Funktionsomfång

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 27 augusti 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Definitionsdomänen är den uppsättning som funktionen definieras på . Vid varje punkt i denna uppsättning måste värdet på funktionen bestämmas.

Definition

Om en funktion är definierad på en uppsättning som mappar uppsättningen till en annan uppsättning, kallas uppsättningen för definitionsdomän eller funktionsdomän . $X$ $X$ $X$

Mer formellt, om en funktion ges som mappar en mängd till , det vill säga: , kallas mängden definitionsdomänen [1] eller inställningsdomänen [2] för funktionen och betecknas eller (från den engelska domänen) - "område"). $f$ $X$ $Y$ $f\kolon X\till Y$ $X$ $f$ $D(f)$ $\mathrm {dom} \,f$

Ibland övervägs också funktioner som definieras på en delmängd av någon uppsättning . I det här fallet kallas uppsättningen för funktionens avgångsområde [ 3] . $D$ $X$ $X$ $f$

Exempel

De mest illustrativa exemplen på domäner tillhandahålls av numeriska funktioner . Måttet och det funktionella ger också viktiga typer av domäner i applikationer.

Numeriska funktioner

Numeriska funktioner är funktioner som tillhör följande två klasser:

realvärderade funktioner av en reell variabel är funktioner av formen ; $f\colon {\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$
såväl som komplext värderade funktioner av en komplex variabel av formen , $f\colon {\mathbb {C}}\to {\mathbb {C}}$

var och är mängderna av reella respektive komplexa tal. $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Identitetskartläggning

Funktionens omfattning är densamma som ursprungsområdet ( eller ). $f(x)=x$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Harmonisk funktion

Funktionens domän är det komplexa planet utan noll: $f(x)=1/x$

{\mathrm {dom}}\,f={\mathbb {C}}\setminus \{0\}

eftersom formeln inte sätter värdet på funktionen till noll till något tal.

Bråk-rationella funktioner

Omfattning av visningsfunktionen

f(x)={\frac {a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{m}x^{m}}{b_{0}+b_{1}x+\dots +b_{n} x^{n}}}

är den reella linjen eller det komplexa planet förutom ett ändligt antal punkter, som är lösningar av ekvationen

b_{0}+b_{1}x+\dots +b_{n}x^{n}=0

Dessa punkter kallas funktionens poler . $f$

Så, funktionen definieras på alla punkter där nämnaren inte försvinner, det vill säga där . Således är mängden av alla reella (eller komplexa) tal utom 2 och -2. $f(x)={\frac {2x}{x^{2}-4))$ $x^{2}-4\neq 0$ $\mathrm {dom} \,f$

Mät

Om varje punkt i domänen för en funktion är en mängd, till exempel en delmängd av en given mängd, så säger de att en mängd funktion är given .

Ett mått är ett exempel på en sådan funktion, där en viss uppsättning delmängder av en given mängd, som till exempel är en ring eller en semiring av mängder, fungerar som funktionens domän (mått).

Till exempel är den bestämda integralen en funktion av ett orienterat spann .

Funktionalitet

Låt vara en familj av mappningar från uppsättning till uppsättning . Sedan kan vi definiera en mappning av formuläret . En sådan mappning kallas en funktionell . ${\mathbb {F}}=\{f\mid f\colon X\to {\mathbb {R}}\}$ $X$ $\mathbb {R}$ $F\colon {\mathbb {F}}\to {\mathbb {R}}$

Om vi till exempel fixar någon punkt , så kan vi definiera en funktion som tar samma värde vid "punkten" som själva funktionen vid punkten . $x_{0}\in ~X$ $F(f)=f(x_{0})$ $f$ $f$ $x_{0}$

Se även

Funktionsområde

Anteckningar

↑ V. A. Sadovnichiy . Operatörsteori. - M . : Drofa, 2001. - S. 10. - 381 sid. — ISBN 5-71-074297-X .
↑ V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . Kapitel 3. Theory of Limits // Matematisk analys / Ed. A.N. Tikhonova . - 3:e uppl. , reviderad och ytterligare - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 105-121. — 672 sid. — ISBN 5-482-00445-7 .
↑ V. A. Zorich . Kapitel I. Några generella matematiska begrepp och notation. § 3. Funktion // Matematisk analys. Del I. - fjärde, korrigerad. - M. : MTSNMO, 2002. - S. 12-14. — 664 sid. — ISBN 5-94057-056-9 .

Litteratur

Funktion, Mathematical Encyclopedic Dictionary . - Ch. ed. Yu. V. Prokhorov. - M .: "Stora ryska uppslagsverket", 1995.
Klein F. Det allmänna konceptet för en funktion . I: Elementär matematik från en högre synvinkel. T.1. M.-L., 1933
I.A. Lavrov ochL.L. Maksimova Del I. Mängdlära// Problem i mängdlära, matematisk logik och algoritmteori. -3:e uppl. . -M.: Fizmatlit, 1995. - S. 13 - 21. - 256 sid. —ISBN 5-02-014844-X.
A.N. Kolmogorov ochS.V. Fomin Kapitel 1. Element i mängdlära// Element i funktionsteori och funktionsanalys. -3:e uppl. . -M.: Nauka, 1972. - S. 14 - 18. - 256 sid.
J.L. Kelly . Kapitel 0. Preliminärer// Allmän topologi. -2:a uppl. . -M.: Nauka, 1981. - S. 19 - 27. - 423 sid.
V. A. Zorich . Kapitel I. Några generella matematiska begrepp och notation. § 3. Funktion// Matematisk analys, del I. -M.: Nauka, 1981. - S. 23 - 36. - 544 sid.
G.E. Shilov . Kapitel 2. Element i mängdlära. § 2.8. Det allmänna konceptet för en funktion. Graf// Matematisk analys (funktioner av en variabel). -M.: Nauka, 1969. - S. 65 - 69. - 528 sid.
A. N. Kolmogorov . Vad är en funktion // "Quantum" : scientific-pop. Phys.-Matte. tidskrift - M . : "Nauka" , 1970. - Nr 1 . - S. 27-36 . — ISSN 0130-2221 .