Ömsesidigt galler

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 22 oktober 2013; kontroller kräver 13 redigeringar .

Ett reciprokt gitter är ett tredimensionellt punktgitter i ett abstrakt reciprokt utrymme, där avstånden har dimensionen reciprok längd. Konceptet med ett reciprokt gitter är praktiskt för att beskriva diffraktionen av röntgenstrålar , neutroner och elektroner på en kristall. Det ömsesidiga gittret (reciprokt utrymme, momentrum ) är Fouriertransformen av ett direkt kristallgitter (direkt utrymme).

Definition

Varje kristallstruktur motsvarar två gitter: ett kristallgitter och ett reciprokt gitter. Det är möjligt att definiera vektorerna för direkta och reciproka gitter. Ett diffraktionsmönster är en karta över en kristalls reciproka gitter, precis som en mikroskopisk bild är en karta över en kristalls faktiska struktur. Kristallgittervektorer har dimensionen längd, och dimensionen för reciproka gittervektorer är [längd] −1 . Det kristallina rutnätet är ett rutnät i det vanliga, verkliga rummet; det reciproka gittret är ett gitter i Fourierrymden . $\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\mathbf {a_{3}}$ $\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b_{2}} ,\mathbf {b_{3}}$

I kristallografi består det reciproka gittret av en uppsättning vektorer K så att

e^{i\mathbf {K} \cdot \mathbf {R} }=1

för alla vektorer R som indikerar positionen för noderna i kristallgittret.

För ett oändligt tredimensionellt gitter som kännetecknas av basvektorer , ges dess reciproka gitter av en trippel av basvektorer för det reciproka gittret , relaterade till basvektorerna för det direkta gittret genom relationen och beräknas med formlerna $(\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\mathbf {a_{3}} )$ $(\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b_{2}} ,\mathbf {b_{3}} )$ $\mathbf {a_{j}} \cdot \mathbf {b_{k}} =\mathbf {b_{k}} \cdot \mathbf {a_{j}} =2\pi \delta _{jk} =\left\{{\begin{matrix}2\pi ,&j=k\\0,&j\neq k\end{matrix}}\right.$

{\mathbf {b_{{1}}}}=2\pi {\frac {{\mathbf {a_{{2}}}}\times {\mathbf {a_{{3}}}}}{{\ mathbf {a_{{1}}}}\cdot ({\mathbf {a_{{2}}}}\times {\mathbf {a_{{3}}}})}}

{\mathbf {b_{{2}}}}=2\pi {\frac {{\mathbf {a_{{3}}}}\times {\mathbf {a_{{1}}}}}{{\ mathbf {a_{{2}}}}\cdot ({\mathbf {a_{{3}}}}\times {\mathbf {a_{{1}}}})}}

{\mathbf {b_{{3}}}}=2\pi {\frac {{\mathbf {a_{{1}}}}\times {\mathbf {a_{{2}}}}}{{\ mathbf {a_{{3}}}}\cdot ({\mathbf {a_{{1}}}}\times {\mathbf {a_{{2}}}})}}

Ovanstående definition kallas den fysiska definitionen, eftersom faktorn 2π härrör naturligt från studiet av periodiska strukturer. En ekvivalent kristallografisk definition uppstår om de ömsesidiga gittervektorerna följer följande relation , vilket ändrar formlerna för att hitta de ömsesidiga gittervektorerna: $e^{2\pi i\mathbf {K} \cdot \mathbf {R} }=1$

\mathbf {b_{1}} ={\frac {\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} }{\mathbf {a_{1}} \cdot (\mathbf { a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} )}}

och liknande för andra vektorer. Den kristallografiska definitionen är fördelaktig genom att den definieras som den reciproka av riktningen , utan 2π- faktorn . Det kan förenkla vissa matematiska manipulationer och uttrycker de ömsesidiga mätningarna av gittret i enheter av rumslig frekvens. Det är en bekvämlighetsfråga vilken definition av reciproka gittervektorer som ska användas, utan att naturligtvis blanda ihop dem. $\mathbf {b_{1}}$ $\mathbf {a_{1}}$ $\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}}$

Med andra ord kan varje system av plan specificeras fullständigt av den reciproka gittervektorn b , som är vinkelrät mot planen och är lika stor som b = 2 π/d , där d är det interplanära avståndet. Detta kan ses som definitionen av reciproka gittervektorer.

Den kristallografiska definitionen av en bas i vektoralgebra kallas för en reciprok bas och används för att bevisa vissa påståenden relaterade till vinklarna mellan vektorer och den blandade produkten [1] :212-214 .

Det reciproka gittret används för att bestämma planets index . Varje kristallografiskt plan motsvarar en uppsättning ömsesidiga gittervektorer, medan expansionskoefficienterna för den kortaste vektorn i ömsesidiga gitterenhetsvektorer är planets index.

Anteckningar

↑ Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Vektoralgebra i exempel och problem . - M . : Högre skola , 1985. - 232 sid.

Källor

Sirotin Yu. I., Shaskolskaya MP Fundamentals of crystal physics. — M .: Nauka, 1979. — 640 sid.