Ställ in skillnaden

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 25 mars 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Skillnaden mellan två mängder är en mängdteoretisk operation, vars resultat är en mängd som inkluderar alla element i den första mängden som inte ingår i den andra mängden. Vanligtvis är skillnaden mellan uppsättningarna och betecknad som , men ibland kan du se notationen och . $A$ $B$ $A\setminus B$ $AB$ $A\sim B$

Låt och vara två uppsättningar som anges i definitionen, då definieras deras skillnad (på det mängdteoretiska språket): $A$ $B$

A\setminus B=\{x\i A\mid x\inte \i B\}.

Denna uppsättning kallas ofta komplementet av en uppsättning till en uppsättning . (endast när uppsättning B helt och hållet tillhör uppsättning A) $B$ $A$

Det antas vanligtvis att delmängder av samma mängd beaktas, vilket i det här fallet kallas universum , säg, . Sedan kan vi, tillsammans med varje uppsättning , överväga dess relativa komplement , som ofta betecknas genom att utelämna ikonen för universum: $X$ $A\delmängd X$ $X\setminus A$ $\setminus A$ ; samtidigt sägs det att det är (enkelt) komplementet till en mängd (utan att specificera vad den givna mängden är komplement till). $\setminus A$

Med tanke på denna anmärkning visar det sig att , det vill säga komplementet av en mängd till en mängd är skärningspunkten mellan mängden och komplementet till mängden . $A\setminus B=A\cap (\setminus B)$ $B$ $A$ $A$ $B$

Operatornotationen för formen , eller (om den universella uppsättningen utelämnas) , , används också . $A^{\komplement }$ $\complement _{X}A$ $\komplement A$ $\överlinje A$ $A'$

Uppsättningsdifferensoperationen är per definition inte symmetrisk med avseende på uppsättningarna som ingår i den. En symmetrisk version av den mängdteoretiska skillnaden mellan två uppsättningar beskrivs av begreppet en symmetrisk skillnad .

Exempel

Låt . Sedan $A=\{1,\;2,\;3,\;4\},\;B=\{3,\;4,\;5,\;6,\;7\}$ $A\setminus B=\{1,\;2\},\;B\setminus A=\{5,\;6,\;7\}.$
Låt vara mängden av alla reella tal , vara mängden rationella tal och vara mängden heltal . Sedan - mängden av alla irrationella tal och - bråktal . $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ $\mathbb {Q} \setminus \mathbb {Z}$

Egenskaper

Låt vara godtyckliga uppsättningar. $A,\;B,\;C,\;D$

Att subtrahera en uppsättning från sig själv resulterar i den tomma uppsättningen :

A\setminus A=\varnothing .

Egenskaper för den tomma uppsättningen med avseende på skillnaden:

\varnothing \setminus A=\varnothing ;

A\setminus \varnothing =A.

Skillnaden mellan två set finns i minuend:

A\setminus B\delmängd A.

$A\kopp (B\setminus A)=A\kopp B$ . Det följer av denna formel att differensoperationen inte är inversen av summaoperationen (det vill säga union).
$A\setminus B=A\setminus (A\cap B).$
Skillnaden skär inte med subtrahenden:

A\cap (B\setminus A)=\varnothing .

Mängdskillnaden är lika med den tomma mängden om och endast om minuend finns i subtrahenden:

A\setminus B=\varnothing \Leftrightarrow A\delmängd B.

De Morgans lagar i mängdalgebra är formulerade enligt följande:

A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\kopp (A\setminus C);

A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C).

$(A\kopp B)\setminus C=(A\setminus C)\kopp (B\setminus C);$
$A\setminus (B\setminus C)=(A\setminus B)\kopp (A\cap C);$
$A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\setminus C;$
$(B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A);$
$(B\setminus A)\kopp C=(B\kopp C)\setminus A$ om . $C\cap A=\varnothing$
Om och då $A\delmängd B$ $C\delmängd D$ $(A\setminus D)\delmängd (B\setminus C);$
Om , då för någon . Denna relation har sin analogi i aritmetiken : om , då för någon . $A\delmängd B$ $C$ $(C\setminus B)\subset (C\setminus A)$ $a\leqslant b$ $c$ $(cb)\leqslant (ca)$

Datorimplementationer

I Mathematica -paketet implementeras operationen med hjälp av funktionen Complement . I MATLAB -paketet implementeras det även med funktionen setdiff.

I programmeringsspråket Pascal (liksom i dess objekttillägg Object Pascal ) representeras den inställda skillnadsoperationen av operatorn "−", vars båda operander och resultatet är värden av typen set.

I programmeringsspråket Python implementeras operationen med diff-metoden på ett objekt av typen set.

Ange komplement

Definition

Om det följer av sammanhanget att alla uppsättningar som övervägs är delmängder av något fast universum , så definieras additionsoperationen: $X$

A^{\komplement }=X\setminus A\equiv \{x\i X\mid x\inte \i A\}.

Egenskaper

Komplementoperationen är en unär boolesk operation . $2^{X}$
Kompletterar lagar: [1]

$A\kopp A^{\komplement }=X;$
$A\cap A^{\komplement }=\varnothing .$

I synnerhet, om både och är icke- tomma , är en partition .

A

A^{\komplement }

\{A,\;A^{\komplement }\}

X

$X^{\komplement }=\varnothing ;$
$\varnothing ^{\komplement }=X;$
$(A\delmängd B)\Vänsterhögerpil (B^{\komplement }\delmängd A^{\komplement }).$

Komplementoperationen är en involution :

(A^{\komplement })^{\komplement }=A.

De Morgans lagar :

$(A\kopp B)^{\komplement }=A^{\komplement }\cap B^{\komplement };$
$(A\cap B)^{\komplement }=A^{\komplement }\cup B^{\komplement }.$

Ange skillnadslagar:

$A\setminus B=A\cap B^{\komplement };$
$(A\setminus B)^{\komplement }=A^{\komplement }\kopp B.$

Kodning

grafem	namn	Unicode	HTML	Latex
∁	KOMPLEMENT	U+2201	∁	\complement

Se även

Operationer på uppsättningar

Litteratur

Lavrov I. A. , Maksimova L. L. Problem i mängdlära, matematisk logik och teori för algoritmer. - M. : Fizmatlit, 2004. - 256 sid.
Kuratovsky K. , Mostovsky A. Theory of sets/Per. från engelska. M. I. Kortfattat, red. A.D. Taimanova. -M.: Mir, 1970. - S. 16, 20-22.

Anteckningar

↑ Ilyin V.A. , Sadovnichiy V.A. , Sendov Bl. H. . Kapitel 2. Reella tal // Matematisk analys / Ed. A.N. Tikhonova . - 3:e uppl. , reviderad och ytterligare - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 66. - 672 sid. — ISBN 5-482-00445-7 .

Avledningar av den latinska bokstaven C, c
Brev	Çç Ç̌ç̌ Ç̇ç̇ Ćć Ĉĉ Ċċ Čč Č̓č̓ č̣̓ Ƈƈ Ȼȼ Ḉḉ ɕ ʗ ʗ̃ ʗ̬ 𝼏 ᴄ Ꜿꜿ Ꞓꞓ Ꞔꞔ 𝼝 Ↄↄ / C̀c̀ C̆c̆ C̨̆c̨̆ c̑ ç̑ C̓c̓ C̈c̈ C̄c̄ C̃c̃ Čič C̱c̱ C̣c̣ C̦c̦ Č̣č̣ Č̈č̈ c̋c̋ c̟ ʨ
Symboler	₵ ₡ ¢ ℂ 𝔠 © 🄯 ¶•⸿ ∁ 𝄡 𝇐 ℃ ₠ ₢ 𝄊 Ⓒⓒ ⒞