Symbolisk dynamik

Symbolisk dynamik är ett förenande namn för en klass av dynamiska system , för vilka punkterna i fasutrymmet är sekvenser i något ändligt alfabet av "symboler", och kartläggningen består i att skifta sekvensen med en symbol till vänster.

De enklaste exemplen är Bernoulli- skiftet och Markov-skiftet . Symbolisk dynamik uppstår också när man överväger visningen av ödet .

Grundläggande exempel

Bernoulli shift

Låt vara utrymmet för sekvenser i alfabetet , det vill säga, $\Sigma _{s}^{{+}}$ $\{1,\dots ,s\}$

\Sigma _{s}^{{+}}=\{(\omega _{j})_{{j=1}}^{{\infty }}\mid \forall j\quad w_{j}\ i \{1,\dots ,s\}\}.

Ett Bernoulli-skift är ett dynamiskt system , där är kartläggningen av vänsterskiftet, $(\Sigma _{s}^{{+}},\sigma )$ $\sigma$

(\sigma (\omega ))_{j}=\omega _{{j+1}}.\qquad (*)

Vi överväger också kartläggningen av vänsterskiftet på utrymmet för tvåsidiga oändliga sekvenser

\Sigma _{s}=\{(\omega _{j})_{{j=-\infty }}^{{\infty }}\mid \forall j\quad w_{j}\in \{1 ,\dots ,s\}\};

det resulterande dynamiska systemet kallas även Bernoulli-skiftet. Om det behövs, för att klargöra vilket av systemen som avses, kallas det första systemet ensidigt Bernoulli-skifte och det andra tvåsidigt . $(\Sigma _{s},\sigma )$

Markov shift

Destiny Mapping

Om fasutrymmet i ett dynamiskt system är uppdelat i en förening av disjunkta uppsättningar,

X=\bigsqcup _{{i=1}}^{N}B_{i},

vilken punkt som helst kan associeras med dess öde - sekvensen av antal uppsättningar som dess omloppsbana besöker: $x\i X$

x\mapsto (i_{k}),\quad f^{k}(x)\in B_{{i_{k}}}.\qquad (*)

Dessutom, för irreversibla dynamiska system, är sekvensen ensidig, dvs. , och för reversibla system betraktar man vanligtvis tvåsidiga oändliga sekvenser, . $(i_{k})$ $k=0,1,2,\prickar$ $k\in \mathbb{Z }$

Mappningen eller , som ges av formeln (*), kallas ödesmappningen (motsvarande den givna indelningen av fasrummet). En sådan mappning tillfredsställer automatiskt relationen $h:X\till \Sigma _{N}$ $h:X\till \Sigma _{N}^{+}$

h\circ f=\sigma \circ h.

Även om ödeskartan på förhand varken är surjektiv, inte injektiv eller kontinuerlig, används den ofta i konstruktionen av konjugationer eller semikonjugationer av olika avbildningar. I fallet när kartläggningen av ödet är injektiv, talar man om en symbolisk kodning av dynamiken - eftersom tillämpningen av kartläggningen en sådan "ersättning av koordinater" förvandlas till dynamik från det symboliska rummet eller från dess sida. $\Sigma _{N}$

Egenskaper

Exempel

Invarianta mått

Litteratur

P. Billingsley, Ergodisk teori och information.
V.I. Arnold, D.V. Anosov, Yu.S. Ilyashenko, et al., Dynamic Systems-1, VINITI.
Katok A. B. , Hasselblat B. Introduktion till den moderna teorin om dynamiska system med en genomgång av senaste prestationer / Per. från engelska. ed. A.S. Gorodetsky. — M .: MTSNMO , 2005. — 464 sid. — ISBN 5-94057-063-1 .