Algebra över ringen

En algebra över en ring är ett algebraiskt system som är både en modul över denna ring och själva ringen, och dessa två strukturer är sammankopplade. Begreppet en algebra över en ring är en generalisering av begreppet en algebra över ett fält , precis som begreppet en modul generaliserar begreppet vektorrum .

Definitioner

Låt vara en godtycklig kommutativ ring med identitet. En modul över en ring , där för en given bilinjär mappning (bilinjär inte över ett fält, utan över en ring ) , en produkt definieras enligt likheten , kallas en algebra över eller -algebra . $K$ $A$ $K$ $K$ $f\colon A\times A\rightarrow A$ $ab=f(a,b)$ $K$ $K$

Enligt definitionen är för alla och relationerna giltiga: $k,\;l\i K$ $a,\;b,\;c\in A$

$a(b+c)=ab+ac$
$(a+b)c=ac+bc$
$(k+l)a=ka+la$
$k(a+b)=ka+kb$
$k(la)=(kl)a$
$k(ab)=(ka)b=a(kb)$
$la=a$ , var är enheten för ringen $ett$ $K$

När det gäller operationerna addition och multiplikation är en algebra en ring.

För , kommutatorn definieras av likheten . -algebra kallas kommutativ om . $a$ $b\i A$ $[a,b]=ab-ba$ $K$ $[a,b]=0$

För associator definieras av jämlikheten . -algebra kallas associativ om . $a,b,c\i A$ $(a,b,c)=(ab)ca(bc)$ $K$ $(a,b,c)=0$

Om det finns ett element så för alla , så kallas det enheten för algebra , och själva algebra kallas en algebra med enhet . $e\in A$ $ea=ae=a$ $a\i A$ $e$ $A$

Ibland definieras en algebra också över icke-kommutativa ringar, i det här fallet, istället för villkoret, krävs ett svagare villkor: . $k(ab)=(ka)b=a(kb)$ $k(ab)=(ka)b$

Vilken ring som helst kan betraktas som en algebra över ringen av heltal , om vi förstår produkten (där är ett heltal) vanligtvis, det vill säga som summan av kopior . Därför kan ringar betraktas som ett specialfall av algebror. $na$ $n$ $n$ $a$

Om vi istället för en bilinjär mappning väljer en multilinjär mappning och definierar produkten enligt regeln: , då kallas den resulterande algebraiska strukturen en -algebra. $f$ $g:A^{n}\högerpil A$ $a_{1}\dots a_{n}=g(a_{1},\dots ,a_{n})$ $n$

Fri algebra

Om en algebra över en kommutativ ring är en fri modul , så kallas den en fri algebra och har en bas över en ring . Om en algebra har en ändlig grund, så sägs algebra vara ändlig-dimensionell. $A$ $K$ $K$ $A$ $A$

Om är ett fält , då, per definition, är -algebra ett vektorrum över och har därför en bas . $K$ $K$ $K$

Grunden för en finitdimensionell algebra betecknas vanligtvis med . Om algebra har en enhet så ingår vanligtvis enheten i grunden och antas vara . Om algebra har en ändlig bas, kan produkten i algebra enkelt återställas baserat på multiplikationstabellerna: $e_{1},\dots ,e_{n}$ $e$ $e_{0}=e$

e_{i}e_{j}=C_{{ij}}^{k}e_{k}

Nämligen, om , , kan produkten representeras som: $a=a^{k}e_{k}$ $b=b^{k}e_{k}$

ab=C_{{ij}}^{k}a^{i}b^{j}e_{k}

Storheterna kallas algebrans strukturkonstanter . $C_{{ij}}^{k}\i K$ $A$

Om algebra är kommutativ, då:

C_{{ij}}^{k}=C_{{ji}}^{k}

Om algebra är associativ, då:

C_{{ij}}^{k}C_{{ml}}^{j}=C_{{im}}^{j}C_{{jl}}^{k}

Egenskaper

Från algebra av polynom (i ett tillräckligt stort antal variabler) över ett fält , som en homomorf bild, kan man få vilken associativ-kommutativ algebra som helst över . $K$ $K$

Kartläggning av algebra

Det är möjligt att betrakta en algebra över en kommutativ ring som en modul över en kommutativ ring . En mappning från en algebra över en kommutativ ring till en algebra över en ring sägs vara linjär om: $A$ $K$ $A$ $K$ $f:A\högerpil B$ $A$ $K$ $B$ $K$

f(a+b)=f(a)+f(b)

f(ka)=kf(a)

för alla , , . Uppsättningen linjära mappningar från en algebra till en algebra betecknas med symbolen . $a$ $b\i A$ $k\in K$ $A$ $B$ ${\mathcal L}(A;B)$

En linjär kartläggning av en algebra till en algebra kallas en homomorfism om för någon , och villkoret är också uppfyllt: om algebran och har en enhet, då: $f:A\högerpil B$ $A$ $B$ $f(ab)=f(a)f(b)$ $a,b\in A$ $A$ $B$

f(e_{A})=e_{B}

Uppsättningen av homomorfismer av en algebra till en algebra betecknas med symbolen . $A$ $B$ $H(A;B)$

Det är uppenbart att . $H(A;B)\subseteq {\mathcal L}(A;B)$

Exempel

Allmän:

kvadratmatrisalgebror _
polynomalgebror _
algebra av formella potensserier

Algebror över fältet av reella tal :

Litteratur

Skornyakov L. A., Shestakov I. P. . Kapitel III. Ringar och moduler // Allmän algebra / Ed. ed. L. A. Skonyakova . - M . : Science , 1990. - T. 1. - S. 291-572. — 592 sid. — (Referens matematiskt bibliotek). — 30 000 exemplar. — ISBN 5-02-014426-6 .

Algebra över ringen
Dimension - Power of 2	Komplexa tal (storlek 2) $\mathbb {C}$ Quaternions (storlek 4) $\mathbb {H}$ Cayley Numbers/Octonions/Octaves (Storlek 8) $\mathbb O$ Sedenioner (storlek 16) $\mathbb S$
se även	Frobenius teorem Hyperkomplext tal Algebra Kropp imaginär enhet