Einstein tensor

Einstein-tensorn ( ) är en tensorkvantitet som representerar variationsderivatan av den skalära krökningen av Levi-Civita-förbindelsen med avseende på den metriska tensorn . Som sådan står den på vänster sida av Einsteins ekvation . Einstein-tensoren är en symmetrisk tensor av andra rangen i n -dimensionell rymd, det vill säga den innehåller oberoende komponenter som är komplexa kombinationer av komponenterna i den metriska tensorn och dess första och andra derivator. $G_{\mu\nu}$ $n(n+1)/2$

Einstein-tensorn är lika med skillnaden mellan Ricci-tensorn och hälften av den metriska tensorn gånger den skalära krökningen : $R_{\mu \nu }$ $g_{\mu \nu }$ $R$

G_{\mu \nu }\,=R_{\mu \nu}-{\frac {1}{2))\,g_{\mu \nu }\,R

Genom att multiplicera båda sidor av denna jämlikhet med och konvolvera finner vi spåret av Einstein-tensoren: ${\displaystyle g^{\mu \nu ))$

\operatorname {Tr} \,G_{\mu \nu }\,={\frac {2\,-n}{2}}\,R

Dessutom, i det speciella fallet med fyrdimensionellt rymd:

\operatörsnamn {Tr} \,G_{\mu \nu }\,=-\,R

Den kovarianta divergensen för Einstein-tensorn är identiskt noll

G_{\nu ;\mu }^{\mu }\equiv 0

vilket motiverar dess användning på den vänstra sidan av Einsteins ekvation , eftersom samma egenskap gäller för energimomentum-tensorn .

Se även

Matematisk formulering av allmän relativitetsteori

Litteratur

Ohanian, Hans C. Gravitation och rumtid / Hans C. Ohanian, Remo Ruffini. — För det andra. - W.W. Norton & Company , 1994. - ISBN 978-0-393-96501-8 .
Martin, John Legat. Allmän relativitet: En första kurs för fysiker. — Reviderad. - Prentice Hall , 1995. - ISBN 978-0-13-291196-2 .