Spektralteori är en allmän term inom matematik, som syftar på teorier som utvidgar begreppen egenfunktion och egenvärde från kvadratiska matriser till bredare klasser av linjära operatorer i olika rum. Sådana teorier uppstår naturligtvis i studiet av linjära ekvationssystem och deras generaliseringar. Sådana teorier är nära besläktade med analytiska funktioner, eftersom de spektrala egenskaperna hos en operator är relaterade till de analytiska funktionerna hos den spektrala parametern.
Själva termen "spektral teori" introducerades av David Hilbert i den ursprungliga formuleringen av teorin om Hilbert-utrymmen , som formulerades med hjälp av den kvadratiska formen av ett oändligt antal variabler. Därför formulerades den ursprungliga versionen av spektralsatsen som en förlängning av satsen om reduktionen av en kvadratisk form till huvudaxlarna . Nyare forskning inom kvantmekanik gjorde det möjligt att förklara egenskaperna hos atomens spektrum , vilket var ganska oväntat.
Det finns tre huvudformuleringar av spektralteorin, som var och en har anledning att anses vara användbar. Efter Hilberts ursprungliga formulering har senare forskning om spektralteorin om den normala operatorn i Hilberts rymd skräddarsytts efter fysikens behov, särskilt forskningen som gjorts av von Neumann [1] . Ytterligare utveckling av teorin kan också omfatta Banach algebras . Dessa studier ledde till Gelfands representation, som helt täcker det kommutativa fallet, och senare till icke-kommutativ harmonisk analys.
Skillnaden kan förstås genom att dra en parallell med Fourieranalys. Fouriertransformen på den reella axeln är å ena sidan spektralteorin om differentiering som differentialoperator. Men i praktiken visar det sig att man måste arbeta med en generalisering av egenfunktioner (till exempel genom att använda Hilbert-rumsinramningen). Å andra sidan är det ganska enkelt att konstruera en gruppalgebra som uppfyller Fouriertransformens grundläggande egenskaper, och detta kan göras med Pontryagin-dualitet .
De spektrala egenskaperna hos operatorer på Banach-utrymmen kan också undersökas, till exempel har kompakta operatorer på ett Banach-utrymme spektrala egenskaper som är ganska lika matrisernas.
Svängningarna förklarades exakt med hjälp av spektralteorins metoder,
Spektralteori är nära besläktad med studiet av lokaliserade svängningar av olika föremål, från atomer och molekyler inom kemi till akustiska vågledare. Dessa vibrationer har frekvenser (naturliga vibrationsfrekvenser). Den tillämpade frågan är hur man beräknar dessa frekvenser. Detta är en ganska svår uppgift, eftersom varje kropp inte bara har en grundläggande ton (motsvarande den lägsta frekvensen), utan också många övertoner, vars sekvens är ganska icke-trivial.
Matematisk teori på teknisk nivå är inte bunden till denna typ av fysiska överväganden, även om det finns många exempel på ömsesidig påverkan. För första gången togs termen spektrum i denna mening, tydligen, av Hilbert 1897 från en artikel av Wilhelm Wirtinger om Hills differentialekvation , och sedan togs termen upp av hans elever, inklusive Erhard Schmidt och Hermann Weyl .
Först tjugo år senare, efter Schrödingers formulering av kvantmekaniken, etablerades sambandet mellan operatorns matematiska spektrum och atomens spektrum. Även om, som noterats av Henri Poincaré , ett samband med den matematiska modellen av svängningar misstänktes mycket tidigare, men det avvisades av ganska enkla kvantitativa argument, till exempel oförmågan att förklara Balmers frekvensserie . Namnet på spektralteorin var alltså inte logiskt relaterat till dess förmåga att förklara atomens spektrum , det var bara en slump.