Andra ordningens yta

En andra ordningens yta är platsen för punkter i det tredimensionella rummet vars rektangulära koordinater uppfyller en ekvation av formen

a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+a_{33}z^{2}+2a_{12}xy+2a_{23}yz+2a_{13}xz+2a_{ 14}x+2a_{24}y+2a_{34}z+a_{44}=0

där minst en av koefficienterna , , , , , är icke-noll. $a_{11}$ $a_{{22}}$ $a_{{33}}$ $a_{{12}}$ $a_{{23}}$ $a_{{13}}$

Typer av andra ordningens ytor

Cylindriska ytor

En yta kallas en cylindrisk yta med en generatris om, för någon punkt på denna yta, linjen som går genom denna punkt parallellt med generatrisen helt tillhör ytan . $S$ ${\vec{l))$ $M_{0}$ ${\vec{l))$ $S$

Sats (om ekvationen för en cylindrisk yta).
Om ytan i något kartesiskt rektangulärt koordinatsystem har ekvationen , så är det en cylindrisk yta med en generatris parallell med axeln . $S$ $f(x,y)=0$ $S$ $uns$

Kurvan som ges av ekvationen i planet kallas för den cylindriska ytans styrning . $f(x,y)=0$ $z=0$

Om styrningen av en cylindrisk yta ges av en kurva av andra ordningen , så kallas en sådan yta en cylindrisk yta av andra ordningen .

Elliptisk cylinder:	Parabolcylinder:	Hyperbolisk cylinder:
${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	$y^{2}=2px$	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\!=1$

Par matchade linjer:	Par matchade plan:	Ett par korsande plan:
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0$	$y^{2}=0$	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\!=0$

Koniska ytor

En yta kallas en konisk yta med en vertex vid , om för någon punkt på denna yta den linje som går igenom och helt tillhör denna yta. $S$ $O$ $M_{0}$ $M_{0}$ $O$

En funktion sägs vara av homogen ordning om följande gäller: $F(x,y,z)$ $m$ $\forall t\in \mathbb {R} \;\forall x,y,z$ $F(tx,ty,tz)=t^{m}F(x,y,z)$

Sats (om ekvationen för en konisk yta).
Om i något kartesiskt rektangulärt koordinatsystem ytan ges av ekvationen , där är en homogen funktion, då är en konisk yta med en vertex i origo. $S$ $F(x,y,z)=0$ $F(x,y,z)$ $S$

Om ytan ges av en funktion som är ett andra ordningens homogent algebraiskt polynom, så kallas det en andra ordningens konisk yta . $S$ $F(x,y,z)$ $S$

Den kanoniska andra ordningens konekvationen har formen:

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2} }{c^{2}}}=0

Ytor av revolution

En yta kallas en rotationsyta runt en axel om, för någon punkt på denna yta, cirkeln som passerar genom denna punkt i ett plan med centrum vid och radie , hör helt till denna yta. $S$ $uns$ $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ $z=z_{0}$ $(0,0,z_{0})$ $r={\sqrt {x_{0}^{2}+y_{0}^{2))}$

Sats (om ekvationen för rotationsytan).
Om ytan i något kartesiskt rektangulärt koordinatsystem ges av ekvationen , så är rotationsytan runt axeln . $S$ $F(x^{2}+y^{2},z)=0$ $S$ $uns$

Ellipsoid :	Enarkshyperboloid : _	Två-arks hyperboloid:	Elliptisk paraboloid :	Hyperbolisk paraboloid:
${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2} }{c^{2}}}=1$	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2} }{c^{2}}}=1$	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2} }{c^{2}}}=-1$	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=2z$	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=2z$

Om , ytorna som anges ovan är rotationsytor. $a=b\neq 0$

Elliptisk paraboloid

Ekvationen för en elliptisk paraboloid har formen

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=2z.

Om , då den elliptiska paraboloiden är en rotationsyta som bildas av rotationen av en parabel, vars parameter är , runt en vertikal axel som passerar genom vertex och fokus på denna parabel. $a=b$ $p=a^{2}=b^{2}$

Skärningen av en elliptisk paraboloid med ett plan är en ellips . $z=z_{0}>0$

Skärningen av en elliptisk paraboloid med ett plan eller är en parabel . $x=x_{0}$ $y=y_{0}$

Hyperbolisk paraboloid

Ekvationen för en hyperbolisk paraboloid har formen

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=2z.

Skärningen av en hyperbolisk paraboloid med ett plan är en hyperbel . $z=z_{0}$

Skärningen av en hyperbolisk paraboloid med ett plan eller är en parabel . $x=x_{0}$ $y=y_{0}$

Med tanke på den geometriska likheten kallas en hyperbolisk paraboloid ofta som en " sadel ".

Centrala ytor

Om mitten av andra ordningens yta existerar och är unik, kan dess koordinater hittas genom att lösa ekvationssystemet: $\left(x_{0},\;y_{0}\;z_{0}\right)$

${\begin{cases}a_{11}x_{0}+a_{12}y_{0}+a_{13}z_{0}+a_{14}=0\\a_{21}x_{0}+ a_{22}y_{0}+a_{23}z_{0}+a_{24}=0\\a_{31}x_{0}+a_{32}y_{0}+a_{33}z_{ 0}+a_{34}=0\end{cases}}$

Matrisform av en andra ordningens ytekvation

Andra ordningens ytekvation kan skrivas om i matrisform:

{\begin{pmatrix}x&y&z&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_ {24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix } }x\\y\\z\\1\end{pmatrix}}=0

Du kan också separera de kvadratiska och linjära delarna från varandra:

{\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31 }&a_{32}&a_{33}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+2{\begin{pmatrix}a_{14}&a_{ 24}&a_{34}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+a_{44}=0

Om vi betecknar , tar ekvationen följande form: $A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ \end{pmatrix}}\quad b={\begin{pmatrix}a_{14}&a_{24}&a_{34}\end{pmatrix}}\quad X={\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix} }^{T}$

X^{T}AX+2bX+a_{44}=0

Invarianter

Värdena för följande kvantiteter bevaras under ortogonala transformationer av basen :

Matrisrelaterat : $A$
- $I_{1}=\mathrm {tr} \,A$
- $I_{2}={M_{A}}_{1,2}^{1,2}+{M_{A}}_{1,3}^{1,3}+{M_{A}}_ {2,3}^{2,3}$ , där är andra ordningens moll av matrisen A placerad i rader och kolumner med index i och j. ${M_{A}}_{i,j}^{i,j}$
- $I_{3}=\det A$

Relaterat till blockmatrisen (expanderad) [1] $B={\begin{pmatrix}A&b\\b^{T}&a_{44}\end{pmatrix}}$
- $K_{2}=\summa _{i=1}^{3}\summa _{j=i+1}^{4}{M_{B}}_{i,j}^{i,j}$
- $K_{3}=\summa _{i=1}^{2}\summa _{j=i+1}^{3}\summa _{k=j+1}^{4}{M_{B} }_{i,j,k}^{i,j,k}$
- $K_{4}=\det B$

Sådana invarianter kallas också ibland semi-invarianter eller semi-invarianter.

Med en parallell översättning av koordinatsystemet förblir kvantiteterna oförändrade. Vart i: $I_{1},I_{2},I_{3},K_{4}$

$K_{3}$ förblir oförändrad endast om $I_{2}=I_{3}=K_{4}=0$
$K_{2}$ förblir oförändrad endast om $I_{2}=I_{3}=K_{4}=K_{3}=0$

Klassificering av ytor av andra ordningen med avseende på värdena för invarianter

Yta	Ekvationen	Invarianter
Ellipsoid	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2} }{c^{2}}}=1$	$I_{3}\neq 0$	$I_{2}>0,\quad I_{1}I_{3}>0$	$K_{4}<0$
Imaginär ellipsoid	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2} }{c^{2}}}=-1$			$K_{4}>0$
Punkt	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+z^{2}=0$			$K_{4}=0$
Enarkshyperboloid	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2} }{c^{2}}}=1$		$I_{2}=0$ eller $I_{1}I_{3}\leq 0$	$K_{4}>0$
Två-arks hyperboloid	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2} }{c^{2}}}=-1$			$K_{4}<0$
Kon	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-2z^{2}=0$			$K_{4}=0$
Elliptisk paraboloid	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-2z=0$	$I_{3}=0$	$K_{4}\neq 0$	$K_{4}<0$
Hyperbolisk paraboloid	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-2z=0$		$K_{4}\neq 0$	$K_{4}>0$
Elliptisk cylinder	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$		$K_{4}=0$	$I_{2}>0$	$I_{1}K_{2}<0$
Imaginär elliptisk cylinder	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1$				$I_{1}K_{2}>0$
Rak linje (par imaginära skärande plan)	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+y^{2}=0$				$K_{2}=0$
hyperbolisk cylinder	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$			$I_{2}<0$	$K_{2}\neq 0$
Ett par korsande plan	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-y^{2}=0$			$I_{2}<0$	$K_{2}=0$
parabolisk cylinder	$y^{2}=2px$			$I_{2}=0$	$K_{2}\neq 0$
Par parallella plan	$x^{2}-d^{2}=0$				$K_{2}=0$	$K_{1}<0$
Ett par imaginära parallella plan	$x^{2}+d^{2}=0$					$K_{1}>0$
Plan	$x^2=0$					$K_{1}=0$

Anteckningar

↑ Alexandrov P. S. Kapitel XIX. Allmän teori om ytor av andra ordningen. // Föreläsningar om analytisk geometri. - Nauka, 1968. - S. 504-506. — 911 sid.

Litteratur

V.A. Ilyin, G.D. Kim. Linjär algebra och analytisk geometri. - M. : Prospekt, 2012. - 400 sid.
V. A. Ilyin, E. G. Poznyak. Analytisk geometri. - M. : FIZMATLIT, 2002. - 240 sid.
P. S. Alexandrov. Kurs i analytisk geometri och linjär algebra. - M. : FIZMATLIT, 1979. - 511 sid.
Sjal . En historisk genomgång av geometriska metoders ursprung och utveckling . Ch. 5, § 46-54. M., 1883.