Centralt grenrör

Mittgrenröret för en singularpunkt i en autonom ordinarie differentialekvation är ett invariant grenrör i fasutrymmet som passerar genom singulärpunkten och tangerar det invarianta centrala underrummet av differentialekvationens linearisering . [1] Ett viktigt studieobjekt i teorin om differentialekvationer och dynamiska system . På sätt och vis är hela den icke-triviala dynamiken i systemet i närheten av singularpunkten koncentrerad till mittgrenröret. [2]

Formell definition

Betrakta en autonom differentialekvation med singularpunkten 0:

${\dot {x}}=Ax+f(x),\quad (*)$

där , är en linjär operator, är en jämn funktion av klass , och och . Med andra ord är linjäriseringen av vektorfältet vid singularispunkten 0. ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n))$ $A$ $f(x)$ $C^{k+1}$ $f(0)=0$ $Df(0)=0$ $Yxa$

delutrymme	titel	spektrum A
$T^{s}$	stabil _ _	$\operatorname {Re} \lambda <0$
$T^{u}$	instabil _ _	$\operatorname {Re} \lambda >0$
$T^{c}$	central ( mitten )	$\operatorname {Re} \lambda =0$

Enligt de klassiska resultaten av linjär algebra bryts ett linjärt utrymme ned i en direkt summa av tre invarianta delrum , där de bestäms av tecknet för den reella delen av motsvarande egenvärden (se tabell) $A$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=T^{s}\oplus T^{u}\oplus T^{c))$ $T^{s},T^{u},T^{c}$

Dessa delrum är invarianta grenrör av ett linjäriserat system vars lösning är en matrisexponent . Det visar sig att dynamiken i systemet i närheten av en singulär punkt i sina egenskaper är nära dynamiken i ett linjäriserat system. Mer exakt är följande påstående sant: [3] [4] ${\dot {x}}=Ax$ ${\displaystyle x(t)=e^{At}x_{0))$

Sats (på mittgrenröret).

Antag att den högra sidan av differentialekvationen (*) tillhör klassen , . Sedan, i närheten av singularpunkten, finns det varianter och klasser och , respektive invarianta under differentialekvationens fasflöde. De berör vid ursprunget underrummen och och kallas stabila , instabila respektive mittgrenrör . $C^k$ $2\leq k<\infty$ $W^{s},W^{u}$ $W^{c}$ $C^{k},C^{k}$ $C^{k-1}$ $T^{s},T^{u}$ $T^{c}$

I fallet när den högra sidan av ekvationen (*) tillhör klassen , grenrören och även tillhör klassen , men mittgrenröret , generellt sett, kan bara vara ändligt jämnt. Dessutom, för vilket som helst godtyckligt stort antal, hör grenröret till klassen i något grannskap som drar ihop sig till en singulär punkt vid , så att skärningspunkten mellan alla grannskap endast består av singularisen själv [5] . ${\displaystyle C^{\infty ))$ ${\displaystyle W^{s))$ ${\displaystyle W^{u))$ ${\displaystyle C^{\infty ))$ $W^{c}$ $k$ $W^{c}$ $C^{k}$ $Storbritannien$ $k\to\infty$ $Storbritannien$

Stabila och instabila invarianta grenrör kallas också hyperboliska , de är unikt definierade; samtidigt är ett lokalt centrumgrenrör inte unikt definierat. Uppenbarligen, om systemet (*) är linjärt, så sammanfaller de invarianta grenrören med motsvarande invarianta delrum hos operatören . $A$

Exempel: sadelpunkt

Icke-degenererade singulära punkter i planet har inget mittgrenrör. Tänk på det enklaste exemplet på en degenererad singularpunkt: en sadelnod av formen

${\begin{cases}{\dot {x}}=x^{2}\\{\dot {y}}=y\end{cases}}$

Dess instabila grenrör sammanfaller med Oy-axeln och består av två vertikala separator och och själva singularpunkten. De återstående faskurvorna ges av ekvationen $\{x=0,y>0\}$ ${\displaystyle \{x=0,y<0\))$

$y(x)=y_{0}\exp \left({\frac {1}{x_{0}}}-{\frac {1}{x}}\right)$ ,

var . $y(x_{0})=y_{0}$

Det är lätt att se att i det vänstra halvplanet sammanfaller den enda faskurvan som tenderar mot singularpunkten med Ox-axelns stråle . Samtidigt finns det i det högra halvplanet oändligt många ( kontinuum ) faskurvor som tenderar mot noll - dessa är grafer för funktionen y(x) för vilken som helst och vilken som helst . På grund av det faktum att funktionen y(x) är platt vid noll, kan vi komponera ett jämnt invariant grenrör från strålen , punkten (0, 0) och valfri bana i det högra halvplanet. Vilken som helst av dem kommer lokalt att vara punktens mittgrenrör (0, 0). [6] ${\displaystyle \{x<0,y=0\))$ $x_{0}>0$ $y_0$ ${\displaystyle \{x<0,y=0\))$

Globala centrumgrenrör

Om vi betraktar ekvationen (*) inte i någon närhet av singularpunkten 0, utan i hela fasutrymmet , kan vi definiera det globala centrumgrenröret . Informellt sett kan det definieras som ett invariant mångfald vars banor inte tenderar till oändlighet (i framåt eller bakåt tid) längs hyperboliska riktningar. I synnerhet innehåller det globala centrumgrenröret alla avgränsade banor (och följaktligen alla gränscykler , singulära punkter , separatrix-kopplingar, etc.) [7] $\mathbb {R} ^{n}$

Betrakta projektionerna av utrymmet på motsvarande invarianta delrum hos operatören . Vi definierar också ett delrum och en projektion på det. Mittgrenröret är uppsättningen av punkter i fasutrymmet så att projektionen av banor som börjar från , på det hyperboliska underrummet, är avgränsad. Med andra ord ${\displaystyle \pi _{s},\ \pi _{u},\pi _{c))$ $\mathbb {R} ^{n}$ $A$ $T^{h}=T^{u}\oplus T^{s}$ $\pi _{h}$ $W^{c}$ $x$ $x$

$W^{c}:=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\sup _{t\in \mathbb {R} }|\pi _{h}({\ tilde {x}}(t,x))|<\infty \right\}$ ,

var är en lösning av ekvation (*) sådan att . [åtta] ${\tilde {x}}(t,x)$ ${\tilde {x}}(0,x)=x$

För existensen av ett globalt centrummanifold måste ytterligare villkor ställas på funktionen: boundedness och Lipschitz-egenskap med en tillräckligt liten Lipschitz-konstant. I det här fallet existerar ett globalt centrummanifold, som i sig är ett Lipschitz-undergrenrör av , och är unikt definierat. [8] Om vi kräver jämnhet av ordningen och litenheten hos derivatan, kommer det globala centrummanifoldet att ha en jämn ordning och beröra det centrala invarianta delrummet vid singularispunkten 0. Det följer att om vi betraktar begränsningen av det globala centret grenrör till ett litet område av singulära punkt, då kommer det att vara ett lokalt centrum grenrör är ett sätt att bevisa sin existens. Även om systemet (*) inte uppfyller villkoren för existensen av ett globalt centrumgrenrör, kan det modifieras utanför någon grannskap av noll (genom att multiplicera med en lämplig jämn cutoff-funktion av typen " cap "), så att dessa villkoren börjar vara uppfyllda, och överväga begränsningen som de modifierade globala centrala grenrörssystem. Det visar sig att det omvända påståendet också kan formuleras: man kan globalisera ett lokalt givet system och utvidga det lokala centrummanifoldet till det globala. [9] Mer exakt är detta uttalande formulerat enligt följande: [10] $f(x)$ $\mathbb {R} ^{n}$ $f(x)$ $k$ $k$ $T^{c}$

Sats. Låt , , , och vara ett lokalt centrumgrenrör (*). Det finns ett så litet område med noll och en funktion avgränsad till hela rymden som sammanfaller med att ekvationen (*) för funktionen har ett jämnt globalt centrumgrenrör som sammanfaller i regionen med

f\in C^{k}(\mathbb {R} ^{n})

k\geq 1

f(0)=0

Df(0)=0

W^{c}

\Omega

{\tilde {f}}(x)

f(x)

\Omega

\tilde f

\Omega

W^{c}

Det bör noteras att övergången från lokala till globala problem och vice versa ofta används för att bevisa påståenden relaterade till centrummanifolder.

Reduktionsprincip

Som nämnts ovan är den icke-triviala dynamiken nära singularpunkten "koncentrerad" på mittgrenröret. Om singularpunkten är hyperbolisk (det vill säga lineariseringen innehåller inte egenvärden med noll reell del), så har den inte ett centrumgrenrör. I det här fallet, enligt Grobman-Hartman-satsen , är vektorfältet orbitalt-topologiskt ekvivalent med dess linearisering, det vill säga ur en topologisk synvinkel bestäms dynamiken i ett olinjärt system helt av lineariseringen. I fallet med en icke-hyperbolisk singulär punkt, bestäms topologin för fasflödet av den linjära delen och begränsningen av flödet till mittgrenröret. Detta uttalande, kallat Shoshitaishvilis reduktionsprincip , är formulerat enligt följande: [11]

Teorem (A. N. Shoshitaishvili, 1975 [12] ).

Antag att den högra sidan av vektorfältet (*) tillhör klassen . Sedan, i en omgivning av en icke-hyperbolisk singular punkt, är den orbitalt topologiskt ekvivalent med produkten av standardsadeln och begränsningen av fältet till mittgrenröret: $C^{2}$

${\begin{cases}{\dot {x}}=w(x)\\{\dot {y}}=-y\\{\dot {z}}=z,\end{cases} }\quad x\in W^{c},\ y\in T^{s},\ z\in T^{u}$

Anteckningar

↑ D. Wang, C. Lee, S.-N. Käk. Normala former och bifurkationer av vektorfält på planet. - M. : MTSNMO, 2005. - 416 sid. — ISBN 5-94057-206-5 . , c. 13
↑ Ilyashenko Yu.S., Veigu L. Nonlocal bifurcations. - M. : MTsNMO-Chero, 1999. - 416 sid. — ISBN 5-900916-34-0 . , kapitel 1, punkt 2.3
↑ Ilyashenko Yu.S., Veigu L. Nonlocal bifurcations. - M. : MTsNMO-Chero, 1999. - 416 sid. — ISBN 5-900916-34-0 . , kapitel 1, punkt 2.2
↑ Icke-linjär dynamik och kaos, 2011 , sid. 133.
↑ Gukenheimer J., Holmes F. Icke-linjära oscillationer, dynamiska system och bifurkationer av vektorfält, - Moskva-Izhevsk: IKI, 2002. - Kapitel 3, par. 3.2.
↑ D. Wang, C. Lee, S.-N. Käk. Normala former och bifurkationer av vektorfält på planet. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 37. - 416 sid. — ISBN 5-94057-206-5 .
↑ D. Wang, C. Lee, S.-N. Käk. Normala former och bifurkationer av vektorfält på planet. - M. : MTsNMO, 2005. - S. 14. - 416 sid. — ISBN 5-94057-206-5 .
↑ 1 2 D. Wang, C. Lee, S.-N. Käk. Normala former och bifurkationer av vektorfält på planet. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 16. - 416 sid. — ISBN 5-94057-206-5 .
↑ D. Wang, C. Lee, S.-N. Käk. Normala former och bifurkationer av vektorfält på planet. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 36. - 416 sid. — ISBN 5-94057-206-5 .
↑ D. Wang, C. Lee, S.-N. Käk. Normala former och bifurkationer av vektorfält på planet. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 38. - 416 sid. — ISBN 5-94057-206-5 .
↑ Ilyashenko Yu.S., Veigu L. Nonlocal bifurcations. - M. : MTsNMO-Chero, 1999. - 416 sid. — ISBN 5-900916-34-0 . se även D. Wang, C. Lee, Sh.-N. Käk. Normala former och bifurkationer av vektorfält på planet. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 406. - 416 sid. — ISBN 5-94057-206-5 .
↑ Shoshitaishvili A.N. Bifurkationer av den topologiska typen av ett vektorfält nära en singulär punkt. // Tr. seminarier till dem. I. G. Petrovsky. - 1975. - Nummer 1. . - S. 279-309 .

Litteratur

Malinetsky G. G. , Potapov A. B. Icke-linjär dynamik och kaos: grundläggande begrepp. - M. : Librokom, 2011. - 240 sid. - ISBN 978-5-397-01583-7 .