Algebra av uppsättningar

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 26 maj 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Mängdalgebra i mängdteorin är ett icke-tomt system av delmängder av någon mängd , stängt under operationerna addition (skillnad) och union (summa) . $X$

Definition

En familj av delmängder av en mängd (här boolean ) kallas en algebra om den uppfyller följande egenskaper: ${\mathfrak {A}}\subset 2^{{X}}$ $X$ $2^{{x}}$

$\varnothing \in {\mathfrak {A}).$
Om uppsättningen är , då dess komplement $A \ i {\ Mathfrak {a}}$ $X\setminus A\in {\mathfrak {A}).$
Unionen av två uppsättningar hör också till $A, b \ i {\ mathfrak {a}}$ ${\ Mathfrak {a}}.$

Anteckningar

Per definition, om en algebra innehåller en mängd , så innehåller den också dess komplement. Unionen med dess komplement är den ursprungliga uppsättningen . Komplementet av en uppsättning är den tomma uppsättningen. Detta innebär att mängden och den tomma mängden ingår i algebra per definition. $A$ $A$ $X$ $X$ $X$
På grund av egenskaperna för operationer på mängder är algebra av mängder också stängd under skärningspunkt och symmetrisk skillnad .
Mängd algebra är ett specialfall av enhetsalgebra , där "multiplikation" -operationen är skärningspunkten mellan mängder, och "addition"-operationen är den symmetriska skillnaden.
Om den ursprungliga uppsättningen är utrymmet för elementära händelser , kallas algebra för händelsernas algebra - ett nyckelbegrepp inom sannolikhetsteori och relaterade matematiska discipliner, som har en unik tolkning och spelar en självständig roll i matematik. $X$ ${\mathfrak {A}}$

Algebra av händelser

Händelsealgebra (i sannolikhetsteorin ) är algebra av delmängder av utrymmet för elementära händelser , vars beståndsdelar är elementära händelser . $\Omega$

Som det anstår en mängd algebra innehåller händelsealgebra en omöjlig händelse ( en tom mängd ) och stängs under mängdteoretiska operationer utförda på ett ändligt antal mängder. Det räcker med att kräva att algebra av händelser stängs i förhållande till två operationer, till exempel korsning och tillägg , som omedelbart kommer att följa dess isolering i förhållande till alla andra teoretiska och många operationer. Händelsealgebra , stängd i förhållande till teoretiska och blygsamma operationer som utförs med det räknande antalet uppsättningar, kallas Sigma-algebra av händelser.

I sannolikhetsteorin förekommer följande algebror och sigma-algebror för händelser:

algebra av ändliga delmängder ; $\Omega$
sigma-algebra av räknebara delmängder ; $\Omega$
delmängd algebra bildad av finita unionsintervaller ; ${{\mathbb {R}}}^{n}$
sigmaalgebra av Borel delmängder av ett topologiskt utrymme , det vill säga den minsta sigma algebra som innehåller alla öppna delmängder ; $\Omega$ $\Omega$
algebra av cylindrar i funktionsrummet och sigma-algebra som genereras av dem.

Händelsen eller , som består i att av de två händelserna är minst en, kallas summan av händelser och . $A+B$ $A\kopp B$ $A$ $B$ $A$ $B$

Det probabilistiska utrymmet är en algebra av händelser med en given sannolikhetsfunktion , det vill säga ett sigma-adnsy slutmått , vars definitionsområde är en algebra av händelser, där . $\mathbb {P}$ $\mathbb{P}(\Omega) = 1$

Eventuell Sigma Addilativ sannolikhet på algebra av händelser fortsätter tydligt tills Sigma Addilativ sannolikhet, som bestäms på Sigma-algebra av händelser som genereras av denna algebra av händelser .

Se även

Litteratur

Kolmogorov A.N. , Fomin S.V. Element i funktionsteori och funktionsanalys. - ed. fjärde, reviderad. — M .: Nauka , 1976 . — 544 sid.