Stones teorem om representationen av booleska algebror

Stones representationssats för booleska algebror säger att varje boolesk algebra är isomorf till något uppsättningsfält .

Historik

Teoremet bevisades av Stone 1936. Denna sats fungerade som en utgångspunkt i studiet av spektralteorin om operatörer på ett Hilbertrum .

Stenutrymmen

För varje boolesk algebra B finns det ett topologiskt utrymme, det så kallade Stone space , betecknat S ( B ). Punkter i S ( B ) är ultrafilter av B , det vill säga homomorfismer från B till en boolesk algebra med två element. Topologin på S ( B ) ges av en sluten bas som består av alla uppsättningar av formen

\{x\in S(B)\mid b\in x\},

där b är ett element av B .

För varje boolesk algebra B är utrymmet S ( B ) ett kompakt , helt frånkopplat Hausdorff- utrymme. Sådana utrymmen kallas även profinita .

Det omvända är också sant: mängden delmängder som är både öppna och slutna i ett profinit utrymme X bildar en boolesk algebra.

Formulering

Stones satser om representationen av booleska algebror. Varje boolesk algebra B är isomorf till en algebra av delmängder som är både öppna och slutna i sitt stenrum S ( B ). Isomorfismen skickar ett element b ∈ B till uppsättningen av alla ultrafilter som innehåller b . Genom konstruktion är detta set öppet och stängt.

Nedan är en förfining av satsen på kategoriteorinspråk . Denna förfining är ett av de första meningsfulla exemplen på kategoriernas dualitet. Beviset kräver valets axiom eller dess svaga form.

Förfining av satsen. Det finns en dualitet mellan kategorin booleska algebror och kategorin profinita utrymmen , det vill säga de projektiva gränserna för system av ändliga mängder , utrustade med en diskret topologi . $F_{i}$ $i\i jag$

Denna dualitet innebär att varje homomorfism mellan booleska algebror naturligt motsvarar en kontinuerlig karta . Det finns med andra ord en kontravariant funktion mellan dessa kategorier . $A till B$ $S(B)\to S(A)$

Variationer och generaliseringar

Detta teorem är ett specialfall av dualitet kategorierna topologiska utrymmen och delvis ordnade .
- En generalisering av Stones dualitet till kategorin booleska utrymmen (det vill säga nolldimensionella lokalt kompakta Hausdorff-utrymmen) erhölls av G. D. Dimov.

Se även

Länkar

Paul Halmos och Steven Givant (1998) Logic as Algebra . Dolciani matematiska utställningar nr. 21. The Mathematical Association of America .
Johnstone, Peter T. (1982) Stone Spaces . Cambridge University Press. ISBN 0-521-23893-5 .
Marshall H. Stone (1936) " The Theory of Representations of Boolean Algebras " , Transactions of the American Mathematical Society 40 : 37-111.
GD Dimov (2012) Några generaliseringar av stendualitetssatsen . Publ. Matematik. Debrecen 80 : 255–293.
HP Doctor (1964) Kategorierna av booleska gitter, booleska ringar och booleska mellanslag . Kanada. Matematik. Bulletin 7 : 245–252.
Stanley N. Burris och HP Sankappanavar (1981) En kurs i universell algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2 .