semantik. Samtidigt visade sig modallogikens matematiska apparat vara användbar inom många andra områden, inklusive [4] spelteori, programverifiering, webbdesign, mängdteori [5] och social epistemologi [6]

Jämförelse med formell logik

Formell logik kan förenklas till en kedja av sann kunskap → process → slutsatser .

Var kan man få sann kunskap för formell logik om bara enstaka sann kunskap är universell?

Logik måste reagera på verkliga situationer, och det finns få universella sanningar .

Modal logik i vid mening fungerar :

Det vill säga, det är en mer verklig/praktisk förlängning av propositionell logik och första ordningens logik .

Exempel på uttalanden

Till exempel kan modal logik hantera uttalanden som "Moskva har alltid varit Rysslands huvudstad" eller "S:t Petersburg, en gång i det förflutna, var Rysslands huvudstad", som är omöjliga eller extremt svåra att uttrycka i en icke-modalt språk. Förutom tidsmässiga och rumsliga modaliteter finns det andra, som "det är känt att" (kunskapens logik) eller "det kan bevisas att" ( bevisbarhetens logik ).

Vanligtvis används den dubbla också för att beteckna en modal operator. till den :

Detta återspeglar att att säga "Moskva var en gång Rysslands huvudstad" är detsamma som att säga "det är inte sant att Moskva aldrig var Rysslands huvudstad".

Modaliteter

Modaliteter är av olika slag. Modalitet är en bedömning, en kvalifikation som fastställer uttalandets karaktär. Påståenden som bara fixar själva faktumet att en situation är närvarande eller frånvaro kallas assertoriska. Uttalanden som utöver detta kännetecknar karaktären av ett sådant påstående – det vill säga innehåller modaliteter – kallas modal. Modaliteter är ordnade i rad efter styrka [7] : den starkaste modaliteten är nödvändig; en svagare modalitet är frånvaron av modalitet, det vill säga modaliteten hos ett assertoriskt yttrande; den svagaste modaliteten är möjlighetens modalitet. Modaliteten "Omöjligt B" definieras som "Det är nödvändigt att B inte är sant" (det är viktigt att även om dess namn på vardagligt ryska ser ut som ett förnekande av en möjlighet, förekommer förnekandet av en möjlighet inte i definitionen - modal logik kräver inte inställningen av modaliteten "möjlig" alls).

Med detta sätt att sätta, spelar modala operatorer rollen som tre-fyra-värderade funktioner för att utvärdera sanning eller determinism. Alternativt [4] , i Kripkes semantik, kan modal logik specificeras via 2 modala operatorer som spelar en roll som liknar ytterligare kvantifierare ("nödvändigt" som "alla", och "kanske" som "finns"). Detta följs av en uppräkning av modaliteterna i ordning efter deras modalitetsstyrka (logiska aletiska modaliteter kan betraktas som en grundläggande lista; de tre första modaliteterna i varje stycke krävs, modaliteten "kanske" är inte alltid möjlig att ställa in, den är inte alltid inställd och, till skillnad från de tre första modaliteterna , finns den inte i listan över nödvändiga modaliteter för att logiken ska betraktas som modal logik och fungera som sådan)

Aletiska modaliteter utvärderar sanningen i uttalanden om sanningen i situationer utifrån antingen logikens lagar (logiska aletiska modaliteter) eller kända fakta och naturlagar (ontologiska aletiska modaliteter). Annars kan vi säga att de utvärderar hur mycket den beskrivna situationen bestäms av en viss uppsättning lagar och fakta. [7] Till exempel är påståendet "det är nödvändigt att varje djur är dödligt" sant om "nödvändigt" tolkas som en ontologisk modalitet (eftersom ackumulerade vetenskapliga bevis pekar på detta) - men det är också falskt om "nödvändigt" är tolkas som en logisk modalitet (eftersom den uttrycker påståendet "för vilket x som helst är det sant att om x har egenskap A, så har x egenskap B", som inte har formen av ett allmänt giltigt påstående). [7] Ett annat exempel [7]  är påståendet "det är möjligt att det finns en evighetsmaskin". Om modalitet tolkas som logisk, är påståendet sant (eftersom det bara uttrycker att det finns ett x som har någon egenskap); men om modaliteten tolkas som ontologisk, så är påståendet falskt (eftersom det strider mot fysikens kända lagar och de fakta på vilka de är etablerade).

Skillnaden mellan bedömningarna av kunskap och övertygelser i det här fallet är att påståendet "A tror att B" fixar endast åsikten hos A - medan påståendet "A vet att B" fixar följande situation: "A tror att B och B faktiskt äger rum. [7]

Axiologisk logik utvecklades av filosofen A. A. Ivin .

Dessutom kan andra modaliteter införas [7] : "kommer alltid att vara" (situationen kommer att äga rum i varje ögonblick av framtiden), "var" (situationen ägde rum någon gång i det förflutna), etc. Till exempel [ 3] kan du ställa in:

Dessutom är modaliteter uppdelade enligt flera andra funktioner. [7]

Med mängden lokalitet av modalitet (samma som man talar om lokaliteten för propositionella bindemedel)

Genom att situationen bedöms utifrån ett visst ämnes ställning

Enligt vilken del av uttalandet som kännetecknar modaloperatören

Till exempel [7] , syllogistiskt läge (Barbara)

Varje A är ett B Varje C är ett A Därför är varje C ett B

Är sant om det anses innehålla den interna modaliteten "logiskt nödvändig" - men det är logiskt falskt om det anses innehålla den externa modaliteten "logiskt nödvändigt". Rätt påstående:

Varje A måste vara ett B Varje C är ett A Därför måste varje C vara ett B

Falskt uttalande:

Det är nödvändigt att varje A är ett B Varje C är ett A Därför är det nödvändigt att varje C är ett B

Det finns två regler [7] som måste läggas till i syllogistiken för att testa de dicto syllogisms:

Apodictic - "av det nödvändiga inneboende" eller "av det nödvändiga icke-inneboende"; problematisk - "om möjligtvis inneboende" eller "om möjligtvis inte inneboende".

Kunskapens logik

Arbetar med begreppen "vet", "tror".

Deontisk logik

Verkar med begrepp: skyldighet , tillstånd , norm .

"Du måste göra det" ("Din plikt att göra det") eller "Du kan göra det"

De försökte introducera dessa begrepp för länge sedan, men bara Georg von Wright hade ett betydande resultat i Deontic Logic, Mind, New Series, Vol. 60, nej. 237. (januari, 1951), sid. 1-15. [9]

2007 papper om implementering av deontisk logik. Ett formellt språk för elektroniska kontrakt [10] med hjälp av µ-kalkyl och A. Bieres mu-cke- implementering [11]

Semantik

Inom matematisk logik och datavetenskap är den vanligaste Kripke-semantiken , det finns även algebraisk semantik , topologisk semantik och en rad andra.

Syntax

En modal formel definieras rekursivt som ett ord i ett alfabet som består av en räkningsbar uppsättning propositionsvariabler , klassiska bindeord , parenteser och en modal operator . Formeln är nämligen

  1. för någon .
  2. .
  3. , om och  är formler.
  4. , om  är en formel.

En normal modal logik är en uppsättning modala formler som innehåller alla klassiska tautologier , normalitetens axiom

och stängd enligt reglerna Modus ponens , substitution och införandet av modalitet .

Den minimala normala modala logiken betecknas med .

Anteckningar

Anteckningar

  1. ↑ 1 2 3 4 5 6 Ivin A. A. "Normernas logik". - Moscow State Universitys förlag. — 1973
  2. ↑ 1 2 Sider T. (2010). Logik för filosofi. Oxford University Press
  3. ↑ 1 2 3 Modal logik (Stanford Encyclopedia of Philosophy) . Hämtad 4 oktober 2020. Arkiverad från originalet 7 oktober 2020.
  4. ↑ 12 van Benthem, Johan . Modal logik för öppna sinnen . — CSLI, 2010. Arkiverad 19 februari 2020 på Wayback Machine
  5. ↑ Hamkins, Joel (2012). "Den mängdteoretiska multiversum". Genomgången av symbolisk logik . 5 (3): 416-449. arXiv : 1108.4223 . DOI : 10.1017/S1755020311000359 .
  6. ↑ Baltag, Alexandru; Christoff, Zoe; Rendsvig, Rasmus; Smets, Sonja (2019). "Dynamisk epistemisk logik för diffusion och förutsägelse i sociala nätverk." Studio Logic . 107 (3): 489-531. DOI : 10.1007/s11225-018-9804-x .
  7. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Bocharov V.A., Markin V.I. "Introduktion till logik. Universitets kurs. - M .: ID "FORUM": INFRA-M. — 2008-
  8. ↑ Enligt Ivin A.A. ("Logic of Norms", 1973) är den fjärde modaliteten - motsvarande status som "möjlig" - inte inställd på kunskap; alternativt motsvarar modaliteten "möjligen P" "förekommer bara ibland P" (samma källa)
  9. ↑ http://links.jstor.org/sici?sici=0026-4423%28195101%292%3A60%3A237%3C1%3ADL%3E2.0.CO%3B2-C
  10. ↑ doi : 10.1007/978-3-540-72952-5_11
  11. ↑ A. Biere. mu-cke - effektiv kontroll av mu-kalkylmodeller. I O. Grumberg, redaktör, International Conference on Computer-Aided Verification (CAV'97), nummer 1254 i Lecture Notes in Computer Science, sidorna 468-471. Copyright © 1997 Springer-Verlag
  12. ↑ Karpenko Alexander Stepanovich i Questions of Philosophy 2016 nr 12

Litteratur

Se även

Länkar

  Gå till Wikidata-objektet  Ordböcker och uppslagsverk
I bibliografiska kataloger
 Logik
Filosofi • Semantik • Syntax • Historia
Logiska grupper
klassisk logik
matematisk logik
Icke-klassisk logik
Filosofisk logik
Komponenter
Lista över booleska symboler