Omskriven polygon

En omskriven polygon , även känd som en tangentiell polygon  , är en konvex polygon som innehåller en inskriven cirkel . Detta är en sådan cirkel, i förhållande till vilken varje sida av den omskrivna polygonen är tangent . Den dubbla polygonen av en omskriven polygon är en polygon som har en omsluten cirkel som går genom alla sina hörn.

Alla trianglar är omskrivna för någon cirkel, liksom alla vanliga polygoner med ett godtyckligt antal sidor. En väl studerad grupp av omskrivna polygoner är omskrivna fyrhörningar, som inkluderar romber och deltoider .

Beskrivningar

En konvex polygon har en incirkel om och endast om alla inre vinkelhalveringslinjer för dess vinklar är samtidiga (skär varandra i en punkt) och denna gemensamma skärningspunkt är incirkelns centrum [1] .

En omskriven polygon med n på varandra följande sidor existerar om och endast om ekvationssystemet

har en lösning i positiva reella tal [2] . Om en sådan lösning finns, då är polygonens tangentlängder (längderna från spetsen till tangentpunkten på sidan).

Unikhet och icke-unikhet

Om antalet sidor n är udda, så finns det för varje given uppsättning sidlängder som uppfyller kriteriet ovan endast en omskriven polygon. Men om n är jämnt finns det ett oändligt antal av dem [3] . Till exempel, i fallet med en fyrhörning, när alla sidor är lika, kommer vi att ha en romb med vilket värde som helst av en spetsig vinkel, och alla dessa romber kommer att beskrivas runt en cirkel.

Radie av en inskriven cirkel

Om längderna på sidorna av den omskrivna polygonen är , då är radien för den inskrivna cirkeln [4] .

där K  är arean av polygonen och s  är dess semiperimeter . (Eftersom alla trianglar har en inskriven cirkel, gäller denna formel för alla trianglar.)

Andra egenskaper

• För en omskriven polygon med ett udda antal sidor är alla sidor lika om och endast om vinklarna är lika (polygonen är regelbunden). En omskriven polygon med ett jämnt antal sidor har alla sidor lika om och endast om de alternerande vinklarna är lika.
• I den omskrivna polygonen med ett jämnt antal sidor är summan av längderna på de udda sidorna lika med summan av de jämna sidornas längder [2] .
• Den omskrivna polygonen har en större yta än någon annan polygon med samma omkrets och samma inre vinklar i samma sekvens [5] [6] .
• Barycentrum för en omskriven polygon, barycentrum för dess gränspunkter och centrum för den inskrivna cirkeln är kolinjära , och polygonens barycentrum ligger mellan de andra två angivna centran och är dubbelt så långt från centrum av den inskrivna cirkeln som det är från barycentret av gränsen [7] .

Den omskrivna triangeln

Alla trianglar har någon inskriven cirkel. En triangel kallas en tangentiell triangel i den betraktade triangeln om alla tangenter i den tangentiella triangeln i cirkeln också är hörn i den betraktade triangeln.

Beskriven fyrhörning

Den inskrivna hexagonen

• I den omskrivna hexagonen ABCDEF är huvuddiagonalerna AD , BE och CF samtidiga av Brianchons sats .

Anteckningar

1. ↑ Byer, Lazebnik, Smeltzer, 2010 , sid. 77.
2. ↑ 1 2 Djukić, Janković, Matić, Petrović, 2006 , sid. 561.
3. ↑ Hess, 2014 , sid. 389.
4. ↑ Alsina, Nelsen, 2011 , sid. 125.
5. ↑ Apostol, Mnatsakanian, 2004 , sid. 862.
6. ↑ Apostel, 2005 , sid. 946.
7. ↑ Apostol, Mnatsakanian, 2004 , sid. 858-9.

Litteratur

• Albrecht Hess. På en cirkel som innehåller centrum för tangentiella fyrhörningar  // Forum Geometricorum. - 2014. - T. 14 . — S. 389–396 .
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen. Ikoner för matematik. En utforskning av tjugo nyckelbilder. - Mathematical Association of America, 2011. - V. 45. - (Dolciani Mathematical Expositions).
• Michael De Villiers. Likkantiga cykliska och liksidiga omskrivna polygoner // Mathematical Gazette . - 2011. - Mars ( nummer 95 ).
• Owen Byer, Felix Lazebnik, Deirdre Smeltzer. Metoder för euklidisk geometri. - Mathematical Association of America, 2010. - ISBN 9780883857632 .
• Dušan Djukić, Vladimir Janković, Ivan Matić, Nikola Petrović. IMO-kompendiet. En samling problem som föreslagits för de internationella matematiska olympiaderna: 1959-2009. - Springer, 2006. - ISBN 978-1-4419-9853-8 .
• Tom M. Apostol, Mamikon A. Mnatsakanian. Figurer Circumscribing Circles  // American Mathematical Monthly. - 2004. - December ( vol. 111 ). — S. 853–863 . - doi : 10.2307/4145094 .
• Tom Apostel. =erratum // American Mathematical Monthly. - 2005. - December ( vol. 112 , nummer 10 ). - doi : 10.1080/00029890.2005.11920274 .