H-kobordism

h -kobordism är en bordism , därär en kompakt differentierbar grenrör , vars gränsär föreningen av disjunkta slutna grenröroch, som är deformation dras tillbaka . Det enklaste exemplet är den triviala -kobordismen $(W;M,M')$ $W$ $\partiell W$ $M$ $M'$ $W$ $h$

(M\ gånger [0,1]; M\ gånger 0, M\ gånger 1).

Manifolder kallas -cobordant om det finns en -cobordism som förbinder dem. $M$ $M'$ $h$ $h$ $(W;M,M')$

-kobordismsatsen ger $h$ förutsättningar för när en -kobordism är trivial. Satsen bevisades först av Stephen Smale , som fick Fields-priset för resultat relaterade till denna sats. Med hjälp av satsen bevisade han den generaliserade Poincaré-förmodan för dimensioner . $h$ $\geq 5$

Egenskaper

(Sat om -kobordism) Om är -kobordism, och och är helt enkelt anslutna släta (eller styckvis linjära) grenrör och , då är det diffeomorft ( styckvis linjärt isomorft ) till trivial -kobordism. $h$ $(W;M,M')$ $h$ $M$ $M'$ $\operatörsnamn {dim}W\geq 6$ $W$ $h$
- I synnerhet är den diffeomorf . $M$ $M'$

Variationer och generaliseringar

Om vi tar bort tillståndet med helt enkelt anslutna kobordanta grenrör och , då är hindret för trivialiteten av kobordism mellan dem Whitehead-torsionen [1] . Kobordismsatsen säger att en kobordism mellan två mångfalder är trivial om och bara om Whitehead-torsionen försvinner. $M$ $M'$ $s$

Anteckningar

↑ Whitehead torsion // Wikipedia . — 2020-04-28.

Litteratur

Milnor, J., The -cobordism theorem, $h$ Moskva, 1969;
Smale S., Generalized Poincare's Conjecture in Dimensions Greater Than Four, The Ann. of Math., 2nd Ser., Vol. 74, No. 2. (sep. 1961), sid. 391-406.