Halvvinkeltangensformel

Tangenten för en halvvinkelformel är en trigonometrisk formel som relaterar tangenten för en halv vinkel till de trigonometriska funktionerna för en hel vinkel:

\operatorname {tg} {\frac {\theta }{2}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-\cos \theta } {\sin \theta }}=(-1)^{k}{\sqrt {1-\cos \theta \over 1+\cos \theta )),

var och bestäms av tillståndet . $k\in \mathbb {Z}$ $k\pi \leq \theta \leq (k+1)\pi$

Följande relationer är också relaterade till denna formel:

{\begin{aligned}\operatörsnamn {tg} {\frac {\alpha +\beta }{2))\ &={\frac {\sin \alpha +\sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta )),\\[10pt]\operatörsnamn {tg} \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\ sek \theta +\operatörsnamn {tg} \theta ={\frac {1+\operatörsnamn {tg} (\theta /2)}{1-\operatörsnamn {tg} (\theta /2)}}=(-1 )^{k}{\sqrt {\frac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}},\\[10pt]\mathrm {ctg} \left({\frac {\theta } {2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta -\operatörsnamn {tg} \theta ={\frac {1-\operatörsnamn {tg} (\theta /2 )}{1+\operatörsnamn {tg} (\theta /2)}}=(-1)^{k}{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }} }.\end{aligned}}

I de två sista uttrycken , och bestäms från villkoret . $k\in \mathbb {Z}$ $\left(k-{\frac {1}{2}}\right)\pi \leq \theta \leq \left(k+{\frac {1}{2}}\right)\pi$

När vi har: $\theta \in \left(-{\frac {\pi }{2)),{\frac {\pi }{2))\right)$ $\operatörsnamn {tg} {\frac {\theta }{2}}={\frac {\operatörsnamn {tg} \theta }{1+{\sqrt {1+\operatörsnamn {tg} ^{2} \theta }}}}.$

Geometriskt bevis

Universell trigonometrisk substitution

I olika tillämpningar är det användbart att skriva trigonometriska funktioner (som sinus och cosinus ) i termer av rationella funktioner för en ny variabel t , lika med tangenten för en halv vinkel. Dessa identiteter är användbara vid beräkning av antiderivat .

Förekomsten av formeln för tangenten till en halv vinkel är baserad på det faktum att en cirkel är en algebraisk kurva av ordning 2. Därför skulle man förvänta sig att 'cirkulära funktioner' kan reduceras till rationella funktioner.

Geometriska konstruktioner ser ut så här: på en trigonometrisk cirkel för vilken punkt som helst med koordinater (cos φ, sin φ), ritar vi en rät linje som går genom cirkeln och punkten med koordinater (−1,0). Denna linje skär y-axeln ( y -axeln ) vid någon punkt med koordinaten y = t . Det kan visas med enkla geometriska konstruktioner att t = tg(φ/2). Ekvationen för den ritade linjen är y = (1 + x ) t . Ekvationen för att bestämma skärningspunkterna för den angivna linjen och cirkeln är en andragradsekvation i t . De två lösningarna till denna ekvation är (−1, 0) och (cos φ, sin φ). Detta gör att vi kan skriva (cos φ, sin φ) som rationella funktioner av t (lösningar ges nedan).

Observera också att parametern t är den stereografiska projektionen av punkten (cos φ, sin φ) på y -axeln med projektionscentrum placerat i punkten (−1,0). Därför ger formeln för tangenten för en halv vinkel oss övergången från den stereografiska koordinaten t till den trigonometriska cirkeln och standardvinkelkoordinaten φ.

Vi har

$\cos \varphi ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},$		$\sin \varphi ={\frac {2t}{1+t^{2}}},$
$\operatorname {tg} \varphi ={\frac {2t}{1-t^{2}}},$		$\operatorname {ctg} \varphi ={\frac {1-t^{2}}{2t)),$
$\sec \varphi ={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},$		$\csc \varphi ={\frac {1+t^{2}}{2t)),$

och

e^{i\varphi }={\frac {1+it}{1-it)),

e^{-i\varphi }={\frac {1-it}{1+it)).

Från dessa formler kan bågtangensen uttryckas i termer av den naturliga logaritmen

\operatorname {arctg} (t)={\frac {1}{2i}}\ln {\frac {1+it}{1-it}}.

När man hittar antiderivator av funktioner som innehåller sin( φ ) och cos( φ ), ser Weierstrass-substitutionen ut så här. Tar

t=\operatörsnamn {tg} {\tfrac {1}{2}}\varphi .

vi får

\varphi =2\operatörsnamn {arctg} (t),

och därför

d\varphi ={{2\,dt} \över {1+t^{2}}}.

Hyperboliska identiteter

Man kan få helt liknande härledningar för hyperboliska funktioner . En punkt på en hyperbel (på dess högra gren) bestäms av koordinaterna (ch θ , sh θ ). Om vi projicerar den på y -axeln från mitten (−1, 0), får vi följande:

t=\operatörsnamn {th} {\frac {1}{2}}\theta ={\frac {\operatörsnamn {sh} \theta }{\operatörsnamn {ch} \theta +1}}={\ frac {\operatörsnamn {ch} \theta -1}{\operatörsnamn {sh} \theta }}

och då är identiteterna för hyperboliska funktioner

$\operatorname {ch} \theta ={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},$		$\operatorname {sh} \theta ={\frac {2t}{1-t^{2}}},$
$\operatorname {th} \theta ={\frac {2t}{1+t^{2}}},$		$\operatorname {cth} \theta ={\frac {1+t^{2}}{2t)),$
$\mathrm {sech} \,\theta ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},$		$\mathrm {csch} \,\theta ={\frac {1-t^{2}}{2t)),$

och

e^{\theta }={\frac {1+t}{1-t)),

e^{-\theta }={\frac {1-t}{1+t)).

Användningen av dessa substitutioner för att hitta antiderivat introducerades av Karl Weierstrass .

Att uttrycka θ i termer av t leder till följande relationer mellan den hyperboliska bågtangensen och den naturliga logaritmen:

\operatorname {arth} (t)={\frac {1}{2))\ln {\frac {1+t}{1-t)).

Se även

Länkar

Tangent of a Half Angle på Planetmath