Quadric

En quadric , eller quadric , är en n - dimensionell hyperyta i n + 1-dimensionell rymd, definierad som uppsättningen av nollor i ett polynom av andra graden . Om du anger koordinaterna { x 1 , x 2 , ..., x n +1 } (i euklidiskt eller affint rum) har den allmänna kvadratiska ekvationen formen [1]

\sum _{{i,j=1}}^{{n+1}}x_{i}Q_{{ij}}x_{j}+\summa _{{i=1}}^{{n+ 1 }}P_{i}x_{i}+R=0.

Denna ekvation kan skrivas om mer kompakt i matrisnotation :

xQx^{T}+Px^{T}+R=0

där x = { x 1 , x 2 , ..., x n +1 } är en radvektor , x T är en transponerad vektor, Q är en matris med storleken ( n +1)×( n +1) (det antas att även om ett av dess element inte är noll), är P en radvektor och R är en konstant. Oftast betraktas kvadricker över reella eller komplexa tal. Definitionen kan utvidgas till quadrics i projektivt rum , se nedan .

Mer allmänt är uppsättningen av nollor i ett system av polynomekvationer känd som en algebraisk variation . Således är en kvadrik en ( affin eller projektiv ) algebraisk variant av andra graden och kodimension 1.

Quadrics i euklidiska rymden

Kvadriker på det euklidiska planet motsvarar fallet n = 1, det vill säga de är kurvor . De kallas vanligtvis inte quadris, utan koniska eller koniska sektioner .

Kvadriker i (tredimensionell reell) euklidisk rymd har dimension n = 2 och kallas andra ordningens ytor . Genom att göra en ortogonal förändring av basen , kan vilken kvadrik som helst i det euklidiska rummet reduceras till en normal form. Det finns 17 sådana former i det tredimensionella euklidiska rummet. [2] Av dessa är 5 icke-singular (det vill säga matrisen är icke- singular [3] ). Degenererade former inkluderar plan, linjer, punkter och till och med kvadriker utan riktiga punkter. [fyra] ${\begin{pmatrix}Q&{\dfrac {P^{T}}{2}}\\{\dfrac {P}{2}}&R\end{pmatrix}}$

Icke-degenererade riktiga kvadriker i det euklidiska rymden
Ellipsoid	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1$
Elliptisk paraboloid	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-z=0$
Hyperbolisk paraboloid	${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}-z=0$
Enarkshyperboloid _	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1$
Två-arks hyperboloid	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=-1$

Affint och projektivt utrymme

Klassificeringen av kvadriker i tredimensionellt affint rum sammanfaller med klassificeringen av kvadriker i det euklidiska rummet. [5] Skillnaden är att vilka två kvadriker som helst från samma klass kan översättas till varandra genom en affin transformation , medan motsvarande ortogonala transformation inte alltid existerar (till exempel kan en ellipsoid inte översättas genom rörelse till en ellipsoid ). $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ $2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}=1$

Från en quadric i affint rymd kan man övergå till en quadric i projektivt rum genom att införa homogena koordinater . Låt koordinater införas i det affina rummet, då räcker det i ekvationen för kvadriken att multiplicera de linjära termerna med och den fria termen med . Ekvationen för den projektiva kvadriken i homogena koordinater har formen $(x_{1},x_{2},\ldots x_{{n+1}}),$ $x_0,$ $x_{0}^{2}.$

Q(x)=\summa _{{ij}}a_{{ij}}x_{i}x_{j}=0.

Utan förlust av generalitet kan vi anta att matrisen är symmetrisk, det vill säga en projektiv kvadratisk kallas icke-degenererad om motsvarande kvadratiska form är icke- degenererad . $F$ $a_{{ij}}=a_{{ji}}.$

I ett verkligt projektivt utrymme, enligt lagen om tröghet för kvadratiska former , kan vilken som helst icke-degenererad kvadratisk form reduceras ( genom en projektiv transformation ) till formen

Q(x)=\pm x_{0}^{2}\pm x_{1}^{2}\pm \cdots \pm x_{{n+1}}^{2}

Eftersom signaturen för en kvadratisk form är dess invariant , finns det exakt tre ekvivalensklasser i dimensionen n = 2 :

Q(x)={\begin{cases}x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\\x_{ 0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}\\x_{0}^{2}+x_{1}^{ 2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}\end{case}}

En ellipsoid, en elliptisk paraboloid och en tvåbladig hyperboloid tillhör den andra klassen, och en hyperbolisk paraboloid och en enbladig hyperboloid tillhör den tredje (de två sista kvadrikerna är exempel på styrda ytor ). Ingen kvadrik i ett verkligt projektivt utrymme tillhör den första klassen, eftersom motsvarande ekvation definierar en tom uppsättning . I ett komplext projektivt utrymme är alla icke-degenererade kvadriker likvärdiga.

Uttal av termen

Ordböckerna ger olika betoning: kvadrisk [6] [7] (”ryskt” uttal) och kvadrisk [8] [9] (”utländskt” uttal).
Det talade språket använder uttalet av både quadric (Kaliningrad Geometric School) och quadric [10] [11] [12] . Inga exempel på andra uttal är kända.

Litteratur

Matematisk uppslagsverk . I fem volymer. Volym 2, s.795 (artikel "Quadric"). Moskva: Soviet Encyclopedia, 1979-1985.

Anteckningar

↑ Silvio Levy. geom.uiuc.edu Quadrics . Geometry Formulas and Facts, utdrag från 30:e upplagan av CRC Standard Mathematical Tables and Formulas (CRC Press) . Hämtad 30 juli 2013. Arkiverad från originalet 18 juli 2018.
↑ Sameen Ahmed Khan. Kvadratiska ytor inom naturvetenskap och teknik . Bulletin of the IAPT, 2(11), 327-330 (november 2010). (Publication of the Indian Association of Physics Teachers). Hämtad 30 juli 2013. Arkiverad från originalet 13 augusti 2013.
↑ Kostrikin A. I. Introduktion till algebra. Del 2. Linjär algebra. - M. : FIZMATLIT, 2000. - S. 230. - 368 sid.
↑ Stewart Venit, Wayne Bishop , Elementary Linear Algebra (fjärde upplagan), International Thompson Publishing, 1996.
↑ P. S. Alexandrov. Kurs i analytisk geometri och linjär algebra. P.275.
↑ Mathematical Encyclopedic Dictionary, Moscow, Soviet Encyclopedia , 1988, s. 265.
↑ O. E. Ivanova och andra; resp. ed. V.V. Lopatin. Rysk stavningsordbok: - 2:a uppl., 2005, 943 s., s.285
↑ Lohwaters AJ rysk-engelska ordbok för de matematiska vetenskaperna. Redigerad av R.P.Boas. 1990. sid 155
↑ Rysk-portugisisk och portugisisk-rysk ordbok för fysik och matematik / V.V. Logvinov. M.: Rus.yaz., 1989, s. 114
↑ "ytor av grad 2 kallas quadrics" 21 min 55 sek - 22 min 05 sek Arkiverad 4 april 2016 på Wayback Machine (Sommarskolan "Modern Mathematics", 2015. Kurs "Twenty-seven lines".)
↑ "quadric in projective space", 1 min - 1 min 05 sek Arkivexemplar av 4 april 2016 på Wayback Machine (Scientific and Educational Center MIAN . Kurs "Classical Algebraic Geometry", 2015/2016.)
↑ "Låt X vara en quadric, anta att det finns en punkt på denna quadric", 6 min 36 sek - 6 min 56 sek Arkivkopia daterad 4 april 2016 på Wayback Machine (All-Institute Mathematical Seminar of the St. Petersburg Filial av MIAN , 23 september 2010.)