4-tensor

4-tensorer , fyra -tensorer - en klass av matematiska objekt som används för att beskriva några fysiska fält i relativistisk fysik , en tensor definierad på en fyrdimensionell rum-tid [1] .

Notera: i litteraturen kallas 4-tensorer ofta helt enkelt för tensorer, och dimensionen och karaktären av vektorrummet (manifold) på vilket de definieras i detta fall specificeras explicit eller är uppenbara från sammanhanget.

I allmänhet är en 4-tensor ett objekt med en uppsättning index:

A_{i_{1}i_{2}\ldots i_{n}}^{j_{1}j_{2}\ldots j_{m)),

dessutom tar vart och ett av indexen fyra värden (vanligtvis från noll till tre eller från ett till fyra, det vill säga, etc.). $i_{1}=0,1,2,3,i_{2}=0,1,2,3$

När du ändrar referenssystemet transformeras komponenterna i detta objekt enligt följande [2] :

A_{i_{1}i_{2}\ldots i_{n}}^{\prime j_{1}j_{2}\ldots j_{m}}=\beta _{j_{1}k_{ 1}}\beta _{j_{2}k_{2}}\ldots \beta _{j_{m}k_{m}}\alpha _{i_{1}l_{1}}\alpha _{i_{ 2}l_{2}}\ldots \alpha _{i_{n}l_{n}}A_{l_{1}l_{2}\ldots l_{n}}^{k_{1}k_{2}\ ldots k_{m}}

var är rotationsmatrisen i fyrdimensionell rumtid (matrisen för Lorentzgruppen ), och är dess invers. ${\displaystyle \alpha _{ij))$ ${\displaystyle \beta _{ij))$

Övre index kallas kontravarianta och lägre index kallas kovarianta. Det totala antalet index anger rangen för tensorn. 4-vektorn är en 4-tensor av första rang.

Vanligtvis i fysiken anses tensorer av samma natur med olika antal kovarianta och kontravarianta index som olika representationer av samma objekt. Sänkning eller höjning av indexet utförs med den metriska tensorn , till exempel för en 4-tensor av andra rangen ${\hat {g))$

{\displaystyle A^{ij}=g^{jk}A_{k}^{i))

Den yttre produktalgebran tillåter oss också att introducera relaterade dubbla tensorer för antisymmetriska tensorer .

Fördelar med 4D-notation

Relativitetsekvationerna , elektrodynamik och många moderna fundamentala teorier som inkluderar dem är särskilt bekväma att skriva med 4-vektorer och 4-tensorer . Den största fördelen med denna notation är att i denna form är ekvationerna automatiskt Lorentz-invarianta , det vill säga de ändras inte när de flyttas från ett tröghetskoordinatsystem till ett annat.

Exempel

4-tensorer i allmän relativitetsteori

metrisk tensor (den spelar också en viss teknisk roll i avsaknad av gravitationsfält, det vill säga den används ofta utanför den allmänna relativitetsteorien , men i det här fallet har den - vanligtvis - en mycket speciell form av den Lorentziska metriken ).
krökningstensor
Ricci tensor
energi-momentum-tensor (ganska allmänt tillämplig utanför den allmänna relativitetsteorien ).

4-tensor av det elektromagnetiska fältet

Motsvarande 4-tensor finns också för att beskriva det elektromagnetiska fältet . Detta är en 4-tensor av andra rang. När du använder den har de grundläggande ekvationerna för det elektromagnetiska fältet: Maxwells ekvation och rörelseekvationen för en laddad partikel i ett fält en särskilt enkel och elegant form.

Definition i termer av 4-potential

4-tensorn definieras i termer av derivatorna av 4-potentialen [3] :

F_{ik}={\frac {\partial A_{k}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{k}} }

. Definition i termer av 3D-vektorer

4-tensorn definieras i termer av de vanliga tredimensionella sammansatta spänningsvektorerna enligt följande:

F_{ik}=\left({\begin{matrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y }\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right)

F^{ik}=\left({\begin{matrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_ {z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right )

Den första formen är den kovarianta tensorn och den andra formen är den kontravarianta tensorn.

Lorentz kraft

Skrivet i 4-vektorform , tar rörelseekvationen för en laddad partikel i ett elektromagnetiskt fält formen

mc{\frac {du^{i}}{ds}}={\frac {q}{c}}F^{ik}u_{k}

där är 4-hastigheten , q är partikelns elektriska laddning , c är ljusets hastighet och m är massan . Den högra sidan av denna ekvation är Lorentzkraften . ${\displaystyle u^{k))$

Se även

Anteckningar

↑ referenssystemrotationer där inkluderar både vanliga rotationer i tredimensionellt rum och övergångar mellan referenssystem som rör sig med olika hastigheter i förhållande till varandra ( Lorentz-transformationer ).
↑ Här utelämnas, som är brukligt i relativitetsteorin, summans tecken - upprepningen av indexet under och ovanför betyder summering; se Einsteins summeringskonvention .
↑ Formlerna på denna sida är skrivna i SGSG- systemet

Externa länkar

Kapitel 8 Relativistisk dynamik 8.8. Tensorernas egenskaper och rörelsemängd för en partikel (otillgänglig länk- historia ) . Hämtad: 10 juni 2009. (obestämd) (otillgänglig länk)
FÖRELÄSNING 20 Fyrdimensionella vektorer och tensorer av II rang. (inte tillgänglig länk) . Scientific and Educational Center of Physicotechnical Institute uppkallat efter A.F. Ioffe (22 februari 2002). Hämtad 10 juni 2009. Arkiverad från originalet 29 november 2004. (obestämd)