Kähler differential

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 6 februari 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Kählers differentialer är en anpassning av differentialformer för godtyckliga kommutativa ringar eller scheman . Detta koncept introducerades av Erich Köhler på 1930-talet.

Definition

Låt och var kommutativa ringar och var en ringhomomorfism . Ett viktigt exempel är när är ett fält och är en enhetlig algebra över (som koordinatringen för ett affint grenrör ). Kählers differentialer formaliserar observationen att derivatan av ett polynom återigen är ett polynom. I denna mening kan begreppet differentiering uttryckas rent algebraiskt. Denna observation kan omvandlas till definitionen av differentialmodulen $R$ $S$ $\varphi :R\to S$ $R$ $S$ $R$

\Omega _{S/R}.

på flera likvärdiga sätt.

Definition av härledningar

$R$ -linjär härledning av en algebra är en homomorfism av -moduler till en -modul som innehåller en bild i dess kärna och som uppfyller Leibniz-regeln . Modulen för Kählers differentialer definieras som en -modul för vilken det finns en universell härledning . Som med andra universella egenskaper betyder detta att d är den bästa möjliga härledningen, i den meningen att vilken annan härledning som helst kan erhållas från den genom sammansättning med -modulen homomorfism. Med andra ord, sammansättning med d inducerar, för vilken -modul M som helst , en isomorfism av -moduler $S$ $R$ $d\colon S\to M$ $S$ $M$ $R$ $d(fg)=f\,dg+g\,df$ $S$ ${\displaystyle \Omega _{S/R))$ ${\displaystyle d\colon S\to \Omega _{S/R))$ $S$ $S$ $S$

\operatorname {Hom} _{S}(\Omega _{S/R},M){\xrightarrow {\cong }}\operatörsnamn {Der} _{R}(S,M).

Konstruktionen av Ω S / R och d kan göras genom att konstruera en fri -modul med en generator ds för var och en av och faktorisering av relationerna $S$ $s$ $S$

dr = 0
d ( s + t ) = ds + dt ,
d ( st ) = s dt + t ds ,

för alla från och alla och från . Universell differentiering översätts till . Det följer av relationerna att den universella härledningen är en homomorfism av -moduler. $r$ $R$ $s$ $t$ $S$ $s$ $ds$ $R$

Definition av augmentation ideal

En annan konstruktion görs genom att betrakta idealet i tensorprodukten , definierat som kärnan i multiplikationskartan . Då kan modulen för Kählers differentialer definieras som [1] Ω S / R = I / I 2 , och den universella härledningen kan definieras som en homomorfism d definierad av formeln $jag$ $S\otimes _{R}S$ ${\displaystyle S\otimes _{R}S\to S,\Sigma s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \Sigma s_{i}\cdot t_{i))$

ds=1\otimes ss\otimes 1.

För att se att denna konstruktion är likvärdig med den föregående, notera att I är kärnan i projektionen som ges av . Därför har vi: $S\otimes _{R}S\to S\otimes _{R}R$ $\Sigma s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \Sigma s_{i}\cdot t_{i}\otimes 1$

S\otimes _{R}S\equiv I\oplus S\otimes _{R}R.

Sedan kan den identifieras med I genom kartläggningen som induceras av den komplementära projektionen . Detta identifierar sig med -modulen som genereras av de formella generatorerna för från , och är en homomorfism av -moduler som tar vilket element som helst till noll. Faktorisering genom att påtvinga Leibniz styre . $S\otimes _{R}S/S\otimes _{R}R$ $\Sigma s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \Sigma s_{i}\otimes t_{i}-\Sigma s_{i}\cdot t_{i}\otimes 1$ $jag$ $S$ $ds$ $s$ $S$ $d$ $R$ $R$ $I^{2}$

Exempel och grundläggande egenskaper

För varje kommutativ ring R bildar Kähler-differentialerna i polynomringen en fri S -modul av rang n genererad av variablernas differentialer: $S=R[t_{1},\dots ,t_{n}]$

\Omega _{R[t_{1},\dots ,t_{n}]/R}^{1}=\bigoplus _{i=1}^{n}R[t_{1},\ prickar t_{n}]\,dt_{i}.

Kählers differentialer överensstämmer med den skalära förlängningen, i den meningen att för den andra R -algebra R ′ och för det finns en isomorfism $S'=R'\otimes _{R}S$

\Omega _{S/R}\otimes _{S}S'\cong \Omega _{S'/R'}.

Speciellt är Kählers differentialer förenliga med lokaliseringar , i den meningen att om W är en multiplikativ delmängd av S , så finns det en isomorfism

W^{-1}\Omega _{S/R}\cong \Omega _{W^{-1}S/R}.

Med tanke på två homomorfismer finns det en kort exakt sekvens av T -moduler $R\to S\to T$

\Omega _{S/R}\otimes _{S}T\to \Omega _{T/R}\to \Omega _{T/S}\to 0.

Om för något ideal I , försvinner termen och sekvensen fortsätter till vänster enligt följande: $T=S/I$ $\Omega _{T/S}$

I/I^{2}{\xrightarrow {[f]\mapsto df\otimes 1}}\Omega _{S/R}\otimes _{S}T\to \Omega _{T/R} \till 0.

Kählers differentialer för scheman

Eftersom Kählers differentialer överensstämmer med lokalisering kan de byggas på ett allmänt schema genom att tillämpa någon av ovanstående definitioner för affina scheman och limma ihop dem. Den andra definitionen har dock en geometrisk tolkning som globaliseras omedelbart. I denna tolkning representerar I ett ideal som definierar en diagonal i fiberprodukten Spec( S ) med sig själv över Spec( S ) → Spec( R ) . Denna konstruktion är mer geometrisk, i den meningen att den återspeglar konceptet med diagonalens första infinitesimala grannskap , med hjälp av funktioner som försvinner på den modulofunktioner som försvinner i andra ordningen. Dessutom kan detta generaliseras till en godtycklig schemamorfism , definierad som idealet för diagonalen i fiberprodukten . Den cotangenskärva , tillsammans med härledningen , definierad på samma sätt som den föregående, är universell bland -linjära härledningar av -moduler. Om U är ett öppet affint underschema av X vars bild i Y ingår i ett öppet affint underschema av V , då är den cotangenta kärven begränsad till en sträng på U , som också är universell. Därför är detta den bunt som är associerad med modulen för Kählers differentialer för ringarna som motsvarar U och V . $f\kolon X\till Y$ $\mathcal{I}$ $X\times _{Y}X$ $\Omega _{X/Y}={\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}$ $d\colon {\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{X/Y}$ $f^{-1}{\mathcal {O}}_{Y}$ ${\mathcal {O}}_{X}$

På samma sätt som det kommutativa-algebraiska fallet finns det exakta sekvenser associerade med schemamorfismer. Om morfismer av scheman och ges , så finns det en exakt sekvens av skivor på $f:X\till Y$ $g:Y\to Z$ $X$

f^{*}\Omega _{Y/Z}\to \Omega _{X/Z}\to \Omega _{X/Y}\to 0

Dessutom, om ett slutet underschema ges av en bunt av ideal , så finns det en exakt sekvens av kärvar $Z\subset X$ $\mathcal{I}$

{\frac {\mathcal {I}}({\mathcal {I}}^{2}}}\to \Omega _{X/Y}\otimes {\mathcal {O}}_{Z} \to \Omega _{Z/Y}\to 0

på $Z$

Anteckningar

↑ Hartshorne, 1981 , sid. 225.

Litteratur

Hartshorne R. Algebraisk geometri / transl. från engelska. V. A. Iskovskikh. — M .: Mir, 1981.