J-homomorfism

J -homomorfism är en homomorfism från homotopigrupper av speciella ortogonala grupper till homotopigrupper av sfärer . Det definierades av George Whitehead som en generalisering av en konstruktion av Heinz Hopf , som byggde denna homomorfism för fallet. $\pi _{r}(\mathrm {SO} (q))$ $r=q+1$

Byggnad

J-homomorfism är en homomorfism av abelska grupper

J\colon \pi _{r}(\mathrm {SO} (q))\to \pi _{r+q}(\mathbb {S} ^{q}),

definieras för alla heltal . $r,q\geqslant 2$

Ett element i den speciella ortogonala gruppen kan ses som en kartläggning $\mathrm {SO} (q)$

\mathbb {S} ^{q-1}\rightarrow \mathbb {S} ^{q-1}.

Därför är element i en homotopigrupp associerade med homotopiklassen för mappningen $\pi _{r}(\mathrm {SO} (q))$

\mathbb {S} ^{r}\times \mathbb {S} ^{q-1}\rightarrow \mathbb {S} ^{q-1}.

Att tillämpa Hopf-konstruktionen på detta ger kartläggningen

\mathbb {S} ^{r+q}=\mathbb {S} ^{r}*\mathbb {S} ^{q-1}\högerpil S(\mathbb {S} ^{q-1 })=\mathbb {S} ^{q},

vars homotopiklass är bilden av detta element under J -homomorfismen.