Stresstensor

Spänningstensor (ibland Cauchy spänningstensor , spänningstensor ) är en tensor av andra rangen som beskriver mekaniska spänningar vid en godtycklig punkt av en belastad kropp som uppstår vid denna punkt med sina (kropps) små deformationer. När det gäller en volymetrisk kropp skrivs tensorn ofta som en 3×3-matris:

{\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\\\mathbf {T} ^{( \mathbf {e} _{2})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin {matris}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _ {31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{ xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _ {zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _ {yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right]

och i fallet med en tvådimensionell kropp (se exemplet nedan) med en 2×2 matris:

{\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\\\mathbf {T} ^{( \mathbf {e} _{2})}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _ {21}&\sigma _{22}\\\end{matrix}}\höger]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}\\\sigma _ {yx}&\sigma _{yy}\\\end{matrix}}\höger]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}\\\tau _ {yx}&\sigma _{y}\\\end{matris}}\höger]

var är den mekaniska spänningsvektorn som verkar på ytan . ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(e_{n)))))$ $e_{n}$

När det gäller en matrisnotation (i det kartesiska koordinatsystemet ) beskriver kvantiteterna (komponenterna i spänningstensorn) de spänningar som kroppen upplever vid någon given punkt. Vid denna punkt ritas spekulativa plan med normaler , , .... Normalkomponenterna för krafterna som verkar på dessa plan skrivs på huvuddiagonalen , , ..., och i de återstående positionerna finns tangentiella komponenter , , . .. av spänningsvektorerna på dessa plan. $\sigma_{ij}$ $\color {Röd}e_{1}$ $\color {Röd}e_{2}$ $\sigma_{11}$ $\sigma_{22}$ $\tau _{yx}$ $\tau_{xy}$

I fallet med stora deformationer (ändliga deformationer) måste man använda tillvägagångssätt som Piola-Kirchhoff- spänningstensor , Biot-tensor eller Kirchhoff-spänningstensor .

Den fysiska betydelsen av stresstensor som ett exempel i det tvådimensionella fallet

Den enklaste illustrationen som gör det möjligt att förstå den fysiska innebörden av spänningstensorn är förmodligen inte att överväga fallet med spänning i någon volymetrisk kropp, utan tvärtom att betrakta spänning i en platt tvådimensionell kropp. För att göra detta, överväg belastningen av ett tygstycke under en extern belastning (se Fig. A ).

Figuren visar ett rektangulärt tygstycke under extern belastning, som avbildas med svarta pilar längs rektangelns omkrets. I det här fallet kan belastningen sträcka den med händerna i olika riktningar eller sträcka tyget på en komplex form.

Det är intuitivt tydligt att på grund av formen, orienteringen av molekylerna, atomskikten och olika vävning av fibrerna (i Fig. A visas fibrernas placering schematiskt med ett fint grått rutnät) vid olika punkter i tyget , spänningen kommer att vara annorlunda: någonstans kommer det att finnas områden som utsätts för vertikal sträckning , och i andra områden kommer fibrerna att uppleva skjuvspänning .

Varje punkt på ytan av ett tygstycke har sitt eget unika stressvärde. Det betyder att varje punkt på tyget motsvarar sitt eget matematiska objekt - en tensor av andra rangen. $\mathbf {T}$ $(x_{0},y_{0})$ $\mathbf {T}$

För att förstå hur tensorn visar spänningstillståndet vid någon punkt i tyget, kan du göra ett litet snitt vid den punkten och observera i vilken riktning dessa snitt kommer att divergera. Så i fig. Och vi gjorde två snitt på olika ställen i tyget: riktningen för ett snitt visas med den röda prickade linjen, riktningen för den andra visas av den blå prickade linjen. För att matematiskt beskriva riktningen för dessa snitt används en normalvektor (en vektor vinkelrät mot snittplanet). Så för ett snitt är normalvektorn röd och riktad vinkelrätt mot snittets plan; för ett snitt är situationen liknande. Växtriktningen för tåran i vävnaden indikeras av lila vektorer . $\mathbf {T}$ $\color {röd}c$ $\color {blå}c$ $\color {röd}c$ $\color {röd}{\vec {c}}$ $\color {blå}c$ $\color {RödViolet}{\vec {t))$

För att förutsäga var skärningen kommer att utvecklas används bara spänningstensorn. Matematiskt skulle denna förutsägelse se ut så här:

Definiera en "tensorfunktion" vars argument är koordinaterna för punkter inuti kroppen, och vars värde är en tensor som beskriver stresstillståndet vid en given punkt i kroppen. $f(x,y)=\mathbf {T_{x,y)) ,$
Välj till exempel en punkt i kroppen och få från den en tensor som beskriver spänningstillståndet vid punkten $(x_{0},y_{0}),$ $f(x,y)$ $\mathbf {T_{x_{0},y_{0}}} .$
Bestäm riktningen för planet i vilket kroppen ska skäras. $\color {röd}{\vec {c}}$
Multiplicera skärningsriktningen vid en punkt med spänningstensorn vid en given punkt , som i matematisk notation ser ut som $\color {röd}{\vec {c}}$ $(x_{0},y_{0})$ $\mathbf {T_{x_{0},y_{0}}}$ ${\mathbf {T_{x_{0},y_{0}}} \color {röd}{\vec {c}}}=\color {Rödviolett}{\vec {t}}.$
Vektorn och kommer att visa var snittet kommer att sträcka sig vid punkten . $\color {RödViolet}{\vec {t))$ $\color {röd}{\vec {c}}$ $(x_{0},y_{0})$

Skärningarna och är vektorer, och spänningen vid en punkt är en tensor. $\color {röd}{\vec {c}}$ $\color {blå}{\vec {c}}$ $\mathbf {T}$

Det bör förstås att flerriktade snitt som görs vid samma punkt på kroppen kommer att resultera i ett annat svar från vävnaden. Detta fenomen visas i fig. B , där tillväxten av vävnadsruptur sker i olika riktningar och med olika intensitet , som svar på olika riktningar av de initiala snitten och gjorda vid samma punkt. $\color {RödViolet}{\vec {t))$ $||{\color {RedViolet}{\vec {t))}||$ $\color {röd}{\vec {c}}$ ${\vec {c}}$

Bara för att beskriva ett sådant komplext beteende, används tensorer, som i detta fall fungerar som vektorfunktioner definierade vid varje punkt av ett vävnadsstycke, som sätter alla möjliga riktningar av skärningar i enlighet med alla möjliga riktningar för ytterligare vävnadsbrott. $f_{x_{0},y_{0}}({\vec {c}})=\mathbf {T_{x_{0},y_{0}}} {\vec {c}}={ \vec{t}}$ $(x_{0},y_{0})$ ${\vec {c}}$ ${\vec {t}}$

Härledning av tensorkomponenter

Spänningstensorkomponenterna i det kartesiska koordinatsystemet (dvs. ) introduceras enligt följande. En oändligt liten volym av en kropp (kontinuerligt medium) anses vara i form av en rektangulär parallellepiped, vars ytor är ortogonala mot koordinataxlarna och har områden . Ytkrafter verkar på varje sida av parallellepipeden . Om vi betecknar projektionerna av dessa krafter på axeln som , så är komponenterna i spänningstensorn förhållandet mellan kraftprojektionerna och området på den yta som denna kraft verkar på: $\sigma_{ij}$ $Ox_i$ $Oxyz$ $dS_{i}$ $dS_{i}$ $dF_{i}$ $oxe_{j}$ $dF_{ij}$

\sigma_{ij} = \frac{ d F_{ij}}{dS_{i}}

Det finns ingen summering per index här. Komponenter , , även betecknade som , , är normala spänningar , de representerar förhållandet mellan projektionen av kraften på normalen och området för den betraktade ytan : $i$ $\sigma_{11}$ $\sigma_{22}$ $\sigma_{33}$ $\sigma_{xx}$ $\sigma_{åå}$ $\sigma_{zz}$ $dF_{i}$ $dS_{i}$

\sigma_{11} = \frac{ d F_{11}}{dS_{1}}

etc.

Komponenter , , även betecknade som , , är tangentiella spänningar , de representerar förhållandet mellan projektionen av kraften på tangentiella riktningar och arean av den betraktade ytan : $\sigma_{12}$ $\sigma_{23}$ $\sigma_{31}$ $\tau_{xy}$ $\tau_{yz}$ $\tau_{zx}$ $dF_{i}$ $dS_{i}$

\sigma_{12} = \frac{ d F_{12}}{dS_{1}}

etc.

I frånvaro av ett inneboende vinkelmoment hos ett kontinuerligt medium, såväl som volymetriska och ytpar, är spänningstensorn symmetrisk (den så kallade lagen för parning av skjuvspänningar), vilket är en konsekvens av vinkelmomentbalansekvationen . I synnerhet är spänningstensorn symmetrisk i den klassiska teorin om elasticitet och i hydrodynamiken för ideala och linjärt viskösa vätskor.

Stresstensorn i relativistisk fysik

När det gäller relativitetsteorin är komponenterna i spänningstensorn de nio rumsliga komponenterna i energimoment-tensoren .

Spänningstensorn i klassisk elektrodynamik

Inom klassisk elektrodynamik har spänningstensorn för det elektromagnetiska fältet ( Maxwellsk spänningstensor [1] , Maxwell spänningstensor [2] ) i International System of Units (SI) formen:

T_{ij} = E_i D_j + B_i H_j - \frac{1}{2}\delta_{ij}(\mathbf E \cdot \mathbf D + \mathbf B \cdot \mathbf H) = E_i D_j + B_i H_j - \delta_{ij}W,

var är energitätheten för det elektromagnetiska fältet. $W$

Se även

Anteckningar

↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Fältteori. - 7:e upplagan, reviderad. - M .: Nauka , 1988. - S. 115. - (" Theoretical Physics ", volym II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Stepanovsky Yu. P. Maxwell stresstensor // Physical Encyclopedia : [i 5 volymer] / Kap. ed. A. M. Prokhorov . - M . : Great Russian Encyclopedia , 1992. - T. 3: Magnetoplasmic - Poyntings teorem. - S. 32-33. — 672 sid. - 48 000 exemplar. — ISBN 5-85270-019-3 .

Litteratur

Sedov L.I. Kontinuummekanik. Volym 1. M.: Nauka, 1970. 492 sid.
Truesdell K. Inledande kurs i rationell kontinuummekanik. M.: Nauka, 1975. 592 sid.
Dimitrienko Yu. I. Icke-linjär kontinuummekanik. Moskva: Fizmatlit, 2010.