Fördelning (differentialgeometri)

En fördelning på ett grenrör är ett underpaket av grenrörets tangentbunt . Med andra ord, vid varje punkt väljs ett linjärt delrum av tangentutrymmet , vilket smidigt beror på punkten . $M$ $x\i M$ $\Delta _{x}$ $T_{x}M$ $x$

Fördelningar används i teorin om integrerbarhet och i teorin om foliations på ett grenrör.

Definition

Låt vara en jämn -dimensionell grenrör och . Antag att vid varje punkt väljs ett dimensionellt delrum av tangentrymden så att varje punkt har en grannskap och linjärt oberoende jämna vektorfält , och för vilken punkt som helst utgör vektorerna basen för delrummet . $M$ $n$ $k\leq n$ $x \i M$ $k$ $\Delta _{x}\subset T_{x}(M)$ $x\i M$ $U_{x}\subset M$ $k$ $X_{1},\ldots ,X_{k}$ $y\in U_{x}$ $X_{1}(y),\ldots ,X_{k}(y)$ $\Delta _{y}\subset T_{y}(M)$

I detta fall kallas samlingen av alla delrum , , dimensionell fördelning på grenröret . $\Delta$ $\Delta _{x}$ $x \i M$ $k$ $M$

I det här fallet kallas vektorfälten för distributionens lokala bas $\{X_{1},\ldots ,X_{k}\}$ $\Delta .$

Involutiva distributioner

En fördelning på kallas involutiv om det i närheten av varje punkt finns en lokal distributionsbas så att alla vektorfältens Lie-parenteser tillhör det linjära spannet , det vill säga de är linjära kombinationer av vektorer . Villkoret för att fördelningen ska vara involutiva skrivs som . $\Delta$ $M$ $x \i M$ $\{X_{1},\ldots ,X_{k}\}$ $[X_{i},X_{j}]$ $\{X_{1},\ldots ,X_{k}\}$ $[X_{i},X_{j}]$ $\{X_{1},\ldots ,X_{k}\}.$ $\Delta$ $[\Delta ,\Delta ]\subset \Delta$

Involutiva distributioner är tangentutrymmen till foliationer . Involutiva distributioner är viktiga eftersom de uppfyller villkoren för Frobenius-satsen och därmed leder till integrerbara system.

Definiera en distribution med ett 1-formssystem

På en öppen uppsättning kan dimensionsfördelningen ges av ett system av jämna 1-former definierade vid och linjärt oberoende vid varje punkt: den definieras av ekvationerna . Om och är system av 1-former som bestämmer fördelningen i och i , då i skärningspunkten formen , där är jämna funktioner så att i . Om , vi säger att det globala definierande systemet av former är givet . $U\subset M$ $k$ $\Delta$ ${\displaystyle \omega _{1},\dots ,\omega _{nk))$ $U$ $\omega _{i}(\xi )=0$ ${\displaystyle \{\omega _{1}\dots ,\omega _{nk}\))$ ${\displaystyle \{\omega _{1}',\dots ,\omega _{nk}'\))$ $\Delta$ $U$ $du'$ $U\cap U'$ ${\displaystyle \omega _{i}=\summa \phi _{ij}\omega _{j))$ $\phi _{ij}$ $\det(\phi _{ij})\neq 0$ $U\cap U'$ $U=M$

Distributionsintegrerbarhet

$k$ En -dimensionell fördelning sägs vara integrerbar om det finns en -dimensionell integralyta som passerar genom varje punkt som tangerar fördelningen vid var och en av dess punkter. $x\i M$ $k$

Den endimensionella fördelningen ges av ett vektorfält som inte försvinner . En sådan fördelning är alltid integrerbar på grund av den lokala existens- och unikhetssatsen för lösningar på vanliga differentialekvationer.

I det dimensionella fallet, , finns det både integrerbara och icke-integrerbara distributioner. Frobenius -satsen ger ett nödvändigt och tillräckligt villkor för en fördelnings integrerbarhet. $k$ $k>1$

Frobenius sats i termer av vektorfält

Sats: En dimensionell fördelning är integrerbar om och endast om uppsättningen vektorer som tangerar fördelningen är stängd under Lie-parentesen . $k$

Sålunda är involutiva distributioner integrerbara.

Frobenius sats i termer av 1-former

Sats: -dimensionell fördelning som ges av ett system av släta 1-former är integrerbar om och endast om någon differential $k$ ${\displaystyle \omega _{1},\dots ,\omega _{nk))$

${\displaystyle d\omega _{i}=\sum _{j}\eta _{j}^{i}\wedge \omega _{j))$ ,

där är släta 1-former. Om de definierande formerna är oberoende är detta villkor ekvivalent med systemet ${\displaystyle \eta _{j}^{i))$ $\omega _{{i}}$

$\omega _{1}\wedge \dots \wedge \omega _{nk}\wedge d\omega _{i}=0$ .

En integrerbar fördelning definierar en foliation på ett grenrör : dess fibrer är integrerade fördelningsytor. Observera att den dimensionella fördelningen alltid är integrerbar, därför genererar den en dimensionell foliation . $\Delta$ $M$ $ett$ $ett$

Thurstons teorem

Thurstons teorem : På ett slutet grenrör är varje fördelning homotopiskt integrerbar [1] , [2] .

För en öppen mångfald , fann Haefliger ett kriterium för att en fördelning ska vara homotop till någon integrerbar fördelning [3] .

Se även

Anteckningar

↑ W. Thurston , Theory of foliations of codimension larger than one - Comm. Matematik. Helv. 49 (1974), sid. 214–231.
↑ W. Thurston , Existens av codimension one foliations - Ann. of Math., 104:2 (1976), sid. 249–268.
↑ A. Haefliger , Feuilletages sur les variétés ouvertes - Topology, 9:2 (1970), s. 183–194.

Litteratur

Dubrovin B. A., Novikov S. P. , Fomenko A. T. Modern geometri. Metoder och tillämpningar. — M .: Nauka, 1971.
Fomenko A. T. , Fuchs D. B. En kurs i homotopi topologi. — M .: Nauka, 1989.