Jet (matematik)

En jet (eller jet , från engelska jet ) är en struktur som unikt bestäms av partiella derivator av en funktion (eller sektion) vid en punkt upp till en viss ordning. Till exempel beskrivs k -strålen för en funktion vid noll unikt av följande sekvens av det -th talet: $f$ $(k+1)$

f(0),f'(0),\dots ,f^{(k)}(0).

Strålar och bakterier ger ett oföränderligt språk för teorin om differentialekvationer på släta grenrör .

Definitioner

Analytisk definition

K -strålen för en jämn buntpå ett grenrör vid en punkt är en samling jämna sektioner som har samma Taylor-polynom av k: te graden vid en punkti något (och därmed i vilket som helst) diagram. $E$ $M$ $x$ $x$ $x$

Jetutrymmet vid en punkt $k$ $x$ betecknas som . ${\displaystyle J_{x}^{k))$

Algebro-geometrisk definition

Denna definition är baserad på idéerna om algebraisk geometri och kommutativ algebra . Låt vara vektorutrymmet för bakterier av jämna mappningar vid punkten . Låt vara idealet för avbildningar som försvinner vid en punkt (detta är det maximala idealet för den lokala ringen ), och låt vara idealet som består av att bakterierna till alla kartläggningar försvinner vid en punkt upp till ordningen. Vi definierar utrymmet för jetstrålar vid en punkt som $C^{\infty }(\mathbb{R} _{p}^{n},\;\mathbb{R} ^{m})$ $f\colon \mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R} ^{m}$ $p\in \mathbb{R} ^{n}$ ${\mathfrak {m}}_{p}$ $sid$ $C^{\infty }(\mathbb{R} _{p}^{n},\;\mathbb{R} ^{m})$ ${\mathfrak {m}}_{p}^{{k+1}}$ $sid$ $k$ $sid$

J_{p}^{k}(\mathbb{R} ^{n},\;\mathbb{R} ^{m})=C^{\infty }(\mathbb{R} _{p}^{ n},\;\mathbb{R} ^{m})/{\mathfrak {m}}_{p}^{{k+1}}.

Om är en jämn mappning, så kan vi definiera en -jet vid en punkt som ett element för vilket $f\colon \mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R} ^{m}$ $k$ $f$ $sid$ $J_{p}^{k}(\mathbb{R} ^{n},\;\mathbb{R} ^{m})$

J_{p}^{k}f=f\,({\bmod \,}{\mathfrak {m}}_{p}^{{k+1}}).

Taylors teorem

Oavsett definition, etablerar Taylors sats en kanonisk isomorfism mellan vektorrum och , så strålar av funktioner på euklidiska rymden identifieras ofta med motsvarande Taylor-polynom. $J_{p}^{k}(\mathbb{R} ^{n},\;\mathbb{R} ^{m})$ $\mathbb{R} ^{m}[z]/(z^{{k+1}})$

Utrymmet för jetstrålar från punkt till punkt

Vi har definierat jetutrymmet vid punkten . Delutrymmet som innehåller de karteringsstrålar för vilka , betecknas $J_{p}^{k}(\mathbb{R} ^{n},\;\mathbb{R} ^{m})$ $p\in \mathbb{R} ^{n}$ $f$ $f(p)=q$

J_{p}^{k}(\mathbb{R} ^{n},\;\mathbb{R} ^{m})_{q}=\{J^{k}f\in J_{p} ^{k}(\mathbb{R} ^{n},\;\mathbb{R} ^{m})\mid f(p)=q\}.

Strålar av sektioner av en jämn bunt

Låt vara en smidig bunt . Strålen i sektionernas sektions :e ordning är ekvivalensklassen för dessa sektioner, som identifieras om deras värden och värdena för deras partiella derivator upp till : e ordningen vid en punkt sammanfaller. Strålar av den e ordningen bildar ett jämnt grenrör som kallas jet grenröret . $Y\ till X$ $k$ $j_{x}^{k}s$ $s$ $k$ $x$ $k$ $J^{k}Y$

Anslutningsteori , differentialoperatorteori och lagrangisk teori om släta buntar (inklusive klassisk fältteori ) formuleras i termer av jetgrenrör . $J^{k}Y$

Litteratur

Bocharov A. V., Verbovetsky A. M., Vinogradov A. M., Duzhin S. M., Dyer I. S., Samokhin A. V., Torkhov Yu. N., Khorkova N. G., Chetverikov V. N. , redigerad av Vinogradov A. M. och Krasilshiks. physiques . Faktoriell, 2005 - 380 sid. ISBN 5-88688-074-7
Vinogradov A. M., Krasilshchik I. S., Lychagin V. V. Introduktion till geometrin hos olinjära differentialekvationer . — M .: Nauka, 1986. — 336 sid.
Mishachev N.M., Eliashberg Ya.M. Introduktion till h -principen . - M .: Moskvas centrum för kontinuerlig matematisk utbildning, 2004. - ISBN 5-94057-126-3 .
Saunders D. Jetbuntarnas geometri. Cambridge: Cambridge Univ. Press., 1989.
Sardanashvili G. A. Moderna metoder för fältteori. 1. Geometri och klassiska fält. - M. : URSS, 1996. - 224 sid. — ISBN 5-88417-087-4 .
Sardanashvily, G. , Fiberbuntar, jetgrenrör och Lagrangiansk teori. Föreläsningar för teoretiker, arXiv: 0908.1886
Pavlova N.G., Remizov A.O. En introduktion till singularitetsteori . - M. : MIPT, 2022. - 181 sid. - ISBN 978-5-7417-0794-4 .