Måttet på en mängd är en numerisk egenskap hos en mängd; intuitivt kan det förstås som massan av en mängd med en viss fördelning av massa över rymden . Begreppet ett mått på en mängd uppstod i funktionsteorin för en reell variabel under utvecklingen av begreppet en integral [1] .
Egentligen är ett mått en viss numerisk funktion som tilldelar varje mängd (från en viss familj av mängder) något icke-negativt tal. Förutom att vara icke-negativ, måste ett mått som funktion också ha egenskapen additivitet — måttet på föreningen av disjunkta mängder måste vara lika med summan av deras mått. Det bör noteras att inte varje mängd är mätbar - för varje funktion av ett mått menas vanligtvis en viss familj av mängder (kallad mätbar med avseende på det givna måttet) för vilket måttet finns.
Ett specialfall av ett mått är Lebesgue-måttet för delmängder , som generaliserar begreppet volym , area eller längd till fallet med uppsättningar som är mer generella än bara avgränsade av en slät yta.
Låt en uppsättning ges med någon framstående klass av delmängder , det antas att denna klass av delmängder ibland är en ring av mängder eller en algebra av mängder , i det mest allmänna fallet, en semiring av mängder .
En funktion kallas ett mått (ibland volym ) om den uppfyller följande axiom:
Det första axiomet är bekvämt, men på sätt och vis överflödigt: det räcker med att anta att det finns åtminstone en mängd med ett ändligt mått, av vilket det kommer att följa att måttet på den tomma mängden blir lika med noll (annars lägger man till en tom uppsättning till valfri uppsättning av ändliga mått skulle ändra måttet , trots att uppsättningen inte har ändrats).
Det följer direkt av det andra axiomet (i fallet med en ring av mängder) att måttet på föreningen av ett ändligt antal disjunkta mängder är lika med summan av måtten för dessa mängder:
.I fallet med en definition över en semiring av mängder, tas denna egenskap av finit additivitet vanligtvis istället för det andra axiomet, eftersom den finita additiviteten i allmänhet inte följer av parvis additivitet [2] .
Den (ändliga) additiviteten hos ett mått innebär i allmänhet inte att en liknande egenskap gäller för en räknebar förening av disjunkta mängder. Det finns en särskild viktig klass av åtgärder som kallas countably additiva åtgärder.
Låt en mängd med distingerad -algebra ges .
En funktion kallas countably additive (eller -additive ) mått om den uppfyller följande axiom:
Det följer av definitionen att måttet har åtminstone följande egenskaper (det antas att måttet definieras åtminstone på en semiring av uppsättningar):
Räkneligt additiva åtgärder, utöver de angivna, har även följande egenskaper.
Det är ofta svårt och onödigt att definiera ett mått explicit på varje uppsättning från motsvarande sigma-algebra (ring eller algebra) av uppsättningar, eftersom det räcker att definiera måttet på någon klass av mätbara uppsättningar, och sedan använda standardprocedurer ( och under kända förhållanden), fortsätt till ringen, algebra eller sigma-algebra av uppsättningar genererade av denna klass.
Klassen av mätbara mängder i dess struktur måste vara en ring av mängder (om måttet är additivt) eller en sigma-algebra av mängder (om måttet är räknat additivt), men för att specificera ett mått räcker det i båda fallen för att definiera det på en semiring av set - då kan måttet fortsätta på ett unikt sätt till den minimala ringen (minimal sigma-algebra) av uppsättningar som innehåller den ursprungliga semiringen.
Låt den initiala klassen av mätbara uppsättningar ha strukturen som en semiring: den innehåller en tom uppsättning och för alla uppsättningar A och B från deras skillnad tillåts en finit partition i mätbara uppsättningar från , det vill säga det finns en finit uppsättning disjunkta uppsättningar från Så att
.Låt beteckna klassen för alla delmängder av det utrymme som övervägs som tillåter en ändlig partition i mängder från . Klassen är stängd under operationerna skillnad, skärning och förening av uppsättningar, och är således en ring av uppsättningar som innehåller (och uppenbarligen minimal). Varje additiv funktion på kan unikt utökas till en additiv funktion på om och endast om dess värden är kompatibla på . Detta krav innebär att för alla samlingar av osammanhängande uppsättningar och från , om deras förening är densamma, måste summan av deras åtgärder också vara densamma:
Om , då .Låt och vara klasser av mätbara uppsättningar på utrymmen och ha strukturen av en semiring. Uppsättningar av formen , där , bildar en semiring av uppsättningar på utrymmet .
Om mått och ges på och , så definieras en additiv funktion för att uppfylla konsistenskravet. Dess utvidgning till den minimala ringen som innehåller kallas den direkta produkten av åtgärderna och betecknas med . Om de ursprungliga måtten var sigma-additiv på sina definitionsdomäner kommer måttet också att vara sigma-additiv. Detta mått används i teorin om multipla integraler (se Fubinis sats ).
Ett av alternativen för att generalisera begreppet är laddning , som kan ha negativa värden
Ibland betraktas ett mått som en godtycklig ändligt additiv funktion med ett intervall i en Abelsk halvgrupp : för ett räknat additivt mått är det naturliga värdeintervallet en topologisk Abelsk halvgrupp ( topologi behövs för att kunna tala om konvergens av en serie mått av ett räknebart antal mätbara delar, på vilka i definitionen av räknebar additivitet, en mätbar mängd är uppdelad). Ett exempel på ett icke-numeriskt mått är ett mått med värden i ett linjärt utrymme , i synnerhet ett projektorvärderat mått involverat i den geometriska formuleringen av spektralsatsen .
Ordböcker och uppslagsverk |
|
---|
Integralkalkyl | ||
---|---|---|
Main | ||
Generaliseringar av Riemann-integralen | ||
Integrerade transformationer |
| |
Numerisk integration | ||
måttteori | ||
Relaterade ämnen | ||
Listor över integraler |