Kovariant derivata

Den kovarianta derivatan är en generalisering av begreppet en derivata för tensorfält på grenrör . Begreppet en kovariant derivata är nära besläktad med begreppet en affin koppling .

Den kovarianta derivatan av ett tensorfält i tangentvektorns riktning betecknas vanligtvis . $T$ ${{\mathbf v}}$ $\nabla _{{{\mathbf v}}}T$

Motivation

Konceptet med en kovariansderivata tillåter oss att definiera differentieringen av tensorfält i riktningen för tangentvektorn för något grenrör. Liksom riktningsderivatan tar den kovarianta derivatan som argument: (1) en vektor definierad vid någon punkt och (2) ett vektorfält definierad i en grannskap . Resultatet är en vektor , även definierad i . Huvudskillnaden mot riktningsderivatan är att den inte bör bero på valet av koordinatsystem . ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} ))$ $\mathbf {u}$ $P$ $\mathbf{v}$ $P$ $\nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }\left(P\right)$ $P$ ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} ))$

Vilken vektor som helst kan representeras som en uppsättning tal, vilket beror på valet av bas . En vektor som ett geometriskt objekt förändras inte när basen ändras, medan komponenterna i dess koordinatrepresentation ändras enligt den kovarianta transformationen beroende på bastransformationen. Den kovarianta derivatan måste lyda samma kovarianta transformation.

I fallet med det euklidiska utrymmet definieras derivatan av ett vektorfält ofta som gränsen för skillnaden mellan två vektorer definierade vid två närliggande punkter. I detta fall kan en av vektorerna flyttas till början av den andra vektorn med hjälp av parallell translation och sedan subtraheras. Således är det enklaste exemplet på en kovariansderivata komponentvis differentiering i ett ortonormalt koordinatsystem .

I det allmänna fallet är det nödvändigt att ta hänsyn till förändringen i basvektorer under parallell translation . Exempel: en kovariansderivata skriven i polära koordinater för ett tvådimensionellt euklidiskt utrymme innehåller ytterligare termer som beskriver "rotationen" av själva koordinatsystemet under parallell translation. I andra fall kan den kovarianta derivatformeln inkludera termer som motsvarar kompression, sträckning, torsion, sammanflätning och andra transformationer som ett godtyckligt krökt koordinatsystem är föremål för.

Som ett exempel, betrakta en kurva definierad på det euklidiska planet. I polära koordinater kan en kurva uttryckas i termer av polär vinkel och radie . Vid ett godtyckligt ögonblick i tiden kan radievektorn representeras i termer av ett par , där och är enhetsvektorer som tangerar det polära koordinatsystemet, vilka bildar en bas som tjänar till att sönderdela vektorn i radiella och tangentiella komponenter. När parametern ändras uppstår en ny grund, som inte är något annat än den gamla grunden som utsätts för rotation. Denna transformation uttrycks som den kovarianta derivatan av basvektorerna, även kända som Christoffel Symbols . $\gamma (t)$ $\gamma (t)=(r(t),\theta (t))$ $t$ $({\mathbf {e} }_{r},{\mathbf {e} }_{\theta })$ ${\displaystyle {\mathbf {e} }_{r))$ ${\displaystyle {\mathbf {e} }_{\theta ))$ $t$

I det krökta rymden, som till exempel är jordens yta, definieras inte entydig parallellöversättning . Istället definieras operationen av parallell translation av en vektor från en punkt till en annan, vilket beror på valet av bana. Föreställ dig faktiskt en vektor definierad vid en punkt (som ligger på ekvatorn) och riktad mot nordpolen. Med hjälp av parallell translation flyttar vi först vektorn längs ekvatorn utan att ändra dess riktning, sedan höjer vi den längs en meridian till nordpolen och sänker den tillbaka till ekvatorn längs den andra meridianen. Det är uppenbart att en sådan förskjutning av en vektor längs en sluten bana på en sfär kommer att ändra dess orientering. Ett liknande fenomen orsakas av krökningen av jordklotets yta och observeras inte i det euklidiska rymden. Det uppstår på grenrör när en vektor rör sig längs vilken som helst (även oändligt liten) sluten kontur, vilket inkluderar rörelse längs minst två olika riktningar. I detta fall är gränsen för det oändliga inkrementet för en vektor ett mått på grenrörets krökning. ${\displaystyle {\mathbf {e} ))$ $F$ ${\displaystyle {\mathbf {e} ))$

Anteckningar

Definitionen av en kovariant derivata använder inte begreppet ett mått. Dessutom, för alla val av rymdmetrik, finns det en unik torsionsfri kovariantderivata, kallad Levi-Civita-kopplingen . Det bestäms från villkoret: den kovarianta derivatan av den metriska tensorn är lika med noll.

Egenskaperna för derivatan innebär att den beror på en godtyckligt liten omgivning av en punkt på samma sätt som t.ex. derivatan av en skalär funktion längs en kurva vid en given punkt beror på en oändligt liten grannskap av denna punkt. $\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}$ $P$ $P$

Informationen som finns i närheten av punkten kan användas för att bestämma den parallella translationen av vektorn. På liknande sätt kan begreppen krökning , torsion och geodesik introduceras genom att endast använda begreppet en kovariant derivata och dess generaliseringar såsom väganslutning . $P$

Formell definition

Skalära funktioner

För en skalär funktion är den kovarianta derivatan densamma som den vanliga derivatan av funktionen med avseende på vektorfältets riktning . $f$ ${\nabla }_{{{\mathbf {v}}}}f$ $\mathbf{v}$

Vektorfält

Den kovarianta derivatan av ett vektorfält i vektorfältets riktning , betecknad med , definieras av följande egenskaper för alla vektorer , vektorfält och skalära funktioner och : $\nabla$ ${{\mathbf u}}$ ${{\mathbf v}}$ $\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}$ $\mathbf{v}$ $\mathbf {u}$ $\mathbf {w}$ $f$ $g$

$\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}$ linjär med avseende på , det vill säga ${{\mathbf v}}$ $\nabla _{{f{{\mathbf v}}+g{{\mathbf w}}}}{{\mathbf u}}=f\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u }} ))+g\nabla _{{{\mathbf w}}}{{\mathbf u}}$
$\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}$ är additiv med avseende på , dvs ${{\mathbf u}}$ $\nabla _{{{\mathbf v}}}({{\mathbf u}}+{{\mathbf w}})=\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}+ \nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf w}}$
$\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}$ följer produktregeln , det vill säga där den definieras ovan. $\nabla _{{{\mathbf v}}}f{{\mathbf u}}=f\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}+{{\mathbf u}}\ nabla _{{{\mathbf v}}}f$ $\nabla _{{{\mathbf v}}}f$

Notera

Observera att vid en punkt endast beror på värdet vid punkten och på värdena i dess närhet. I synnerhet är den kovarianta derivatans operator inte en tensor (trots att dess värde på varje tensorfält är en tensor). $\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}$ $sid$ $\mathbf{v}$ $sid$ $\mathbf {u}$

Kovektorfält

Givet ett fält av kovektorer (det vill säga en gång kovarianta tensorer, även kallade 1-former ) , kan dess kovariantderivata definieras med hjälp av följande identitet, som är uppfylld för alla vektorfält : $\alfa$ $\nabla _{{{\mathbf v}}}\alpha$ $\mathbf {u}$

\nabla _{{{\mathbf v))}(\alpha ({{\mathbf u))))=(\nabla _{{{\mathbf v))}\alpha )({{\mathbf u)) )+\alpha (\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}).

Den kovarianta derivatan av ett kovektorfält längs ett vektorfält är också ett kovektorfält. $\mathbf{v}$

Det är också möjligt att oberoende definiera den kovarianta derivatan av ett kovektorfält, som inte är relaterat till derivatan av vektorfält. Sedan, i det allmänna fallet, beror derivatorna av skalärer på deras ursprung, och man talar om den ickemetriska naturen hos den affina kopplingen som är associerad med den givna kovariantderivatan. Med definitionen som ges ovan är nonmetriciteten lika med noll.

Tensorfält

När den kovarianta derivatan väl är definierad för vektor- och kovektorfält kan den enkelt generaliseras till godtyckliga tensorfält med hjälp av Leibniz-regeln ( och är godtyckliga tensorer): $\varphi$ ${\psi}$

\nabla _{{{\mathbf v))}(\varphi \otimes \psi )=(\nabla _{{{\mathbf v))}\varphi )\otimes \psi +\varphi \otimes (\nabla _ {{{\mathbf v}}}\psi ),

Om och är tensorfält från samma tensorpaket kan de läggas till: $\varphi$ $\psi$

\nabla _{{{\mathbf v))}(\varphi +\psi )=\nabla _{({\mathbf v))}\varphi +\nabla _{{{\mathbf v))}\psi .

Uttryck i koordinater

Låt tensortypfältet ges av dess komponenter i något lokalt koordinatsystem , och komponenterna är differentierbara funktioner . Då är den kovarianta derivatan av tensorfältet en tensor av typen , som definieras av formeln: $(p,q)$ ${T^{{i_{1}i_{2}\ldots i_{p)))))_{{j_{1}j_{2}\ldots j_{q}}}({\mathbf {x}}) )$ $x^{k}$ $(p,q+1)$

$\nabla _{\ell }{T^{{i_{1}i_{2}\ldots i_{p))))_{{j_{1}j_{2}\ldots j_{q}}}={ \frac {\partial {T^{{i_{1}i_{2}\ldots i_{p))))_{{j_{1}j_{2}\ldots j_{q)))){\partial x^{\ell ))}+\summa _{{k=1}}^{p}{T^{{i_{1}\ldots k\ldots i_{p))))_{{j_{1 }j_{2}\ldots j_{q}}}\Gamma ^{{i_{k}}}{}_{{\ell k}}-\sum _{{m=1}}^{q}{ T^{{i_{1}i_{2}\ldots i_{p}}}}_{{j_{1}\ldots m\ldots j_{q}}}\Gamma ^{{m}}{}_ {{\ell j_{m))}$

var är Christoffel-symbolerna , som uttrycker anslutningen av ett krökt grenrör. $\Gamma ^{{k}}{}_{{ij}}$

Exempel för vissa typer av tensorfält

Den kovarianta derivatan av ett vektorfält har en ytterligare term jämfört med den partiella derivatan, $V^{m}\$

\nabla _{\ell }V^{m}={\frac {\partial V^{m}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma ^{m}{}_{{k\ ell }}V^{k}.\

Den kovarianta derivatan av ett skalärt fält är densamma som den partiella derivatan, $\varphi\$

\nabla _{i}\varphi ={\frac {\partial \varphi}{\partial x^{i))}\

och den kovarianta derivatan av ett kovektorfält är $\omega _{m}\$

\nabla _{\ell }\omega _{m}={\frac {\partial \omega _{m)){\partial x^{\ell ))}-\Gamma ^{k}{}_{{ \ell m}}\omega _{k}.\

För en vridningsfri anslutning är Christoffel-symbolerna symmetriska, och de kovarianta derivatorna av det skalära fältet pendlar:

\nabla _{i}\nabla _{j}\varphi =\nabla _{j}\nabla _{i}\varphi \

I allmänhet pendlar inte kovarianta derivator av tensorer (se krökningstensor ).

Den kovarianska derivatan av ett typtensorfält är $(2.0)$ $A^{{ik}}\$

\nabla _{\ell }A^{{ik}}={\frac {\partial A^{{ik}}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma ^{i}{}_ {{m\ell }}A^{{mk}}+\Gamma ^{k}{}_{{m\ell }}A^{{im}},\

det är

A^{{ik}}{}_{{;\ell }}=A^{{ik}}{}_{{,\ell }}+A^{{mk}}\Gamma ^{i}{ }_{{m\ell }}+A^{{im}}\Gamma ^{k}{}_{{m\ell }}.\

För ett tensorfält med ett övre, ett lägre index är den kovarianta derivatan

A^{i}{}_{{k;\ell }}=A^{i}{}_{{k,\ell }}+A^{{m}}{}_{k}\Gamma ^ {i}{}_{{m\ell }}-A^{i}{}_{m}\Gamma ^{m}{}_{{k\ell }},\

slutligen, för ett dubbelt kovariant tensorfält, det vill säga ett fält av typen , $(0,2)$

A_{{ik;\ell }}=A_{{ik,\ell }}-A_{{mk}}\Gamma ^{m}{}_{{i\ell }}-A_{{im}}\ Gamma ^{m}{}_{{k\ell }}.\

Se även

Litteratur

Rashevsky PK Riemann geometri och tensoranalys. - Vilken upplaga som helst.

Differentialkalkyl

Main

privata vyer

Differentialoperatorer
( i olika koordinater )

Första beställning	Nabla-operatör Lutning Divergens Rotor Helmholtzian
andra beställning	Elliptisk operatör Laplace-operatör Laplace vektor operatör D'Alembert operatör Laplace-Beltrami operatör
högre order	Hypoelliptisk operatör

Relaterade ämnen