Grundläggande sekvens
En fundamental sekvens , eller en självkonvergerande sekvens , eller en Cauchy-sekvens är en sekvens av punkter i ett metriskt utrymme så att det för varje givet avstånd som inte är noll finns ett element i sekvensen, från vilket alla element i sekvensen är mindre än ett givet avstånd från varandra.
Definition
En sekvens av punkter i ett metriskt utrymme kallas fundamental om den uppfyller Cauchy-kriteriet :
För alla finns det ett sådant naturligt att för alla .
Relaterade definitioner
- Ett metriskt utrymme där varje fundamental sekvens konvergerar till ett element i samma utrymme kallas komplett .
Egenskaper
- Varje konvergent sekvens är fundamental, men inte varje fundamental sekvens konvergerar till ett element från dess rymd.
- Ett metriskt utrymme är komplett om och endast om något system av kapslade slutna bollar med oändligt minskande radie har en icke-tom skärningspunkt som består av en punkt.
- Om en sekvens är fundamental och innehåller en konvergent delsekvens, så konvergerar själva sekvensen.
- Om en sekvens är fundamental så är den begränsad.
Litteratur
- Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Element i teorin om funktioner och funktionell analys, - M . : Nauka, 2004. - 7:e uppl.
- Shilov G. E. Matematisk analys. Funktioner av en variabel. Del 3, - M . : Nauka, 1970.
| Sekvenser och rader | |
|---|---|
| Sekvenser | |
| Rader, grundläggande | |
| Nummerserier ( operationer med nummerserier ) | |
| funktionella rader | |
| Andra radtyper | |