Helt frånkopplat utrymme

Inom topologi och relaterade grenar av matematik är ett totalt frånkopplat utrymme ( ärftligt frånkopplat , dispergerat ) ett topologiskt utrymme som inte har några icke-triviala anslutna delmängder. I vilket topologiskt utrymme som helst är den tomma uppsättningen och enpunktsuppsättningen sammankopplade. I ett helt frånkopplat utrymme är dessa de enda anslutna delmängderna.

Ett viktigt exempel på ett helt frånkopplat utrymme är Cantor-setet . Ett annat exempel som spelar en nyckelroll i algebraisk talteori är p -adic talfältet . ${\mathbb {Q}}_{p}$

Definition

Ett topologiskt utrymme X sägs vara helt frånkopplat om endast enpunktsuppsättningar är anslutna komponenter till X.

Exempel

Diskret utrymme
Uppsättning rationella tal
Många irrationella tal
Uppsättningen av p -adiska tal .
- Mer generellt är de profinita grupperna helt bortkopplade
Kantor set
Baer space (mängdlära)
Direkt Sorgenfrey
Nolldimensionellt Hausdorff-utrymme
Nolldimensionell T 1 -rymd
Extremt frånkopplat Hausdorff-utrymme
Stenutrymme
Knaster-Kuratowski-fläkten är ett exempel på ett uppkopplat utrymme som blir helt frånkopplat när bara en punkt tas bort.

Egenskaper

Underrum , produkter och samprodukter av helt frånkopplade utrymmen är helt frånkopplade.
Helt frånkopplade utrymmen är T 1 - utrymmen om punkterna är stängda .
Under en kontinuerlig mappning är bilden av ett totalt frånkopplat utrymme, generellt sett, inte nödvändigtvis helt frånkopplat.
Ett lokalt kompakt Hausdorff-utrymme är nolldimensionellt om och bara om det är helt frånkopplat.
Varje totalt frånkopplat kompakt metriskt utrymme är homeomorft till en delmängd av en räknebar produkt av diskreta utrymmen .

Konstruktion av ett frånkopplat utrymme

Låt vara ett godtyckligt topologiskt utrymme. Låt om och endast om (där anger den maximala anslutna delmängden som innehåller ). Uppenbarligen är relationen en ekvivalensrelation , därför kan man konstruera motsvarande kvotutrymme . Topologin på induceras naturligt av topologin på , nämligen öppna delmängder är exakt de uppsättningar av ekvivalensklasser vars inversa bild under faktoriseringsmappingen är öppen i Med lite ansträngning kan man visa vad som är ganska osammanhängande. Vi har också följande universella egenskap : om är en kontinuerlig mappning till ett helt frånkopplat utrymme, så är den unikt representerad i formen där mappningen är kontinuerlig och är faktoriseringsmappingen. $X$ $x\sim y$ $y\in {\mathrm {conn}}(x)$ ${\mathrm {conn}}(x)$ $x$ $\sim$ $X/{\sim }.$ $X/{\sim }$ $x,$ $X/{\sim }$ $x.$ $X/{\sim }$ $f:X\högerpil Y$ $f={\breve {f}}\circ m,$ ${\breve {f}}:(X/\sim )\högerpil Y$ $m$

Se även

Länkar

Totalt frånkopplat utrymme - Encyclopedia of Mathematics , ISBN 1402006098 .