Kritisk poängmångfald

Mångfalden av den kritiska punkten för en -slät funktion är dimensionen av den så kallade lokala algebra för gradientavbildningen av denna funktion vid den punkt som avses. ${\displaystyle C^{\infty ))$ $f:\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R}$

Definition

Låta vara en -smidig funktion av variabler , som har sin kritiska punkt. Motsvarande gradientmappning ges av formeln Låt oss introducera följande notation: $f:\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R}$ ${\displaystyle C^{\infty ))$ $n$ $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $O\in \mathbb {R} ^{n}$ ${\displaystyle \nabla f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$ $(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto (\partial f/\partial x_{1},\ldots,\partial f/\partial x_{n}).$

$\mathbb {R} [[x_{1},\ldots ,x_{n}]]$ är algebra för formella potensserier i variabler centrerade vid $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $O.$
$I_{\nabla f}=(\partial f/\partial x_{1},\ldots ,\partial f/\partial x_{n})$ är ett ideal i algebra av smidiga funktioner som genereras av generatorer $\partial f/\partial x_{1},\ldots ,\partial f/\partial x_{n}.$

Genom att associera varje jämn funktion med dess formella Taylor-serie får vi en inbäddning i algebra . Den lokala algebra för gradientmappningen vid en punkt kallas kvotalgebra , och dess dimension kallas multipliciteten av funktionen vid punkten ${\displaystyle I_{\nabla f))$ $\mathbb {R} [[x_{1},\ldots ,x_{n}]]$ $O$ $\mathbb {R} [[x_{1},\ldots ,x_{n}]]/I_{\nabla f},$ ${\displaystyle \mu =\dim \,\mathbb {R} [[x_{1},\ldots ,x_{n}]]/I_{\nabla f))$ $f$ $O.$

I fallet när funktionerna har linjärt oberoende gradienter i punkten (detta villkor är ekvivalent med det faktum att funktionens hessian är icke-noll), kallas multipliciteten och den kritiska punkten icke- degenererade . Det är också bekvämt att sätta i fallet med en icke-kritisk punkt. ${\displaystyle \partial f/\partial x_{1},\ldots ,\partial f/\partial x_{n))$ $O$ $f$ $\mu=1$ $O$ $\mu=0$

Enstaka variabelfunktioner

I det här fallet och mångfalden av den kritiska punkten kan bestämmas av villkoret: $n=1$ $\mu$ $O$

{\frac {d^{i}f}{dx^{i}}}(O)=0\quad (\forall i=1,\ldots ,\mu ),\quad {\frac {d ^{\mu +1}f}{dx^{\mu +1}}}(O)\nev 0,

värdet motsvarar en icke-kritisk punkt. I själva verket, eftersom potensserien av funktionen i det här fallet börjar med en term, kan vilket element som helst representeras som , där och är ett gradpolynom som ges av koefficienterna, dvs. $\mu=0$ ${\displaystyle \nabla f={\partial f}/{\partial x))$ $x^{\mu },$ $g\in \mathbb {R} [[x]]$ $g=p_{\mu -1}+\alpha \cdot \nabla f$ $\alpha \in \mathbb {R} [[x]]$ $p_{\mu -1}$ $\mu-1,$ $\mu$ $\dim \,\mathbb {R} [[x]]/I_{\nabla f}=\mu .$

Toujrons sats i detta fall tar en trivial form: i en grannskap av en kritisk punkt med ändlig mångfald finns det koordinater där funktionen har formen $\mu$

f(x)=x^{\mu +1}.

Funktioner för flera variabler

I det här fallet är en viktig egenskap hos den kritiska punkten rangordningen för den hessiska matrisen vid punkten . $O$ $r$ $H(f)$ $O$

Om , då (enligt morselemmat ) i en grannskap av punkten , reduceras funktionen , genom att välja jämna lokala koordinater, till formen $r=n$ $O$ $f(x)$

\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}x_{i}^{2},\quad \alpha _{i}=\pm 1.

Om , då i ett område av punkten reduceras funktionen till formen genom att välja jämna lokala koordinater $r=n-1$ $O$ $f(x)$

\sum _{i=1}^{n-1}\alpha _{i}x_{i}^{2}+g(x_{n}),\quad \alpha _{i}=\ pm1,

och, om multipliciteten av funktionen är , så reduceras den till formen

g(x_{n})

\mu </infty

\sum _{i=1}^{n-1}\alpha _{i}x_{i}^{2}+x_{n}^{\mu +1},\quad \alpha _{ i}=\pm 1,\quad 2\leq \mu <\infty .

Om , då i ett område av punkten reduceras funktionen till formen genom att välja jämna lokala koordinater $r=n-2$ $O$ $f(x)$

\sum _{i=1}^{n-2}\alpha _{i}x_{i}^{2}+g(x_{n-1},x_{n}),\quad \ alfa _{i}=\pm 1,

där Taylor-serien av funktionen börjar med monomer av grad

g(x_{n-1},x_{n})

\geq 3.

Om den kubiska delen av en funktion har tre olika (reella eller komplexa) rötter, reduceras den till formen $g(x_{n-1},x_{n})$ $f(x)$

\sum _{i=1}^{n-2}\alpha _{i}x_{i}^{2}+x_{n-1}x_{n}^{2}\pm x_{ n}^{3},\quad \alpha _{i}=\pm 1.

Om den kubiska delen av en funktion har två olika rötter (en av dem är en multipel), så reduceras funktionen till formen , under det ytterligare villkoret för allmän position $g(x_{n-1},x_{n})$ $f(x)$

\sum _{i=1}^{n-2}\alpha _{i}x_{i}^{2}+x_{n-1}x_{n}^{2}\pm x_{ n}^{\mu +1},\quad \alpha _{i}=\pm 1,\quad 3\leq \mu <\infty .

Divisionssats

Låta vara en jämn funktion av variabeln , som har en punkt som sin kritiska punkt för finit multiplicitet i variabeln , d.v.s. $f:\mathbb {R} ^{n+1}\to \mathbb {R}$ $n+1$ ${\displaystyle x,y_{1},\ldots ,y_{n))$ $0\in \mathbb {R} ^{n+1}$ $\mu \geq 0$ $x$

${\frac {\partial ^{i}f}{\partial x^{i))}(0)=0\quad (\forall i=1,\ldots ,\mu ),\quad {\ frac {\partial ^{\mu +1}f}{\partial x^{\mu +1))}(0)\neq 0.\quad \ (*)$

Sedan, i närheten av punkten , kan funktionen representeras i formuläret $0$ $f$

$f(x,y_{1},\ldots,y_{n})=\varphi (x,y_{1},\ldots,y_{n})\cdot {\Bigl (}x^{\ mu +1}+\sum _{i=0}^{\mu}a_{i}(y_{1},\ldots ,y_{n})x^{\mu -i}{\Bigr )}, \quad\(**)$

var och är smidiga funktioner för sina argument, försvinner inte för alla . $\varphi$ $a_{{i}}$ $\varphi (x,y_{1},\ldots,y_{n})$ $a_{i}(0,\ldots ,0)=0$ $i<\mu$

Denna sats bevisades först av Weierstrass för holomorfa funktioner av komplexa variabler [1] ( Weierstrass divisionssats ). Den verkliga analogen som ges ovan kallas ofta Malgrange eller Mather divisionssats .

Kritiska punkter i mappningar

Mångfalden av den kritiska punkten för en -smidig mappning är dimensionen av den lokala algebra för den givna mappningen. ${\displaystyle C^{\infty ))$ $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},$ $n>1,$

Låt vara en -smidig kartläggning med sin kritiska punkt. Mappningen ges av en uppsättning funktioner på variabler . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$ ${\displaystyle C^{\infty ))$ $O\in \mathbb {R} ^{n}$ $f$ $n$ ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n))$ $n$ $x_{1},\ldots ,x_{n}$

Låt oss presentera följande notation:

$\mathbb {R} [[x_{1},\ldots ,x_{n}]]$ är algebra för formella potensserier i variabler centrerade vid $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $O.$
$I_{f}=(f_{1},\ldots ,f_{n})$ är ett ideal i algebra av smidiga funktioner som genereras av generatorer $f_{1},\ldots ,f_{n}.$

Genom att associera varje jämn funktion med dess formella Taylor-serie får vi en inbäddning i algebra . Den lokala algebra för en mappning vid en punkt kallas kvotalgebra , och dess dimension kallas multipliciteten av mappningen vid en punkt ${\displaystyle I_{f))$ $\mathbb {R} [[x_{1},\ldots ,x_{n}]]$ $O$ $\mathbb {R} [[x_{1},\ldots ,x_{n}]]/I_{f},$ ${\displaystyle \mu =\dim \,\mathbb {R} [[x_{1},\ldots ,x_{n}]]/I_{f))$ $f$ $O.$

Se även

Lemma av Morse. Toujrons sats

Litteratur

Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularities of differentiable mappings, — Alla upplagor.
Brecker T., Lander L. Differentierbara bakterier och katastrofer, - Alla upplagor.
Golubitsky M., Guillemin V. Stallkartläggningar och deras singulariteter, - M.: Mir, 1977.
Hormander L. Introduktion till teorin om funktioner för flera komplexa variabler, - M .: Mir, 1968.
Artikelsamling: Features of differentiable mappings, - M.: Mir, 1968.
Palamodov V.P. Om mångfalden av en holomorf kartläggning, Funkts. analys och dess tillämpningar, 1:3 (1967), s. 54–65.
Arnold, V.I., A not on the Weierstrass preparatory theorem, Funktsional. analys och dess tillämpningar, 1:3 (1967), s. 1–8.
Pavlova N.G., Remizov A.O. En introduktion till singularitetsteori . - M. : MIPT, 2022. - 181 sid. - ISBN 978-5-7417-0794-4 .

Anteckningar

↑ Weierstrass K. Einige auf die Theorie der analytischen Functionen mehrerer Veränderlichen sich beziehende Sätze. — Mathematische Werke, V. II, Mayer und Müller, Berlin, 1895, 135–188.