Den största polygonen med enhetsdiameter är en polygon med n sidor (för ett givet tal n ), vars diameter är lika med en (dvs. två av dess punkter är på ett avstånd som inte överstiger en från varandra), och som har det största området bland andra n -goner med diameter ett. Lösningen (inte unik) för n = 4 är en kvadrat , lösningen för udda n är en vanlig polygon , medan för de återstående jämna n kommer den reguljära polygonen inte att vara störst.
Arean av en godtycklig fyrhörning ( n = 4) beräknas med formeln S = pq sin( θ )/2, där p och q är fyrkantens diagonaler och θ är vinkeln mellan diagonalerna. Om polygonens diameter är högst ett måste både p och q vara högst 1. En fyrhörning har alltså en maximal area när alla tre faktorer når sitt maximalt möjliga värde, dvs p = q = 1 och sin( θ ) = 1. Villkor p = q betyder att fyrhörningen är likdiagonal , och villkoret sin( θ ) = 1 betyder att den är ortodiagonal (dess diagonaler är vinkelräta). Bland dessa fyrhörningar finns en kvadrat med enhetslängddiagonaler och area ½, men det finns oändligt många andra fyrhörningar samtidigt lik- och ortodiagonala med diagonallängder 1, som alla har samma area som kvadraten. Lösningen är alltså inte unik [1] .
För udda värden på n visade Karl Reinhardt att en vanlig polygon har den största arean bland alla polygoner med enhetsdiameter [2] .
I fallet med n = 6 är den optimala polygonen unik, men den är inte regelbunden. Lösningen för detta fall publicerades 1975 av Ronald Graham som svar på en fråga som ställdes 1956 av Hanfried Lenz [3] . Lösningen är en oregelbunden ekvidagonal femhörning med en triangel fäst vid en av sina sidor, och avståndet från denna triangels spets till femhörningens motsatta spets är lika med längden på femhörningens diagonaler [4] . Arean av denna figur är 0,674981… [5] , och detta tal uppfyller ekvationen:
4096x10 + 8192x9 - 3008x8 - 30848x7 + 21056x6 + 146496x5 - 221360x4 + 1232x3 + 144464x2 - 78488x + 11993 = _ 11993_ _ _ _ _ _Graham antog att i det allmänna fallet, för jämn n , är lösningen konstruerad på liknande sätt från regelbundna ( n − 1)-goner (med enhetsdiagonaler) med tillägg av en likbent triangel till en av sidorna, avståndet från vars spets till den motsatta spetsen är ( n − 1) -gon är lika med en. För fallet n = 8, verifierades detta 2002 med hjälp av en dator [6] . Grahams bevis på optimaliteten hos hans hexagon och datorns test av fallet n = 8 använde en uppräkning av alla möjliga spår med n hörn och raka kanter.
Ett fullständigt bevis på Grahams gissningar för alla jämna värden på n gavs 2007 [7] .