Steiners design

Steinerkonstruktionen är ett sätt att definiera en icke-degenererad konisk sektion i det projektiva planet över ett fält . Det föreslogs av den schweiziske matematikern Jacob Steiner .

Konstruktion

Låt två pennor med linjer vid punkter ges (alla linjer innehåller respektive ) och en projektiv, men inte perspektivavbildning från till . Då bildar korsningspunkterna för motsvarande linjer ett icke-degenererat projektivt koniskt snitt [1] [2] [3] [4] (bild 1) $B(U),B(V)$ $U,V$ $U$ $V$ $\pi$ $B(U)$ $B(V)$

En perspektivmappning från penna till bunt är en bijektion så att motsvarande linjer skär varandra på en fast linje som kallas perspektivavbildningsaxeln (bild 2). $\pi$ $B(U)$ $B(V)$ $a$ $\pi$

En projektiv kartläggning är en sammansättning av ett ändligt antal perspektivavbildningar.

Exempel på vanliga fält är reella tal , rationella tal och komplexa tal . Konstruktionen fungerar också på ändliga fält och ger exempel i ändliga projektiva plan. $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {C}$

Anmärkning: Huvudsatsen för projektiva plan säger att en projektiv kartläggning i ett projektivt plan över ett fält bestäms unikt av bilderna av tre linjer. [5] Detta betyder att för Steinerkonstruktionen, förutom två punkter , måste endast bilderna av tre linjer anges. Eftersom bilden av en linje bestäms unikt av skärningspunkten med bilden, följer det att en kägel bestäms unikt av fem punkter som ligger på den. $U,V$

Exempel

I följande exempel är bilderna av tre linjer kända (se bild 3): . En projektiv kartläggning är en sammansättning av perspektivavbildningar : 1) är en perspektivavbildning av en penna vid en punkt på en penna vid en punkt med axeln . 2) är en perspektivavbildning av en stråle vid en punkt på en stråle vid en punkt med axeln . Vi måste kontrollera att den har följande egenskaper: . Således, för en godtycklig linje , kan dess bild konstrueras . Linjerna och innehåller endast de koniska punkterna och resp. Därför, och är tangent till den konstruerade koniska. $a,u,w$ $\pi (a)=b,\pi (u)=w,\pi (w)=v$ $\pi$ $\pi _{b},\pi _{a}$ ${\displaystyle \pi _{b))$ $U$ $O$ $b$ $\pi _{a}$ $O$ $V$ $a$ ${\displaystyle \pi =\pi _{a}\pi _{b))$ $\pi (a)=b,\pi (u)=w,\pi (w)=v$ $g$ $\pi (g)=\pi _{a}\pi _{b}(g)$ $u$ $v$ $U$ $V$ $u$ $v$

Beviset på att denna metod tillåter en att konstruera en konik görs genom att gå till ett affint diagram där linjen är linjen i oändligheten, punkten är origo och punkterna är punkter i oändligheten som motsvarar x- och y -axlarna , respektive. och prick . Den affina delen av den konstruerade koniska formen visar sig vara en hyperbel . [3] $w$ $O$ $U,V$ $E=(1,1)$ $y=1/x$

Steiners konstruktion av den dubbla koniska

Definitioner

När man passerar till det dubbla projektiva planet byts orden "punkt" och "linje" och operationerna för korsning av linjer och förbindningspunkter. Det dubbla projektiva planet är också ett projektivt plan och man kan införa homogena koordinater på det. En icke-degenererad konisk sektion i det dubbla projektiva planet definieras också av en kvadratisk form.

Den dubbla koniken kan konstrueras med den dubbla Steiner-metoden:

Låt det vara givna linjer och en projektiv, men inte perspektivkartläggning från till . Sedan bildar linjerna som förbinder motsvarande punkter en dubbel icke-degenererad projektiv konisk sektion. $u, v$ $\pi$ $u$ $v$

En perspektivavbildning av en uppsättning punkter på en linje på en uppsättning punkter på en linje är en bijektion så att linjerna som förbinder motsvarande punkter skär varandra vid en fast punkt , som kallas perspektivcentrum (se bilden). $\pi$ $u$ $v$ $Z$ $\pi$

En projektiv kartläggning är en sammansättning av ett ändligt antal perspektivavbildningar.

I fallet när huvudfältet har karakteristik 2, skär alla tangentkäglor i en punkt som kallas noden (eller kärnan ) för kägeln. Därför är den koniska dualen till en icke-degenererad konisk en delmängd av den dubbla linjen, och inte en oval kurva (i det dubbla planet). Så den dubbla koniken är icke-degenererad endast om markfältets karaktäristik inte är lika med 2.

Exempel

I följande exempel är bilderna av tre punkter kända : . En projektiv kartläggning kan representeras som en sammansättning av perspektivavbildningar : $A,U,W$ $\pi (A)=B,\,\pi (U)=W,\,\pi (W)=V$ $\pi$ $\pi _{B},\pi _{A}$

1) är en perspektivmappning av en uppsättning punkter på en linje på en uppsättning punkter på en linje med centrum .

\pi _{B}

u

o

B

2) är en perspektivmappning av en uppsättning punkter på en linje på en uppsättning punkter på en linje med centrum .

\pi _{A}

o

v

A

Det är lätt att verifiera att kartläggningen uppfyller . Således, för en godtycklig punkt , kan dess bild konstrueras och linjen är ett element av den dubbla koniska. $\pi =\pi _{A}\pi _{B}$ $\pi (A)=B,\,\pi (U)=W,\,\pi (W)=V$ $G$ $\pi (G)=\pi _{A}\pi _{B}(G)$ ${\overline {G\pi (G)))$

Anteckningar

↑ Coxeter, 1993 , sid. 80.
↑ Merserve, 1983 , sid. 65.
↑ 12 Hartmann , sid. 38.
↑ Jacob Steiners Vorlesungen über synthetische Geometrie , BG Teubner, Leipzig 1867 del II , sid. 96
↑ Hartmann, , sid. 19

Litteratur

Coxeter, HSM The Real Projective Plane, Springer Science & Business Media, 1993
Hartmann, Erich , Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- och Minkowski Planes
Merserve, Bruce E. Fundamental Concepts of Geometry, Dover, (1983) [1959], ISBN 0-486-63415-9