Zorns lemma

Zorn-lemmat (ibland Kuratowski-Zorn-lemmat ) är ett av påståendena som motsvarar valets axiom , tillsammans med Zermelo-satsen (den välordnande principen) och Hausdorff-maximumprincipen (som i själva verket är en alternativ formulering av Zorn-lemmat).

Den bär namnet på den tyske matematikern Max Zorn , nämns ofta också under namnet på den polske matematikern Kazimir Kuratowski , som formulerade ett liknande uttalande tidigare .

Påstående : En delvis ordnad uppsättning där vilken kedja som helst har en övre gräns innehåller ett maximalt element . Det finns ett antal likvärdiga alternativa formuleringar av .

Historik

Påståenden liknande och likvärdiga med Zorns lemma föreslogs av matematiker mycket tidigare än Zorn. Så 1904 bevisade Ernst Zermelo ett teorem enligt vilket varje uppsättning kan välordnas . För att bevisa det åberopade han "en obestridlig logisk princip", som han kallade valets axiom . Hausdorffs maximiprincip , formulerad och bevisad av honom 1914 , är en alternativ och tidigare formulering av Zorns lemma.

1922 bevisade Kuratovsky lemmat i en formulering nära den moderna (för en familj av uppsättningar beställda genom inkludering och stängda under föreningen av välordnade kedjor). Praktiskt taget samma påstående (i en svagare formulering, inte för helt ordnade kedjor, utan för godtyckliga) formulerades oberoende av Zorn 1935 i artikeln "On a Method from Transfinite Algebra". Zorn själv kallade den " maximalprincipen ", föreslog att den skulle inkluderas i mängdteorins axiom och använda den för att bevisa olika fältteorem istället för Zermelos välordnande princip.

Namnet "Zorns lemma " introducerades först av John Tukey 1940 .

Formuleringar

Det finns flera alternativa formuleringar av Zorns lemma.

Grundläggande formulering:

Om det i en delvis ordnad uppsättning för någon linjärt ordnad delmängd finns en övre gräns, så finns det ett maximalt element i.

Det är värt att förstå exakt vad som menas med denna formulering. Villkoret för existensen av en övre gräns för varje linjärt ordnad delmängd kräver inte att denna gräns nödvändigtvis ligger i själva delmängden. Det kräver bara att den övre gränsen finns i hela uppsättningen . Det maximala elementet här förstås i den meningen att det inte är mindre än alla de som det är jämförbart med. Det behöver inte vara större än eller lika med något element. Till exempel kommer ett element som inte är jämförbart med något annat element i uppsättningen att vara det maximala.

Huvudformuleringen av Zorns lemma kan förstärkas.

Förbättrad formulering:

Om det finns en övre gräns i en delvis ordnad mängd för någon linjärt ordnad delmängd, så finns det för varje element ett maximalt element i mängden som är större än eller lika med elementet .

Grundformuleringen hävdar att det finns ett element som, för varje enskilt element , antingen är större än eller lika med eller ojämförligt med det. Den förstärkta formuleringen hävdar existensen för vart och ett av ett sådant element att det är större än eller lika med , och samtidigt för alla andra element är det antingen större än eller lika med, eller ojämförligt. Det vill säga, för varje specifikt element kan du välja maximalt så att det blir större än eller lika med det. Detta maximala element kan vara olika beroende på det specifika elementet .

I den ursprungliga uppsatsen från 1935 formulerade Zorn ett uttalande för uppsättningar som delvis beställts genom inkludering.

Uttalande för en familj av uppsättningar:

Om en familj av mängder har egenskapen att föreningen av en kedja av mängder från återigen är en mängd från denna familj, så innehåller den en maximal mängd.

Denna formulering följer uppenbarligen av den huvudsakliga. Samtidigt, som kan ses, även för familjer av uppsättningar, är den svagare än den huvudsakliga, eftersom den kräver närvaron i familjen av bara föreningen av uppsättningar, och inte en godtycklig supermängd.

Trots att vissa av formuleringarna är starkare och vissa är svagare, är alla tre formuleringarna i Zorns lemma likvärdiga i Zermelo-Fraenkels axiomsystem . Beviset för detta finns i artikeln Statements likvärdig med Axiom of Choice .

Applikationer

I många problem är Zorn-lemmat den mest bekväma av alla formuleringar som motsvarar valets axiom; i synnerhet används det i beviset för följande satser:

Litteratur