Ultrafilter

Ultrafiltret på gallret är det maximala egna filtret [1] . Konceptet med ett ultrafilter dök upp i allmän topologi , där det används för att generalisera begreppet konvergens till utrymmen med en oräknelig bas. $F$

Definition

Ett egenfilter på ett gitter är ett ultrafilter om det inte finns i något egenfilter (det vill säga annat än ). $F$ $L$ $F$

En uppsättning delmängder av en uppsättning kallas ett ultrafilter på if $F$ $X$ $X$

$\varnothing\notin F$
för alla två element ligger deras skärningspunkt också i $F$ $F$
för alla element ligger alla dess superset i $F$ $F$
för någon delmängd antingen , eller $Y\subseteq X$ $Y \i F$ $X \omvänt snedstreck Y \i F$

Anteckningar

$F$ är ett ultrafilter om en funktion på mängderna , given som , if , och annars, då är ett ändligt additivt sannolikhetsmått på . $S\delmängd X$ $\omega _{F}(S)=1$ $S\i F$ $\omega _{F}(S)=0$ $\omega _{F}$ $X$

Ultrafilter i booleska algebror

Om gittret är en boolesk algebra är följande karakterisering av ultrafilter möjlig: ett filter är ett ultrafilter om och endast om för något element antingen , eller $L$ $F$ $x\i L$ $x \i F$ $-x \i F$

Denna karaktärisering gör att ultrafilter ser ut som kompletta teorier .

Exempel

Minimifiltret som innehåller det givna elementet kallas huvudfiltret som genereras av huvudelementet . $x$ $x$
- Alla huvudfilter är ett ultrafilter
- Huvudapplikationer har icke-huvud-ultrafilter.
en delmängd av Lindenbaum–Tarski-algebra av den fullständiga teorin , bestående av satser $T$ $T$

Egenskaper

ultrafiltret på en ändlig uppsättning är alltid det viktigaste .
alla ultrafilter på en oändlig uppsättning innehåller ett finit filter .
om är det huvudsakliga ultrafiltret på setet , är dess huvudelement skärningspunkten mellan alla element i ultrafiltret. $F$ $X$
om är ett icke-principiellt ultrafilter på setet , då är skärningspunkten mellan alla dess element tom. $F$ $X$
Varje filter ingår i ett ultrafilter.
- Detta påstående kan inte bevisas utan att använda valets axiom .
- Även detta uttalande är ekvivalent med det booleska primidealsatsen .
- En viktig konsekvens av detta teorem är förekomsten av icke-huvudsakliga ultrafilter på oändliga mängder.
Stone-Cech-komprimeringen av ett diskret utrymme är en uppsättning ultrafilter på ett gitter av delmängder utrustade med stentopologin . Som en bas av öppna uppsättningar av stentopologin på uppsättningen av ultrafilter , kan vi ta uppsättningar för alla möjliga $X$ $X$ $G$ $D_{a}=\{U\in G|a\in U\}$ $a\in P(X).$

Applikationer

Ultrafilter används i ett antal modellteoretiska konstruktioner , nämligen för att formulera konceptet för en ultraprodukt .
Ultrafilter förekommer också i formuleringen av Stones representationsteorem för booleska algebror och i den explicita konstruktionen av Stone-Cech-komprimeringen .
Ultragränsen för metriska utrymmen är en generalisering av Gromov-Hausdorff-konvergensen .
Ultrafilter används i kombinatorik, såsom i Ramsey-teorin . [2]

Anteckningar

↑ Postnikov M. M. Föreläsningar om geometri: Släta grenrör. - 2. - URSS, 2017. - S. 166-170. — 480 s. — ISBN 978-5-9710-3916-7 .
↑ Isaac Goldbring. Ultrafiltermetoder i kombinatorik // Ögonblicksbilder av modern matematik från Oberwolfach. — 2021. — Nej . 6 . Arkiverad från originalet den 24 januari 2022.