Norm (fältteori)

Normen är en avbildning av element av en finit förlängning E av ett fält K till det ursprungliga fältet K , definierat enligt följande:

Låt E vara en ändlig förlängning av fältet K av grad n , vara något element i fältet E . Eftersom E är ett vektorrum över K , definierar detta element en linjär transformation . Denna transformation kan på något sätt associeras med matrisen . Determinanten för denna matris kallas normen för elementet α . Eftersom kartläggningen i en annan grund kommer att motsvara en liknande matris med samma determinant, beror normen inte på den valda basen, det vill säga ett element i förlängningen kan unikt associeras med dess norm. Det betecknas eller helt enkelt , om det är tydligt vilken förlängning det är fråga om. $\alfa$ $x\mapto \alpha x$ $N_{K}^{E}(\alpha )$ $N(\alpha )$

Egenskaper

$N(\alpha )=0$ om och bara om . $\alpha =0$
$N_{K}^{E}(\alpha )=\alpha ^{[E:K]}$ för vem som helst $\alfa \i K$
$N(\alpha \beta )=N(\alpha )\cdot N(\beta )$
Normen är transitiv, det vill säga för en kedja av förlängningar vi har $K\delmängd E\delmängd F$ $N_{K}^{E}(N_{E}^{F}(\alpha ))=N_{K}^{F}(\alpha )$
Om E = K ( α ) är en enkel algebraisk förlängning och f ( x ) = x n + a n -1 x n -1 + … + a 1 x+ a 0 är det minimala polynomet α, alltså ${\displaystyle N_{K}^{E}(\alpha )=(-1)^{n}a_{0))$

Uttrycker normen i termer av automorfismer av E över K

Låt σ 1 , σ 2 … σ m vara alla automorfismer av E som håller element i fältet K fixerade . Om E är en Galois-förlängning , så är m lika med graden [ E : K ] = n . Då finns följande uttryck för normen:

$N_{K}^{E}(\alpha )=\sigma _{1}(\alpha )\sigma _{2}(\alpha )\ldots \sigma _{m}(\alpha )$

Om E inte är separerbar, då är m≠n , men n är en multipel av m , och kvoten är någon potens av egenskapen p .

Sedan $N_{K}^{E}(\alpha )=(\sigma _{1}(\alpha )\sigma _{2}(\alpha )\ldots \sigma _{m}(\alpha )) ^{n/m}.$

Exempel

Låt R vara fältet för reella tal , C fältet för komplexa tal betraktat som en förlängning av R. Sedan, i grunden , motsvarar multiplikation med matrisen $(1,i)$ $a+bi$

{\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}

Determinanten för denna matris är , det vill säga kvadraten på den vanliga modulen för ett komplext tal . Observera att denna norm vanligtvis definieras som och detta stämmer väl överens med det faktum att den enda icke-triviala automorfismen i området för komplexa tal är komplex konjugation . $a^{2}+b^{2}$ $|z|^{2}=z{\bar {z)),$

Se även

Litteratur

Van der Waerden B. L. Algebra. — M .: Nauka, 1975.
Zarissky O., Samuel P. Kommutativ algebra. - M. : IL, 1963. - T. 1.
Leng S. Algebra. — M .: Mir, 1967.