Exotisk Orb

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 22 mars 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

En exotisk sfär är ett jämnt grenrör M som är homeomorft men inte diffeomorft till standard n -sfären .

Historik

De första exemplen på exotiska sfärer byggdes av John Milnor i dimension 7; han bevisade att det finns minst 7 distinkta släta strukturer. Det är nu känt att det finns 28 olika släta strukturer på den orienterade (15 utan att ta hänsyn till orienteringen). $S^{7}$ $S^{7}$

Dessa exempel, de så kallade Milnor-sfärerna , har hittats bland rymdbuntar över . Sådana buntar klassificeras av två heltal och av elementet . Vissa av dessa buntar är homeomorfa till standardsfären, men inte diffeomorfa till den. $S^{3}$ ${\displaystyle S^{4))$ $a$ $b$ $\mathbb {Z} ^{2}=\pi _{3}(\mathrm {SO} (4))$ $M_{a,b}$

Eftersom de helt enkelt är anslutna, enligt den generaliserade Poincare-förmodan , kontrollerar homeomorfism och reduceras till att räkna homologi ; detta villkor ställer vissa villkor för och . $M_{a,b}$ $M_{a,b}$ $S^{7}$ $M_{a,b}$ $a$ $b$

I beviset för icke-diffeomorfism, argumenterar Milnor genom motsägelse . Han märker att grenröret är gränsen för ett 8-dimensionellt grenrör - utrymmet för skivbunten över . Vidare, om det är diffeomorft till standardsfären, kan det limmas med en kula, vilket ger en sluten slät 8-grenrör. Att beräkna signaturen för det resulterande grenröret i termer av dess Pontryagin-tal leder till en motsägelse. $M_{a,b}$ ${\displaystyle W_{a,b))$ ${\displaystyle D^{4))$ ${\displaystyle S^{4))$ $M_{a,b}$ ${\displaystyle W_{a,b))$

Klassificering

En sammankopplad summa av två exotiska n -dimensionella sfärer är också en exotisk sfär. Den sammankopplade summaoperationen förvandlar olika släta strukturer på en orienterad n - dimensionell sfär till en monoid , kallad de exotiska sfärerna monoid .

n ≠ 4

För det är känt att monoiden av exotiska sfärer är en Abelisk grupp , kallad gruppen av exotiska sfärer . $n\neq 4$

Denna grupp är trivial för . Det vill säga i dessa dimensioner innebär förekomsten av en homeomorfism på standardsfären förekomsten av en diffeomorfism på . För , det är isomorft till en cyklisk grupp av ordning 28. Det vill säga, det finns en 7-dimensionell exotisk sfär så att varje 7-dimensionell exotisk sfär är diffeomorf till en sammankopplad summa av flera kopior av ; dessutom är den anslutna summan av 28 kopior diffeomorf till standardsfären . $n=1,2,3,5,6$ $S^{n}$ $S^{n}$ $n=7$ $\Sigma ^{7}$ $\Sigma ^{7}$ $\Sigma ^{7}$ $S^{7}$

Gruppen av exotiska sfärer är isomorf till gruppen Θ n av orienterade h -kobordismklasser i homotopin n -sfär. Denna grupp är ändlig och abelisk.

Gruppen har en cyklisk undergrupp $\Theta_n$

bP_{n+1}

motsvarande -sfärerna som band de parallelliserbara grenrören . $n$

Om n är jämnt är gruppen trivial, $bP_{n+1}$
Om , har gruppen order 1 eller 2 $n\equiv 1{\pmod {4}}$ $bP_{n+1}$
- Den har ordning 1 när n = 1, 5, 13, 29 eller 61.
- Den har order 2 på , om samtidigt $n\equiv 1{\pmod {4}}$ $n\neq 2^{k}-3$
Om , det vill säga , då när ordningen är lika med $n\equiv 3{\pmod {4}}$ $n+1=4m$ $m\geq 2$
- $|bP_{4m}|=2^{2m-2}(2^{2m-1}-1)B$ ,

där är täljaren för bråket , är Bernoulli-talen . (Ibland är formeln något annorlunda på grund av olika definitioner av Bernoulli-tal.)

B

|4B_{2m}/m|

B_{{2m}}

Faktorgrupper beskrivs i termer av stabila homotopigrupper av sfärer modulo bilden av en J-homomorfism ). Mer exakt finns det en injektiv homomorfism $\Theta _{n}/bP_{n+1}$

\Theta _{n}/bP_{n+1}\to \pi _{n}^{S}/J

var är den n :te stabila homotopigruppen av sfärer, och är bilden av J -homomorfismen. Denna homomorfism är antingen en isomorfism eller har en bild av index 2. Det senare inträffar om och endast om det finns ett n - dimensionellt parallelliserbart grenrör med Kervaire-invarianten 1. ${\displaystyle \pi _{n}^{S))$ $J$

Frågan om existensen av en sådan mångfald kallas Kerver-problemet. Från och med 2012 har det inte lösts endast för ärendet . Förgreningsrör med Kervaire invariant 1 konstruerades i dimensionerna 2, 6, 14, 30 och 62. $n=126$

Dimension n	ett	2	3	fyra	5	6	7	åtta	9	tio	elva	12	13	fjorton	femton	16	17	arton	19	tjugo
Beställ Θn	ett	ett	ett	ett	ett	ett	28	2	åtta	6	992	ett	3	2	16256	2	16	16	523264	24
Beställ bP n +1	ett	ett	ett	ett	ett	ett	28	ett	2	ett	992	ett	ett	ett	8128	ett	2	ett	261632	ett
Order Θ n / bP n +1	ett	ett	ett	ett	ett	ett	ett	2	2×2	6	ett	ett	3	2	2	2	2×2×2	8×2	2	24
Beställ π n S / J	ett	2	ett	ett	ett	2	ett	2	2×2	6	ett	ett	3	2×2	2	2	2×2×2	8×2	2	24
Index	-	2	-	-	-	2	-	-	-	-	-	-	-	2	-	-	-	-	-	-

Ytterligare värden i denna tabell kan beräknas från informationen ovan tillsammans med en tabell över stabila homotopisfärgrupper.

I udda dimensioner, sfärer och bara de har en enda slät struktur. Wang & Xu (2017 ) ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1},\mathbb {S} ^{3},\mathbb {S} ^{5},\mathbb {S} ^{61))$

n = 4

När det gäller dimension är praktiskt taget ingenting känt om monoiden av släta sfärer, förutom att den är finit eller uträkneligt oändlig och abelisk. Det är inte känt om exotiska släta strukturer finns på 4-sfären. Påståendet att de inte existerar är känt som den "släta Poincaré-förmodan". $n=4$

Den så kallade Gluck-vridningen består i att skära ut ett rörformigt område av 2-sfären S 2 i S 4 och klistra in den igen med hjälp av en diffeomorfism av dess gräns . Resultatet är alltid homeomorft till S 4 , men i de flesta fall är det inte känt om det är diffeomorft till S 4 . $S^{2}\times S^{1}$

Twisted Spheres

Låt en diffeomorfism ges som bevarar orientering. Genom att limma två kopior av bollen längs kartläggningen mellan gränserna får vi den så kallade sfären trängd av en diffeomorfism . Den vridna sfären är homeomorf till standardsfären, men generellt sett är den inte diffeomorf till den. $f\colon S^{n-1}\to S^{n-1}$ $f$ $f$

Med andra ord kallas ett grenrör en vridet sfär om det tillåter en morsefunktion med exakt två kritiska punkter.

För n ≠ 4 är vilken exotisk sfär som helst diffeomorf till någon vriden sfär.
För n = 4 är vilken vriden sfär som helst diffeomorf till en standard.

Se även

Länkar

Akbulut, Selman (2009), Cappell–Shaneson homotopisfärer är standard , arXiv : 0907.0136
Brieskorn, Egbert V. (1966), "Exempel på singular normala komplexa utrymmen som är topologiska mångfalder", Proceedings of the National Academy of Sciences 55 (6): 1395–1397, doi : 10.1073/pnas.55.6.1395 , MR 719 , PMC 224331 , PMID 16578636
Brieskorn, Egbert (1966b), "Beispiele zur Differentialtopologie von Singularitäten", Invent. Matematik. 2 (1): 1–14, doi : 10.1007/BF01403388 , MR 0206972
Browder, William (1969), "The Kervaire invariant of framed manifolds and its generalization", Annals of Mathematics 90 (1): 157–186, doi : 10.2307/1970686 , JSTOR 1970686 , MR 0251736
Freedman, Michael; Gompf, Robert; Morrison, Scott; Walker, Kevin (2010), "Människan och maskinen tänker om den smidiga 4-dimensionella Poincaré-förmodan", Quantum Topology 1 (2): 171–208, arXiv : 0906.5177 , doi : 10.4171/qt/5
Gluck, Herman (1962), "The embedding of two-spheres in the four-sphere", Transactions of the American Mathematical Society 104 (2): 308–333, doi : 10.2307/1993581 , JSTOR 1993581 , MR 0146800
Hirzebruch, Friedrich; Mayer, Karl Heinz (1968), O(n)-Mannigfaligkeiten, Exotische Sphären und Singularitäten , Lecture Notes in Mathematics 57 , Berlin-New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/ BFb0074355 25122MR , av komplexa grenrör .
Kervaire, Michel A .; Milnor, John W. (1963). "Grupper av homotopisfärer: I" (PDF). Annals of Mathematics ( Princeton University Press ) 77 (3): 504–537. doi : 10.2307/1970128 . JSTOR 1970128 . MR 0148075 . – Denna artikel beskriver strukturen för gruppen av släta strukturer på n -sfären för n >4. Tyvärr publicerades aldrig den tidigare tillkännagivna artikeln "Groups of Homotopy Spheres: II", men Levins föreläsningsmaterial innehåller vad det tydligen kunde ha innehållit.
Levine, JP (1985), "Lectures on groups of homotopy spheres", Algebraic and geometric topology , Lecture Notes in Mathematics 1126 , Berlin-New York: Springer-Verlag, pp. 62–95, doi : 10.1007/BFb0074439 , MR 8757031
Milnor, John W. (1956), "On manifolds homeomorphic to the 7-sphere", Annals of Mathematics 64 (2): 399–405, doi : 10.2307/1969983 , JSTOR 1969983 , MR 0082103
- J. Milnor. På grenrör homeomorfa till en sjudimensionell sfär // Matematik . - 1957. - Nr 3 . - S. 35-42 .
Milnor, John W. (1959), "Sommes de variétes différentiables et structures différentiables des sphères" , Bulletin de la Société Mathématique de France 87 : 439–444, MR 0117744
Milnor, John W. (1959b), "Differentiable structures on spheres", American Journal of Mathematics 81 (4): 962–972, doi : 10.2307/2372998 , JSTOR 2372998 , MR 0110107
Milnor, John (2000), "Klassificering av ( n − 1)-anslutna 2 n - dimensionella grenrör och upptäckten av exotiska sfärer", i Cappell, Sylvain; Ranick, Andrew; Rosenberg, Jonathan, Surveys on Surgery Theory: Volume 1 , Annals of Mathematics Studies 145, Princeton University Press, pp. 25–30, ISBN 9780691049380, MR 1747528
Milnor, John Willard (2009), "Fifty years ago: topology of manifolds in the 50's and 60's", i Mrowka, Tomasz S.; Ozsvath., Peter S., Lågdimensionell topologi. Föreläsningsanteckningar från 15th Park City Mathematics Institute (PCMI) Graduate Summer School hölls i Park City, UT, sommaren 2006. (PDF), IAS/Park City Math. Ser. 15 , Providence, R.I.: Amer. Matematik. Soc., sid. 9–20, ISBN 978-0-8218-4766-4, MR 2503491
Milnor, John W. (2011), "Differential topology forty-six years later" (PDF), Notices of the American Mathematical Society 58 (6): 804–809
Rudyak, Yu.B. (2001), "Milnor sphere" (ej tillgänglig länk) , i Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Wang, Guozhen & Xu, Zhouli (2017), The triviality of the 61-stem in the stabil homotopy groups of spheres , Annals of Mathematics vol. 186 (2): 501–580 , DOI 10.4007/annals.2017.3 182 .

Externa länkar

Exotiska klot på samlingsatlas (nedlänk från 2016-05-06 [2373 dagar])
Exotiska världar. Källmaterial relaterat till exotiska världar.
Animationer och faktiskt exotiska 7-sfärer - video från Niles Johnsons tal från den andra Abelkonferensen .
Gluck_konstruktion