Levi-Civita-anslutning

Levi-Civita-kopplingen (eller kopplingen som är förknippad med metrisk ) är en av huvudstrukturerna på ett Riemann-grenrör. Ger ett naturligt sätt att differentiera vektorfält på ett Riemann-grenrör ; är ekvivalent med att specificera kovariansdifferentiering , såväl som parallell translation längs kurvor. Uppkallad efter den italienske matematikern Tullio Levi-Civita .

Definition

En Levi-Civita-koppling är en affin koppling med noll vridning på ett Riemannsk (eller pseudo-Riemannskt ) grenrör med avseende på vilket den metriska tensorn är kovariant konstant. $M$

Det vill säga, en affin anslutning på ett Riemann-grenrör kallas en Levi-Civita-förbindelse om följande två villkor är uppfyllda för den: $\nabla$ $(M,\;g)$

(Riemannian) för alla vektorfält , , sant , där betecknar derivatan i riktningen . $X$ $Y$ $Z$
$X(g(Y,\;Z))=g(\nabla_X Y,\;Z)+g(Y,\;\nabla_X Z)$
$X(g(Y,\;Z))$ $g(Y,Z)$ $X$
(frånvaro av torsion) för alla vektorfält och , var är Lie-parenteserna för vektorfälten och . $X$ $Y$
$\nabla_XY-\nabla_YX-[X,\;Y]=0$
$[X,\;Y]$ $X$ $Y$

Egenskaper

Varje Riemannsk (och pseudo-Riemann) mångfald har en unik Levi-Civita-koppling; detta uttalande kallas ibland för Riemannsk geometris grundläggande teorem .

Se även

Litteratur

Burago Yu.D., Zalgaller V.A. Introduktion till Riemannsk geometri. - St. Petersburg: Nauka, 1994. - ISBN 5-02-024606-9 .