Funktionsvektor

En vektorfunktion är en funktion vars värden är vektorer i ett vektorrum med två, tre eller fler dimensioner. Funktionsargument kan vara: $\mathbb {V}$

en skalär variabel - då bestäms värdena för vektorfunktionen i någon kurva ; $\mathbb {V}$
m skalära variabler - då bildas värdena för vektorfunktionen i , generellt sett, en m -dimensionell yta; $\mathbb {V}$
vektorvariabel - i det här fallet betraktas vektorfunktionen vanligtvis som ett vektorfält på . $\mathbb {V}$

Vektorfunktion för en skalär variabel

För tydlighetens skull begränsar vi oss ytterligare till fallet med ett tredimensionellt utrymme, även om utvidgningen till det allmänna fallet inte är svår. En vektorfunktion för en skalär variabel mappar ett intervall av reella tal till en uppsättning rumsliga vektorer (intervallet kan också vara oändligt). ${\mathbf {r}}(t)$ $t_{1}\leqslant t\leqslant t_{2}$

Efter att ha valt koordinatvektorerna kan vi dekomponera vektorfunktionen i tre koordinatfunktioner x ( t ) , y ( t ), z ( t ): $\mathbf {\hat {i)) ,\mathbf {\hat {j)) ,\mathbf {\hat {k))$

\mathbf {r} (t)=x(t)\mathbf {\hat {i)) +y(t)\mathbf {\hat {j)) +z(t)\mathbf {\hat { k}}

Betraktade som radievektorer bildar värdena för vektorfunktionen en viss kurva i rymden, för vilken t är en parameter.

En vektorfunktion sägs ha en gräns vid en punkt om (här och nedan betecknar vi vektorns modul ). Gränsen för en vektorfunktion har de vanliga egenskaperna: ${\mathbf {r}}(t)$ $\mathbf {r_{0}}$ $t=t_{0}$ $\lim _{t\to t_{0}}|\mathbf {r} (t)-\mathbf {r_{0}} |=0$ $|\mathbf {v} |$ $\mathbf{v}$

Gränsen för summan av vektorfunktioner är lika med summan av termernas gränser (förutsatt att de existerar).
Gränsen för skalärprodukten av vektorfunktioner är lika med skalärprodukten av faktorers gränser.
Gränsen för vektorprodukten av vektorfunktioner är lika med vektorprodukten av faktorernas gränser.

Kontinuiteten för en vektorfunktion definieras traditionellt.

Derivat av en vektorfunktion med avseende på en parameter

Låt oss definiera derivatan av vektorfunktionen med avseende på parametern: ${\mathbf {r}}(t)$

{\frac {d}{dt}}{\mathbf {r}}(t)=\lim _{{h\to 0}}{\frac {{\mathbf {r}}(t+h)-{ \mathbf {r}}(t)}{h}}

Om en derivata existerar vid en punkt, sägs vektorfunktionen vara differentierbar vid den punkten. Koordinatfunktionerna för derivatan kommer att vara . $t$ $x'(t),\ y'(t),\ z'(t)$

Egenskaper för derivatan av en vektorfunktion (överallt antas det att derivator finns):

${\frac {d}{dt))({\mathbf {r_{1))}(t)+{\mathbf {r_{2))}(t))={\frac {d{\mathbf {r_ {1}}}(t)}{dt}}+{\frac {d{\mathbf {r_{2}}}(t)}{dt}}$ - derivatan av summan är summan av derivatorna
${\frac {d}{dt}}(f(t){\mathbf {r}}(t))={\frac {df(t)}{dt}}{\mathbf {r}}(t) +f(t){\frac {d{\mathbf {r}}(t)}{dt}}$ — här är f(t) en differentierbar skalär funktion.
${\frac {d}{dt))({\mathbf {r_{1))}(t){\mathbf {r_{2))}(t))={\frac {d{\mathbf {r_{ 1}}}(t)}{dt}}{\mathbf {r_{2}}}(t)+{\mathbf {r_{1}}}(t){\frac {d{\mathbf {r_{ 2}}}(t)}{dt}}$ - differentiering av den skalära produkten .
${\frac {d}{dt))[{\mathbf {r_{1))}(t){\mathbf {r_{2))}(t)]=\vänster[{\frac {d{\mathbf {r_{1}}}(t)}{dt}}{\mathbf {r_{2}}}(t)\höger]+\vänster[{\mathbf {r_{1}}}(t){\ frac {d{\mathbf {r_{2}}}(t)}{dt}}\right]$ — differentiering av vektorprodukten .
${\frac {d}{dt}}({\mathbf {a}}(t),{\mathbf {b}}(t),{\mathbf {c}}(t))=\left({\ frac {d{\mathbf {a}}(t)}{dt}},{\mathbf {b}}(t),{\mathbf {c}}(t)\right)+\left({\mathbf {a}}(t),{\frac {d{\mathbf {b}}(t)}{dt}},{\mathbf {c}}(t)\right)+\left({\mathbf { a}}(t),{\mathbf {b}}(t),{\frac {d{\mathbf {c}}(t)}{dt}}\right)$ är differentieringen av den blandade produkten .

För tillämpningar av vektorfunktioner för en skalär variabel i geometri, se: differentialgeometri för kurvor .

Vektorfunktion för flera skalära variabler

För tydlighetens skull begränsar vi oss till fallet med två variabler i det tredimensionella rummet. Värdena för vektorfunktionen (deras hodograf ) bildar generellt sett en tvådimensionell yta, på vilken argumenten u, v kan betraktas som inre koordinater för ytpunkterna. $\mathbf {r} (u,v)$

I koordinater ser ekvationen ut så här: $\mathbf{r} = \mathbf{r}(u,\v)$

x=x(u,\ v);\ y=y(u,\ v);\ z=z(u,\ v)

På samma sätt som fallet med en variabel kan vi definiera derivatorna av vektorfunktionen, som nu blir två: . En del av ytan kommer att vara icke-degenererad (det vill säga i vårt fall tvådimensionell) om den inte försvinner identiskt på den. $\frac{\partial\mathbf{r)) {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r)) {\partial v}$ $\left[{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u)),{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v))\right]$

Kurvorna på denna yta definieras bekvämt som:

u = u(t);\ v = v(t)

där t är kurvparametern. Beroendena antas vara differentierbara och i den aktuella regionen får deras derivat inte försvinna samtidigt. En speciell roll spelas av koordinatlinjer , som bildar ett rutnät av koordinater på ytan: $u(t),\ v(t)$

u=t;\ v=const

- den första koordinatlinjen.

u=const;\ v=t

är den andra koordinatlinjen.

Om det inte finns några enstaka punkter på ytan ( försvinner inte någonstans), så går exakt två koordinatlinjer genom varje punkt på ytan. $\left[{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u)),{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v))\right]$

För mer om geometriska tillämpningar av vektorfunktioner för flera skalära variabler, se: Ytteori .

Litteratur

Borisenko AI, Tarapov IE Vektoranalys och principer för tensorkalkyl. 3:e uppl. Moskva: Högre skola, 1966.
Krasnov M. L., Kisilev A. I., Makarenko G. I. Vektoranalys. Nauka, 1978, 160 sid. (2:a upplagan URSS, 2002)
Kochin N. E. Vektorkalkyl och början av tensorkalkyl. Arkiverad 14 november 2007 på Wayback Machine 9:e upplagan. Moskva: Nauka, 1965.

Vektorer och matriser

Vektorer

Grundläggande koncept	Vektor i geometri Grund Ortogonal grund Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Linjärt beroende Kolumnutrymme
Typer av vektorer	Enhet vektor Axiell vektor isotrop vektor Vanligt Kolinearitet Noll vektor Radie vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalär produkt vektor produkt blandad produkt Pseudoskalär produkt Dubbelkorsprodukt
Utrymmestyper	vektor utrymme affint utrymme Euklidiskt utrymme Pseudo-euklidiskt utrymme Normerat utrymme Minkowski utrymme

matriser

Grundläggande koncept	Matrismultiplikation Transponerad matris Hermitisk konjugatmatris Symmetrisk matris invers matris Eget värde Karakteristiskt polynom för en matris
Specialmatriser	Identitetsmatris Noll matris Diagonal matris lambda matris
Matrisnedbrytningar	LU-nedbrytning Cholesky nedbrytning QR-sönderdelning LUP-nedbrytning singulärvärdesfaktorisering Spektral nedbrytning av en matris

Övrig