Kvadratisk funktion av en variabel

En kvadratisk funktion är en hel rationell funktion av den andra graden av formen , där och . Den andragradsfunktionsekvationen innehåller ett kvadratiskt trinomium . Grafen för en kvadratisk funktion är en parabel . Många egenskaper hos grafen för en kvadratisk funktion är på något sätt relaterade till toppen av parabeln, som till stor del bestämmer grafens position och utseende. $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $a \neq 0$ $a,b,c\in \mathbb {R}$

En översikt över huvudfunktionerna

Många egenskaper hos en kvadratisk funktion beror på koefficientens värde . Följande tabell ger en översikt över huvudegenskaperna för en kvadratisk funktion [1] . Deras bevis beaktas i artikeln i de relevanta avsnitten. $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $a$

Fast egendom	$a>0$	$a<0$
Funktionsomfång	$D(f)=\mathbb {R}$
Uppsättning funktionsvärden	$E(f)=\left[-{\frac {b^{2}-4ac}{4a));+\infty \right)$	$E(f)=\left(-\infty ;-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right]$
Funktionsparitet	En jämn funktion för ; varken jämnt eller udda $b=0$ $b\neq 0$
Funktion Periodicitet	Icke-periodisk funktion
Funktionskontinuitet	Överallt kontinuerlig funktion, inga diskontinuitetspunkter
Funktion nollor	$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}$ , om det inte finns några riktiga nollor, if $D=b^{2}-4ac\geq 0$ $D=b^{2}-4ac<0$
Funktionsgräns kl $x\to \pm \infty$	$f(x)\to +\infty$ på $x\to \pm \infty$	$f(x)\to -\infty$ på $x\to \pm \infty$
Funktionsdifferentiering	Överallt multiplicera differentierbar: $f'(x)=2ax+b,f''(x)=2a,f'''(x)=0$
Extrema poäng (Absolut Extreme)	$x_{min}={\frac {-b}{2a))$ (minimum)	$x_{max}={\frac {-b}{2a))$ (maximal)
Intervaller av strikt monotoni	minskar med ökar med $\left(-\infty ;-{\frac {b}{2a))\right]$ $\left[-{\frac {b}{2a));+\infty \right)$	ökar med minskar med $\left(-\infty ;-{\frac {b}{2a))\right]$ $\left[-{\frac {b}{2a));+\infty \right)$
Konvexitet för en funktion	Överallt nedåtgående konvex funktion	En överallt konvex funktion
Böjningspunkter	Inga böjningspunkter
Funktionsbegränsning	Begränsad underifrån	Begränsad från ovan
Funktionens största värde	Inga (obegränsat från ovan)	$y_{max}=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a))$
Funktionens minsta värde	$y_{min}=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a))$	Inga (obegränsat underifrån)
Positiva funktionsvärden	$(-\infty ;x_{1})\cup (x_{2};+\infty )$	$(x_{1};x_{2})$
Negativa funktionsvärden	$(x_{1};x_{2})$	$(-\infty ;x_{1})\cup (x_{2};+\infty )$

Inverkan av koefficienter på diagramtransformation

Standardnotation för ekvationen för en kvadratisk funktion

Reella tal , och i den allmänna notationen av en kvadratisk funktion kallas dess koefficienter. I det här fallet kallas koefficienten vanligtvis för senior, och koefficienten är fri. Att ändra var och en av koefficienterna leder till vissa transformationer av parabeln. $a$ $b$ $c$ $a$ $c$

Med värdet på koefficienten kan man bedöma i vilken riktning dess grenar är riktade (upp eller ner) och utvärdera graden av dess expansion eller kompression i förhållande till y- axeln : $a$

Om , då är parabelns grenar riktade uppåt, det vill säga dess vertex ligger nedanför. $a>0$
Om , då är parabelns grenar riktade nedåt, det vill säga dess vertex ligger på toppen. $a<0$
Om , då är parabeln komprimerad längs y-axeln, det vill säga den verkar bredare och plattare. $|a|<1$
Om , då är parabeln sträckt längs y-axeln, det vill säga den verkar smalare och brantare. $|a|>1$

Inflytandet av koefficientvärdet kan enklast illustreras av en kvadratisk funktion av formen , det vill säga i fallet med och . I fallet övergår den kvadratiska funktionen till en linjär . $a$ ${\displaystyle f(x)=ax^{2))$ $b=0$ $c=0$ $a=0$

En förändring av koefficienten kommer att medföra en förskjutning av parabeln både i förhållande till abskissaxeln och i förhållande till ordinataaxeln . När värdet ökas med 1 kommer parabeln att flyttas åt vänster och samtidigt till botten. Om du minskar med 1 flyttas parabeln åt höger och samtidigt till toppen. Sådana transformationer förklaras av det faktum att koefficienten kännetecknar lutningen av tangenten till parabeln vid skärningspunkten med ordinataaxeln (det vill säga vid ). $b$ $b$ $1/2a$ $(2b+1)/4a$ $b$ $1/2a$ $(2b-1)/4a$ $b$ $x=0$

Koefficienten karakteriserar parabelns parallella translation i förhållande till y-axeln (det vill säga upp eller ner). Genom att öka värdet på denna koefficient med 1 kommer parabeln att flytta 1 uppåt. Följaktligen, om koefficienten reduceras med 1, kommer parabeln också att skifta ned med 1. Eftersom koefficienten också påverkar positionen för parabelns vertex, är det omöjligt att enbart bedöma med värdet av koefficienten om spetsen är belägen över eller under x-axeln. $c$ $c$ $b$ $c$

Att skriva en kvadratisk funktion i termer av koordinaterna för parabelns vertex

Vilken kvadratisk funktion som helst kan erhållas genom att sträcka/komprimera och parallellöversätta den enklaste kvadratiska funktionen . Så, grafen för en funktion av formen erhålls genom att komprimera (at ) eller sträcka ut (vid ) grafen för funktionen ibland , följt av dess parallella överföring av enheter till höger och enheter upp (om dessa värden är negativa tal, sedan till vänster respektive nedåt). Uppenbarligen, med transformationen gjord, kommer toppen av funktionens parabel att flyttas från punkt till punkt . Detta faktum ger ett annat sätt att beräkna koordinaterna för parabelns vertex för en godtycklig kvadratisk funktion genom att föra dess ekvation till formen , vilket gör att du omedelbart kan se koordinaterna för parabelns vertex - . $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $f(x)=x^{2}$ ${\displaystyle f(x)=a(x-x_{0})^{2}+y_{0))$ $a<0$ $a>0$ $f(x)=x^{2}$ $a$ $x_{0}$ $y_0$ $f(x)=x^{2}$ $(0;0)$ $(x_{0};y_{0})$ ${\displaystyle f(x)=a(x-x_{0})^{2}+y_{0))$ $(x_{0};y_{0})$

Att konvertera en godtycklig kvadratisk funktion av formen till formen tillåter metoden att välja en hel kvadrat med formlerna för förkortad binomial multiplikation : $f(x)=ax^{2}+bx+c$ ${\displaystyle f(x)=a(x-x_{0})^{2}+y_{0))$

f(x)=ax^{2}+bx+c

=a\cdot \left(x^{2}+{\frac {b}{a}}\cdot x\right)+c

=a\cdot \left(x^{2}+{\frac {b}{a}}\cdot x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\ frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)+c

=a\cdot \left(x^{2}+2\cdot x\cdot {\frac {b}{2a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}} }\right)-{\frac {b^{2}}{4a}}+c

=a\cdot \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {-b^{2}}{4a}}+{\frac {4ac }{4a}}

=a\cdot \left(x-{\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {-b^{2}+4ac}{4a}}

=a\cdot \left(x-x_{0}\right)^{2}+y_{0}

, var och

x_{0}={\frac {-b}{2a))

y_{0}={\frac {-b^{2}+4ac}{4a))

Genom att jämföra värdena för och beräknade med differentialmetoden (se motsvarande avsnitt i artikeln), kan man också se till att de är koordinaterna för parabelns vertex. I specifika fall är det inte alls nödvändigt att memorera de givna besvärliga formlerna; det är bekvämare att utföra transformationen av polynomet direkt till önskad form varje gång. I ett specifikt exempel ser den här metoden ut så här: $x_{0}$ $y_0$

f(x)=2x^{2}+8x+5=2\cdot \left(x^{2}+4\cdot x\right)+5

=2\cdot \left(x^{2}+4\cdot x+4-4\right)+5

=2\cdot \left(\left(x+2\right)^{2}-4\right)+5

=2\cdot \left(x+2\right)^{2}-8+5

=2\cdot \left(x+2\right)^{2}-3\Rightarrow S(-2;-3)

Nackdelen med denna metod är dess besvärlighet, särskilt i fallet när du som ett resultat av parentes måste arbeta med bråk . Det kräver också en viss skicklighet i att hantera förkortade multiplikationsformler .

Men det allmänna beviset som övervägs ovan leder till ett enklare sätt att beräkna koordinaterna för parabelns vertex med hjälp av formlerna och . Till exempel, för samma funktion har vi: $x_{0}={\frac {-b}{2a))$ $y_{0}=f(x_{0})$ $f(x)=2x^{2}+8x+5$

x_{0}={\frac {-b}{2a}}={\frac {-8}{2\cdot 2}}=-2

y_{0}=f(-2)=2\cdot (-2)^{2}+8\cdot (-2)+5=-3\Högerpil S(-2;-3)

Alltså ,. $f(x)=2x^{2}+8x+5=2\cdot \left(x+2\right)^{2}-3$

Nollor för funktionen

Antal nollor i en kvadratisk funktion

En kvadratisk funktion är en hel rationell funktion av andra graden, så den kan ha högst två nollor i det reella området. När det gäller en förlängning till den komplexa domänen kan man säga att den kvadratiska funktionen i alla fall har exakt två komplexa nollor, som kan vara strikt reella tal eller innehålla en imaginär enhet .

Du kan bestämma antalet nollor för en andragradsfunktion utan att lösa motsvarande andragradsekvation genom att beräkna diskriminanten . Samtidigt finns det olika varianter av dess beräkning: vanlig (alltid tillämplig), reducerad (bekvämt i fallet med en jämn koefficient ) och reducerad (gäller endast för det reducerade polynomet). I det här fallet kommer de numeriska värdena i varje fall att skilja sig åt, men tecknet på diskriminanten kommer att sammanfalla oavsett variationen. $b$

Fullständigt diskriminerande	Minskad diskriminant	Minskad diskriminant
$f(x)=ax^{2}+bx+c$	$f(x)=ax^{2}+bx+c$	$f(x)=x^{2}+px+q$
$D=b^{2}-4ac$	$D=\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-ac$	$D=\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q$

Oavsett beräkningen av diskriminanten kommer följande påståenden att vara sanna:

Om , då har funktionen en nolla av multiplicitet 2, som sammanfaller med abskissan i parabelns vertex; $D=0$
Om , då har funktionen två reella nollor och parabeln skär x-axeln i två punkter; $D>0$
Om , så har funktionen inga reella nollor (båda dess nollor kommer att vara komplexa tal), och dess graf är placerad helt ovanför abskissaxeln (om ) eller ligger helt under den (om ). $D<0$ $a>0$ $a<0$

Till exempel, för en funktion som använder standardformeln för diskriminanten får vi: $f(x)=2x^{2}+8x+5$

D=b^{2}-4ac=8^{2}-4\cdot 2\cdot 5=64-40=24>0

Det betyder att denna funktion har två reella nollor, det vill säga dess parabel skär x-axeln i två punkter.

Metoder för att beräkna nollorna för en kvadratisk funktion

Att hitta nollorna för en andragradsfunktion reduceras till att lösa en andragradsekvation , där . Den speciella metod som är bäst lämpad för en viss kvadratisk funktion beror till stor del på dess koefficienter. I alla specialfall, förutom speciella formler och metoder, är den universella formeln alltid tillämplig. I alla listade formler som innehåller kvadratrot , bör man komma ihåg att om rotuttrycket är ett negativt tal , så har den kvadratiska funktionen inga nollor i det reella området, utan har två komplexa nollor. $ax^{2}+bx+c=0$ $a \neq 0$

I det mest allmänna fallet tillämpas den universella formeln:

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

I fallet med den givna ekvationen av formen , där den ledande koefficienten är lika med en, används en förenklad formel: $x^{2}+px+q=0$ $a$

x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q} }

Du kan få den reducerade formen från den allmänna genom att dividera den ursprungliga ekvationen med . Samtidigt, uppenbarligen, och .

ax^{2}+bx+c=0

a

p=b/a

q=c/a

I fallet med en ofullständig andragradsekvation för tar ekvationen en potensform . Genom att använda metoderna för att lösa effektekvationer får vi därför: $b=0$ $ax^{2}+c=0$

{\displaystyle x_{1,2}=\pm {\sqrt {\frac {-c}{a))))

I fallet med en ofullständig andragradsekvation för tar ekvationen formen , och det är bekvämt att använda faktoriseringsmetoden för att lösa den . Om vi tar ut den ur parentesen får vi . Vi har alltså: $c=0$ $ax^{2}+bx=0$ $yxa$ $ax(x+b/a)=0$

x_{1}=0

x_{2}={\frac {-b}{a))

Paritet och symmetri för en kvadratisk funktion

Symmetri runt y-axeln

En kvadratisk funktion är en hel rationell funktion av andra graden, så alla motsvarande egenskaper hos en hel rationell funktion är sanna för den. I synnerhet är det även om dess polynom bara innehåller jämna exponenter och udda om det bara innehåller udda exponenter. Det följer av detta att ingen kvadratisk funktion kan vara udda på grund av att villkoret initialt är pålagt den , och därför kommer den alltid att innehålla en jämn exponent 2. $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $a\neq 0$

Dessutom är det uppenbart att den kvadratiska funktionen är jämn endast om det inte finns någon exponent 1, vilket betyder . Detta faktum är lätt bevisat direkt. Så det är uppenbart att funktionen är jämn, eftersom det är sant: $b=0$ $f(x)=ax^{2}+c$

f(-x)=a\cdot (-x)^{2}+c=ax^{2}+c=f(x)

, det vill säga .

f(-x)=f(x)

Således är en kvadratisk funktion symmetrisk kring y-axeln endast när . De specifika värdena för koefficienterna påverkar inte detta faktum alls. I synnerhet kan den också vara lika med noll, det vill säga frånvarande i formelposten. I detta fall kommer parabelns vertex att sammanfalla med ursprunget för koordinatsystemet. $b=0$ $a$ $c$ $c$

I alla andra fall kommer den kvadratiska funktionen varken att vara jämn eller udda, det vill säga den är en funktion av en allmän form. Detta kan också enkelt visas med definitionen av en funktions paritet :

f(-x)=a\cdot (-x)^{2}+b\cdot (-x)+c=ax^{2}-bx+c\neq f(x)

, det vill säga .

f(-x)\neq f(x)

f(-x)=a\cdot (-x)^{2}+b\cdot (-x)+c=ax^{2}-bx+c=-(-ax^{2}+ bx-c)\neq -f(x)

, det vill säga .

f(-x)\neq -f(x)

Axialsymmetri i allmänhet

Samtidigt har grafen för en kvadratisk funktion axiell symmetri. Som ni vet, om likhet är sant för någon funktion för något nummer , så har grafen för denna funktion axiell symmetri med avseende på den räta linjen . I förhållande till en kvadratisk funktion är ett sådant tal abskissan i spetsen på dess parabel. Sålunda är grafen för en kvadratisk funktion symmetrisk med avseende på en axel parallell med y-axeln och som går genom parabelns topp, och funktionens symmetriaxel är en rät linje . $f(x)$ $x_{0}\in \mathbb {R}$ $f(x_{0}+x)=f(x_{0}-x)$ $f(x)$ $x = x_0$ $x_{0}$ $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $x=-b/2a$

Beviset för detta faktum är inte heller svårt:

f(x_{0}+x)=f(x+x_{0})=f\left(x-{\frac {b}{2a}}\right)=a\left(x-{ \frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(x-{\frac {b}{2a}}\right)+c

=a\left(x^{2}-2\cdot x\cdot {\frac {b}{2a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\ höger)+b\left(x-{\frac {b}{2a}}\right)+c

=ax^{2}-bx+{\frac {b^{2}}{4a}}+bx-{\frac {b^{2}}{2a}}+c=ax^{2} -{\frac {b^{2}}{4a}}+c=ax^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}

Förvandlingen leder till ett liknande resultat:

f(x_{0}-x)=f(-x+x_{0})=f\left(-x-{\frac {b}{2a}}\right)=\dotsb =ax^ {2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}

Därför är grafen för funktionen symmetrisk med avseende på den räta linjen . $f\left({\frac {-b}{2a}}+x\right)=f\left({\frac {-b}{2a}}-x\right)$ $x={\frac {-b}{2a}}$

Beräkna vertex av en parabel med hjälp av nollorna i en funktion

Eftersom symmetriaxeln för en parabel alltid går genom dess vertex, är det uppenbart att nollorna för en kvadratisk funktion också alltid är symmetriska med avseende på abskissan i parabelns vertex. Detta faktum gör det enkelt att beräkna koordinaterna för parabelns vertex med hjälp av funktionens kända nollor. Inom fältet reella tal fungerar denna metod endast när parabeln korsar abskissaxeln eller berör den, det vill säga den har nollor från det reella området.

I det fall då den kvadratiska funktionen bara har en nolla ( av multipliciteten 2), så är det uppenbarligen själva parabelns vertex. Om parabeln har nollor och , då kan abskissan för dess vertex lätt beräknas som det aritmetiska medelvärdet av funktionens nollor. Ordinatan för en vertex beräknas genom att ersätta dess abskiss i den ursprungliga ekvationen för funktionen: $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{0}$

x_{0}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}

y_{0}=f(x_{0})

Denna metod kommer att vara särskilt bekväm när den kvadratiska funktionen ges i sin faktoriserade form. Så till exempel kommer parabeln för en funktion att ha en vertex med följande koordinater: $f(x)=2(x-1)(x+3)$

x_{0}={\frac {1+(-3)}{2}}=-1

y_{0}=f(-1)=2(-1-1)(-1+3)=-8

I det här fallet är det inte ens nödvändigt att omvandla funktionens ekvation till en allmän form.

Forskning genom metoder för differential- och integralanalys

Derivat och antiderivat

Liksom vilken hel rationell funktion som helst, är en kvadratisk funktion differentierbar över hela sin definitionsdomän . Dess derivata är lätt att hitta med hjälp av de elementära reglerna för differentiering: . Således ser vi att derivatan av en kvadratisk funktion är en linjär funktion som antingen strikt monotont ökar (if ) eller strikt monotont minskar (if ) över hela definitionsdomänen. Det är också lätt att se att , vilket betyder att koefficienten i ekvationen för den ursprungliga funktionen är lika med parabelns lutning vid origo. $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $f'(x)=2ax+b$ $a>0$ $a<0$ $f'(0)=b$ $f'(0)=b$

En kvadratisk funktion, som vilken hel rationell funktion som helst, är också integrerbar över hela sin definitionsdomän . Dess antiderivat är uppenbarligen en kubisk funktion :

F(x)=\int (ax^{2}+bx+c)dx={\frac {a}{3}}x^{3}+{\frac {b}{2}}x ^{2}+cx+d

, var .

d\in \mathbb {R}

Monotonicitet och extrema punkter

Uppenbarligen är toppen av parabeln dess högsta eller lägsta punkt, det vill säga det absoluta extremumet för den kvadratiska funktionen (minimum vid och maximum vid ). Därför delar abskissan av parabelns vertex upp definitionsdomänen för funktionen i två monotona intervall, på en av vilka funktionen ökar och på den andra minskar den. Genom att använda metoderna för differentialkalkyl , med hjälp av detta faktum, kan man enkelt härleda en enkel formel för att beräkna koordinaterna för spetsen av en parabel som ges av den allmänna ekvationen genom dess koefficienter. $a>0$ $a<0$ $f(x)=ax^{2}+bx+c$

Enligt det nödvändiga och tillräckliga villkoret för existensen av ett extremum får vi: . Samtidigt , om . Funktionen är en konstant funktion , med och med . Således är det nödvändiga och tillräckliga kriteriet för förekomsten av ett extremum uppfyllt vid punkten . Därför har vi koordinaterna för vertex: $f'(x)=2ax+b$ $f'(x)=0$ $x=-b/2a$ $f''(x)=2a$ $f''>0$ $a>0$ $f''<0$ $a<0$ $x_{0}=-b/2a$

x_{0}={\frac {-b}{2a))

y_{0}=f(x_{0})=a\left({\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+b\left({\frac {-b} {2a}}\right)+c={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}

Toppen av parabeln delar upp den kvadratiska funktionens domän i två monotona intervall: och . För funktionen på den första av dem är strikt monotont avtagande, och på den andra strikt monotont ökande. I fallet är det precis tvärtom. $\left(-\infty ;{\frac {-b}{2a))\right)$ $\left({\frac {-b}{2a));+\infty \right)$ $a>0$ $a<0$

I det här fallet kan du inte komma ihåg dessa formler alls, utan använd helt enkelt varje gång kriterierna för att det finns ett extremum för varje specifik kvadratisk funktion. Eller det rekommenderas att bara memorera formeln för att beräkna abskissan i parabelns vertex. Dess ordinata beräknas enkelt genom att ersätta den beräknade abskissan i en specifik funktionsekvation. $x_{0}=-b/2a$

Till exempel, för en funktion får vi: $f(x)=2x^{2}+8x+5$

x_{0}={\frac {-b}{2a}}={\frac {-8}{2\cdot 2}}=-2

y_{0}=f(-2)=2\cdot (-2)^{2}+8\cdot (-2)+5=-3\Högerpil S(-2;-3)

Således har spetsen på parabeln för denna funktion koordinater . I detta fall minskar funktionen strikt monotont på intervallet och strikt monotont ökar i intervallet $(-2;-3)$ $(-\infty ;-2)$ $(-2;+\infty )$

Konvexitet och böjningspunkter

Eftersom andraderivatan av en kvadratisk funktion är en konstant linjär funktion , har den inte inflexionspunkter , eftersom dess värde är konstant, och följaktligen kommer ett tillräckligt kriterium inte att vara uppfyllt för någon av dess punkter. Dessutom är det uppenbart att för , den ursprungliga kvadratiska funktionen kommer att vara överallt konvex nedåt (på grund av att dess andraderivata är överallt positiv), och för , den kommer att vara överallt konvex uppåt (dess andraderivata kommer att vara negativ överallt). $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $f''(x)=2a$ $a>0$ $a<0$

Inverterbarhet för en kvadratisk funktion

Eftersom den kvadratiska funktionen inte är strikt monoton, är den irreversibel . Eftersom vilken kontinuerlig funktion som helst kan inverteras på sina intervall av strikt monotoni, så finns det för varje kvadratisk funktion två inversa funktioner som motsvarar dess två monotoniska intervall. Inversen för en kvadratisk funktion på vart och ett av dess monotoniska intervall är funktionerna av den aritmetiska kvadratroten [2] .

Så, den aritmetiska kvadratrotsfunktionen är inversen av kvadratfunktionen på intervallet . Följaktligen är funktionen invers mot funktionen på intervallet . Grafer över funktioner och kommer att vara symmetriska till varandra med avseende på en rät linje . $f^{-1}(x)={\sqrt {x}}$ $f(x)=x^{2}$ $[0, +\infty)$ $f^{-1}(x)=-{\sqrt {x))$ $f(x)=x^{2}$ $(-\infty ;0]$ $f(x)$ $f^{-1}(x)$ $y=x$

För att hitta inversa funktioner för en godtycklig kvadratisk funktion är det bekvämare att representera den i formen , där är spetsen på dess parabel. Därefter använder vi den välkända metoden för att hitta inversa funktioner - vi byter variablerna och uttrycker igen genom : $f(x)=ax^{2}+bx+c$ ${\displaystyle f(x)=a(x-x_{0})^{2}+y_{0))$ $(x_{0};y_{0})$ $x$ $y$ $y$ $x$

{\displaystyle y=a(x-x_{0})^{2}+y_{0))

{\displaystyle x=a(y-x_{0})^{2}+y_{0))

{\displaystyle x-y_{0}=a(y-x_{0})^{2))

{\frac {x-y_{0}}{a}}=(y-x_{0})^{2}

\pm {\sqrt {\frac {x-y_{0}}{a}}}=y-x_{0}

\pm {\sqrt {\frac {x-y_{0}}{a}}}+x_{0}=y

Således är inversen till på intervallet funktionen . $f(x)$ $[x_{0};+\infty )$ $f^{-1}(x)={\sqrt {\frac {x-y_{0}}{a}}}+x_{0}$

På intervallet inverterat till är funktionen . $(-\infty ;x_{0}]$ $f(x)$ $f^{-1}(x)=-{\sqrt {\frac {x-y_{0}}{a}}}+x_{0}$

Till exempel, för en funktion med ett vertex får vi: $f(x)=2x^{2}+8x+5=2\cdot \left(x+2\right)^{2}-3$ $(-2;-3)$

f^{-1}(x)={\sqrt {\frac {x+3}{2))}-2

på intervallet .

[-2;+\infty )

f^{-1}(x)=-{\sqrt {\frac {x+3}{2))}-2

på intervallet .

(-\infty ;-2]

Exempel på utseende i praktiken

Beroendet av höjden på en fritt fallande kropp i tid.
Beroendet av en cirkels area av dess linjära dimensioner (till exempel radie ).
Avståndsberoende på tid för jämnt accelererad rörelse.
Tryckets beroende av flödet (tryckkarakteristisk för en centrifugalpump).

Generalisering

Generalisering till fallet med många variabler fungerar som andra ordningens ytor , i allmänhet kan en sådan ekvation skrivas som:

f({\vec {x)))={\vec {x}}^{T}A{\vec {x}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {x}}+c

Här: är en matris av en kvadratisk form , är en konstant vektor , är en konstant. Funktionens egenskaper, som i det endimensionella fallet, bestäms av huvudkoefficienten - matrisen . $A$ ${\vec {b}}$ $c$ $A$

Se även

Affin kvadratisk funktion

Anteckningar

↑ Kvadratisk funktion // Stor skoluppslagsbok. - M . : "Russian Encyclopedic Partnership", 2004. - S. 118-119.
↑ Rolf Baumann. Quadratwutzelfunktion // Algebra: Potenzfunktionen, Exponential- och Logarithmusgleichungen, Stochastik: [ German. ] . - München: Mentor, 1999. - T. 9. - S. 17-19. — 167 sid. — ISBN 3-580-63631-6 .

Litteratur

Scanavi M.I. Graf över ett kvadratiskt trinomium // Elementär matematik. - 2:a uppl., reviderad. och ytterligare - M. , 1974. - S. 130-133. — 592 sid.
Kaplan I.A. Trettiotredje praktisk lektion (extrem av en kvadratisk funktion) // Praktiska lektioner i högre matematik. - 3:e uppl. - Kharkov, 1974. - S. 449-451.