Grund

Basis ( annan grekisk βάσις "bas") är en ordnad (ändlig eller oändlig) uppsättning av vektorer i ett vektorrum , så att vilken vektor som helst i detta rymden kan representeras unikt som en linjär kombination av vektorer från denna uppsättning. Basvektorer kallas basvektorer .

I det fall då basen är oändlig behöver begreppet "linjär kombination" förtydligas. Detta leder till två huvudtyper av definitioner:

Hamel- bas , i definitionen av vilken endast finita linjära kombinationer beaktas; används främst i abstrakt algebra.
Schauders grund , i definitionen av vilka oändliga linjära kombinationer också beaktas, nämligen expansion till serier ; tillämpas huvudsakligen i funktionsanalys, särskilt för Hilbert space .

I ändligt dimensionella rum sammanfaller båda definitionerna av en bas.

Ursprunget till termen

För Euclid och andra forntida grekiska matematiker betecknade ordet "bas" (βάσις, som betyder bas ) den horisontella basen av en platt eller rumslig figur. Den moderna matematiska innebörden av denna term gavs av Dedekind i en artikel från 1885 .

Bas på planet och i tredimensionellt utrymme

Vilket kartesiskt koordinatsystem som helst på ett plan eller i ett tredimensionellt rum (även i ett rum med en annan dimension) kan associeras med en bas som består av vektorer, som var och en är riktad längs sin egen koordinataxel. Detta gäller både för rektangulära kartesiska koordinater (då kallas motsvarande bas ortogonal ) och för sneda kartesiska koordinater (som en icke-ortogonal bas kommer att motsvara).

Det är ofta bekvämt att välja längden ( norm ) för var och en av basvektorerna som ska vara enhet, en sådan bas kallas normaliserad.

Oftast väljs grunden till att vara ortogonal och normaliserad samtidigt, då kallas den ortonormal .

I vilket vektorrum som helst kan basen väljas på olika sätt (genom att till exempel ändra riktningarna för dess vektorer eller deras längder).

Notation

Beteckningen av basvektorer kan i princip vara godtycklig. Ofta använder de någon bokstav med ett index (numeriskt eller sammanfaller med namnet på koordinataxeln), till exempel:

{\vec e}_{1},{\vec e}_{2}

eller

{\vec e}_{x},{\vec e}_{y}

är typiska beteckningar för grunden för ett tvådimensionellt utrymme (plan),

{\vec e}_{1},{\vec e}_{2},{\vec e}_{3}

eller

\vec e_x, \vec e_y, \vec e_z

- tredimensionellt utrymme. För tredimensionellt utrymme används notationen ofta traditionellt

{\vec i},{\vec j},{\vec k}.

Representation av en specifik (valfri) rymdvektor som en linjär kombination av basvektorer (summan av basvektorer med numeriska koefficienter), till exempel $\vec a$

{\vec a}=a_{x}{\vec e}_{x}+a_{y}{\vec e}_{y}+a_{z}{\vec e}_{z}

eller

{\vec a}=a_{1}{\vec e}_{1}+a_{2}{\vec e}_{2}+a_{3}{\vec e}_{3}

eller, med hjälp av summatecknet : $\Sigma$

{\vec a}=\summa _{{i=1}}^{3}a_{i}{\vec e}_{i}

kallas expansionen av denna vektor i denna grund.

Numeriska koefficienter kallas expansionskoefficienter, och deras uppsättning som helhet är en representation (eller representativ) av en vektor i basen (Expansionen av en vektor i en specifik bas är unik; expansionen av samma vektor i olika baser är olika , det vill säga en annan uppsättning specifika tal erhålls, men i resultatet när det summeras - som visas ovan - ger samma vektor). $(a_{x},a_{y},a_{z})$ $\vec a$ ${\vec e}_{x},{\vec e}_{y},{\vec e}_{z}.$

Typer av baser

Hamels grund

Hamel-basen är en uppsättning vektorer i ett linjärt utrymme , så att vilken rymdvektor som helst kan representeras som någon ändlig linjär kombination av dem ( basens fullständighet ), och en sådan representation är unik för vilken vektor som helst.

Kriteriet för det unika hos lösningen på problemet med att expandera en vektor i ett komplett system av vektorer är det linjära oberoendet av vektorerna som ingår i det kompletta systemet. Linjärt oberoende betyder att varje linjär kombination av systemvektorer, där minst en koefficient är icke-noll, har en icke-noll summa. Det vill säga, det är ekvivalent med det unika i sönderdelningen av nollvektorn.

I fallet med linjära utrymmen, när varje koefficient som inte är noll är inverterbar, är linjärt oberoende ekvivalent med omöjligheten att uttrycka någon vektor i hela systemet med en linjär kombination av andra vektorer. (I en mer allmän situation - moduler över ringar - är dessa två egenskaper inte likvärdiga). Omöjligheten att uttrycka någon basvektor i termer av resten innebär att basen är minimal som ett komplett system av vektorer – när man tar bort någon av dem går fullständigheten förlorad.

I frågan om förekomsten av baser är det huvudsakliga följande lemma (beviset för detta lemma är i allmänhet icke-konstruktivt och använder valets axiom ):

Lemma. Låta vara ett komplett och ett linjärt oberoende system av vektorer. Sedan innehåller systemet en uppsättning vektorer som kompletterar rummet till en bas . $S_{1}$ $S_{2}$ $S_{1}$ $S_{2}$ $V$

Bevis

Beviset bygger på tillämpningen av Zorns lemma. Överväg . Låta vara mängden av alla linjärt oberoende delmängder av . Denna uppsättning är delvis beställd med avseende på inkludering. ${\displaystyle S=S_{1}\cup S_{2))$ $L$ $S$

Låt oss bevisa att föreningen av varje kedja av linjärt oberoende mängder förblir linjärt oberoende. Låt oss faktiskt ta vektorerna från föreningen och ta uppsättningarna från kedjan som dessa vektorer tillhör: . Eftersom dessa mängder är element i kedjan, kommer deras förening att ge maximalt av dem, vilket är linjärt oberoende, och därför är vektorerna som ligger i denna mängd också linjärt oberoende. ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n))$ ${\displaystyle a_{1}\i A_{1},\ldots ,a_{n}\i A_{n))$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n))$

Föreningen av kedjeuppsättningarna är linjärt oberoende och ingår därför i uppsättningen . Låt oss tillämpa på det en förstärkt formulering av Zorns lemma , som säger att för varje element av det finns ett maximalt element som är större än eller lika med det. , vilket betyder att det finns ett maximalt element så att . Det är lätt att se att det finns en grund. Faktum är att om det inte fanns något komplett system av vektorer, skulle det finnas en vektor som inte kan representeras som en linjär kombination av vektorer från . Sedan är ett linjärt oberoende system, vilket betyder att , som motsäger det faktum att är den maximala delen av . $L$ $L$ $S_{2}\in L$ $B\in L$ $S_{2}\subset B$ $B$ $B$ $a\in S_{1}$ $B$ $B\cup \{a\}$ $B\cup \{a\}\in L$ $B$ $L$

Konsekvenserna av detta lemma är uttalandena:

Varje linjärt utrymme har en grund.
En rymdbas kan extraheras från vilket komplett system av vektorer som helst.
Vilket linjärt oberoende system som helst kan kompletteras på basis av utrymmet V.

Alla två baser i ett linjärt utrymme har samma styrka, så kardinaliteten för en bas är en storhet oberoende av valet av basvektorer. Det kallas rummets dimension (betecknad med ). Om ett linjärt utrymme har en ändlig grund är dess dimension ändlig och den kallas ändlig -dimensionell , annars är dess dimension oändlig och rummet kallas oändlig-dimensionell. $\dim V$

Den valda grunden för det linjära utrymmet tillåter oss att introducera koordinatrepresentationen av vektorer, vilket förbereder användningen av analytiska metoder.

En linjär mappning från ett linjärt utrymme till ett annat är unikt definierad om den är definierad på någon grunds vektorer. Kombinationen av detta faktum med möjligheten till en koordinatrepresentation av vektorer förutbestämmer användningen av matriser för att studera linjära avbildningar av vektorrum (främst ändliga dimensionella sådana). Samtidigt får många fakta från matristeorin en visuell representation och får en mycket meningsfull betydelse när de uttrycks i linjära rums språk. Och valet av grunden i det här fallet fungerar som ett hjälpmedel, men samtidigt ett nyckelverktyg.

Exempel

Rymdvektorer utgör en bas om och endast om determinanten för matrisen som består av dessa vektorers koordinatkolumner inte är lika med 0: . $e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\det\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}\}\neq 0$
I utrymmet för alla polynom över ett fält består en av baserna av potensfunktioner: . $1,x,x^{2},\dots,x^{n},\dots$
Begreppet bas används i det oändliga dimensionella fallet, till exempel bildar de reella talen ett linjärt rum över rationella tal och det har en kontinuerlig Hamel-bas och följaktligen en kontinuerlig dimension.

Hamels bas och diskontinuerliga linjära funktion

Hamelbasen kan användas för att konstruera en diskontinuerlig reell funktion som uppfyller villkoret . Låt vara Hamel grunden för uppsättningen av reella tal över fältet av rationella tal . Sedan för varje ( ) vi ställer in , var är godtyckliga reella tal, till exempel rationella (i det här fallet tar funktionen bara rationella värden och är därför garanterat inte en linjär funktion av ). En sådan funktion är additiv, det vill säga den uppfyller den funktionella Cauchy-ekvationen . Men i det allmänna fallet, när , det skiljer sig från en linjär funktion och därför är diskontinuerligt vid någon punkt, och inte heller bevarar tecken, är inte begränsat över eller under, är inte monotont , är inte integrerbar och är inte mätbar på vilket godtyckligt litet intervall som helst, fyller med sina värden på detta intervall överallt tätt den numeriska axeln . $f(x+y)=f(x)+f(y)$ $\{r_{\alpha }\}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $x=k_{{\alpha _{1}}}r_{{\alpha _{1}}}+\cdots +k_{{\alpha _{n}}}r_{{\alpha _{n}}}$ $k_{i}\in {\mathbb {Q}}$ $f(x)=k_{\alpha _{1}}f_{\alpha _{1}}+\cdots +k_{\alpha _{n}}f_{\alpha _{n}}$ $f_{\alpha _{n}}=f(r_{\alpha _{n}})$ $f(x)$ $f(x)=(c\cdot x)$ $f(x)$ $f(x+y)=f(x)+f(y)$ $f_{\alpha _{n}}\neq c\cdot r_{\alpha _{n}}$ $f(x)=c\cdot x$ $\left(-\infty ,+\infty \right)$

Schauders grund

Ett system av vektorer i ett topologiskt vektorrum kallas en Schauder-bas (till ära av Schauder ) om varje element sönderdelas till en enda serie som konvergerar till i : $\{e_{n}\}$ $L$ $f\in L$ $f$ $\{e_{n}\}$

f=\summa _{{i=1}}^{{\infty }}f_{i}e_{i},

där finns tal som kallas vektorns expansionskoefficienter i termer av basen . $f_{i}$ $f$ $\{e_{n}\}$

För att understryka skillnaden mellan definitionen av Hamel-basen för allmänna linjära rum (endast ändliga summor är tillåtna) och Schauder-basen för topologiska vektorrum (expansion till en konvergent serie är tillåten), används ofta termen linjär bas för tidigare , vilket lämnar termbasen för serieutvidgningar . Kraften i en linjär bas kallas också linjär dimension . I ändligt dimensionella rum sammanfaller dessa definitioner eftersom grunden är ändlig. I oändliga dimensionella utrymmen skiljer sig dessa definitioner avsevärt, och den linjära dimensionen kan vara strikt större än kardinaliteten hos Schauder-basen.

Till exempel har inget oändligt dimensionellt Hilbert-rum en räknebar linjär bas, även om den kan ha en räknebar serieexpansion Schauder-baser, inklusive ortonormala baser . Alla ortonormala baser av Hilbert-utrymmen är Schauder-baser, till exempel är uppsättningen funktioner en Schauder-bas i . I mer allmänna Banach-rum är begreppet ortonormal bas inte tillämpligt, men det är ofta möjligt att konstruera Schauder-baser som inte använder ortogonalitet. $\{1,{\frac {1}{{\sqrt {2}}}}\sin(2\pi nx),{\frac {1}{{\sqrt {2}}}}\cos(2\ pi nx)\mid n=1,2,\dots \}$ $L^{2}[0,1]$

Exempel: Schauder-basen för utrymmet för kontinuerliga funktioner C [ a, b ]

$Cab]$ är ett Banach-utrymme med norm . För expansioner till Fourier-serier och generaliserade Fourier-serier i ortonormala funktionssystem kan konvergens i Hilbert-rymden lätt bevisas , men inte i . Schauder konstruerade Schauderbasen för . Låta vara en tät räknebar uppsättning punkter på , , , de återstående punkterna kan till exempel vara alla rationella punkter i segmentet , ordnade godtyckligt. Låt oss anta att , är en linjär funktion. Låt oss definiera en bitvis linjär funktion så att för och . Punkterna är indelade i segment. Poängen ligger strikt inom en av dem. Låt detta vara för vissa (numreringsordningen på siffrorna motsvarar inte deras storlek). $\|f\|=\max _{{x\in [a,b]}}|f(x)|$ $L^{2}[a,b]$ $Cab]$ $\{e_{n}\}$ $Cab]$ $\{x_{0},x_{1},\dots ,x_{n},\dots \}$ $[a,b]$ $x_{0}=a$ $x_{1}=b$ $[a,b]$ $e_{0}=1$ $e_{1}=(xa)/(ba)$ $e_{n}(x)$ $e_{n}(x_{i})=0$ $i=0,1,\prickar ,n-1$ $e_{n}(x_{n})=1$ $x_{0},x_{1},x_{2},\dots ,x_{{n-1}}$ $[a,b]$ $n-1$ $x_{n}$ $I_{n}=[x_{j},x_{k}]$ $j,k\in \{0,\dots ,n-1\}$ $x_{0},x_{1},x_{2},\dots$

Låt oss sätta:

e_{n}(x)=0

utanför segmentet

I_{n}=[x_{j},x_{k}],

e_{n}(x)={\frac {x-x_{j}}{x_{n}-x_{j}}}

på

x\in [x_{j},x_{n}],

e_{n}(x)={\frac {x_{k}-x}{x_{k}-x_{n}}}

på

x\in[x_{n},x_{k}].

Det resulterande systemet med bitvis linjära "kapslar" är den önskade Schauder-basen. Expansionskoefficienterna för en godtycklig funktion i denna bas uttrycks av explicita rekursiva formler i termer av en sekvens av värden . Delsumma av de första termerna i serien $f(x)\i C[a,b]$ $f(x_{i})$ $n+1$

L_{n}(x)=\summa _{{i=0}}^{{n}}f_{i}e_{i}(x),

är i detta fall en bitvis linjär approximation med noder vid punkterna ; formel för koefficienter (se fig.) $f(x)$ $x_{0},x_{1},x_{2},\dots ,x_{{n}}$ $f_{n}=f(x_{n})-L_{{n-1}}(x_{n});\;\;f_{0}=f(a)$

Grundproblemet

Schauder-baser har konstruerats för de flesta av de kända exemplen på Banach-utrymmen, men Banach-Schauder-problemet med förekomsten av en Schauder-bas i varje separerbart Banach-utrymme lämpade sig inte för lösning på mer än 50 år och löstes negativt endast i 1972: det finns separerbara Banach-utrymmen utan Schauder-bas (Enflo-motexempel [1] , Shankovsky, Davy och Figel).

Tillämpningar i kristallografi

I vektoralgebra , med hjälp av en vektorprodukt och en blandad produkt , definieras begreppet en ömsesidig bas till en bas i tredimensionellt euklidiskt rymd och används för att bevisa några påståenden relaterade till den blandade produkten och vinklar mellan vektorer [2 ] :212-214 . I kristallografi kallas den ömsesidiga basen den kristallografiska definitionen av basen , på grundval av vilken det ömsesidiga gittret bestäms .

Se även

Reper är ett närbesläktat begrepp.
En ortogonal bas är en speciell klass av baser (Schauder-baser) för utrymmen med inre produkt ( Hilbert space ).
Gröbner grund
Riesz grund
ändligt dimensionellt utrymme
Flagga (matematik)

Anteckningar

↑ Per Enflo. Ett motexempel till approximationsproblemet i Banach spaces (engelska) // Acta Math .. - 1973. - Vol. 130 (1973) . - s. 309-317 . - doi : 10.1007/BF02392270 .
översättning: Per Enflo. A counterexample to the approximation problem in Banach spaces = A counterexample to the approximation problem in Banach spaces // Mathematics / transl. B.S. Mityagin. - 1974. - T. 18 , nr. 1 . — S. 146–155 .
↑ Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Vektoralgebra i exempel och problem . - M . : Högre skola , 1985. - 232 sid.

Litteratur

Kutateladze S. S., Fundamentals of functional analysis . - 4:e uppl., korrigerad. - Novosibirsk: Publishing House of Institute of Mathematics SB RAS, 2001. - XII + 354 sid.

Vektorer och matriser

Vektorer

Grundläggande koncept	Vektor i geometri Grund Ortogonal grund Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Linjärt beroende Kolumnutrymme
Typer av vektorer	Enhet vektor Axiell vektor isotrop vektor Vanligt Kolinearitet Noll vektor Radie vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalär produkt vektor produkt blandad produkt Pseudoskalär produkt Dubbelkorsprodukt
Utrymmestyper	vektor utrymme affint utrymme Euklidiskt utrymme Pseudo-euklidiskt utrymme Normerat utrymme Minkowski utrymme

matriser

Grundläggande koncept	Matrismultiplikation Transponerad matris Hermitisk konjugatmatris Symmetrisk matris invers matris Eget värde Karakteristiskt polynom för en matris
Specialmatriser	Identitetsmatris Noll matris Diagonal matris lambda matris
Matrisnedbrytningar	LU-nedbrytning Cholesky nedbrytning QR-sönderdelning LUP-nedbrytning singulärvärdesfaktorisering Spektral nedbrytning av en matris

Övrig