Fan av Knaster-Kuratovsky

Knaster-Kuratovsky-fläkten är ett exempel på en sådan ansluten delmängd av planet, borttagningen av en punkt från vilken gör den helt frånkopplad . Föreslagen av de polska matematikerna Knaster och Kuratowski [1] .

Byggnad

Tänk på en rektangel

S=[0;1]\times \left[0;{\tfrac {1}{2}}\right]

Vi konstruerar en Cantor-uppsättning på dess nedre kant och betecknar med uppsättningen punkter Cantor-uppsättningen av det första slaget (d.v.s. ändarna av alla avlägsna intervall) och med alla andra punkter från . Låt detta vara ett linjesegment som förbinder punkt till punkt $C$ $A$ $B$ $C$ $L_c$ $c\in C$ $s=\left({\tfrac {1}{2));{\tfrac {1}{2}}\right).$

I dessa notationer är Knaster-Kuratovsky-fan uppsättningen , där $X=Q\cup I$

{\displaystyle Q=\{(x,y)\in S\mid (x,y)\i L_{c},\;c\in A,\;y\in \mathbb {Q} \))

I=\{(x,y)\in S\mid (x,y)\in L_{c},\;c\in B,\;y\notin \mathbb {Q} \}.

Motivering

Låt oss visa att den introducerade uppsättningen hänger ihop.

Antag att så inte är fallet, det vill säga att det finns uppsättningar och sådant som samtidigt . För visshetens skull kommer vi att anta att . Beteckna som en punkt från , med -koordinat lika med den exakta övre ytan -koordinaterna för alla punkter som ingår i . Om den är tom antar vi att . Uppenbarligen kan den inte tillhöra , för annars skulle denna punkt vara gränsen för både och för , vilket motsäger frånkopplingsantagandet. Det vill säga eller . $Y$ $Z$ $X=Y\cup Z$ ${\overline {Y}}\cap Z=Y\cap {\overline {Z}}=\emptyset$ $s\in Y$ $u_{c}$ $L_c$ $y$ $y$ $Z\cap L_{c}$ $Z\cap L_{c}$ $u_{c}=c$ $u_{c}$ $X\setminus C$ $Y$ $Z$ $\forall c\in C\quad u_{c}\in A\subset X$ $u_{c}\notin X$

Låt vara alla rationella tal i intervallet , beteckna: $\{r_{i}\}$ $[0; ett]$

P_{i}=\{c\in B:\exists u_{c}=(x,r_{i})\},\quad P=\cup P_{i},\quad T=\{ c\in B:\;c=u_{c}\}

Då vill säga . Observera att det inte finns någonstans tätt i , annars skulle det finnas ett öppet intervall vars skärningspunkt med skulle ligga i , men varje sådan skärningspunkt, av egenskaperna för Cantor-uppsättningen, måste innehålla punkter från medan . $B=T\cup P$ $C=A\cup T\cup P$ $Pi}$ $C$ $C$ $Pi}$ $A$ $P_{i}\subset B=C\setminus A$

Uppsättningen är en uppsättning av den andra kategorin som ett komplett metriskt utrymme; dessutom är alla öppna undergrupper också av den andra kategorin. Men den första kategorin ( räkningsbart, och är en räknebar förening av ingenstans täta mängder), vilket innebär att alla öppna undergrupper måste innehålla poäng från ; dvs tätt i . $C$ $C$ $P\cup A$ $A$ $P$ $C$ $T$ $T$ $C$

Låt oss nu anta det . På grund av densiteten i innehåller alla öppna uppsättningar som innehåller också ett segment av segmentet för vissa . Genom definitionen av en mängd har vi , vilket betyder att . Vi har en motsägelse. Detta innebär att antagandet att apparaten inte är ansluten är felaktigt. $z\in Z$ $T$ $C$ $z$ ${\displaystyle L_{t))$ $t\i T$ $T$ $(X\cap L_{t})\setminus \{t\}\subset Y$ $z\in {\overline {Y}}$ $X$

Det återstår att visa att om man tar bort spetsen blir den helt frånkopplad. Låt oss anta att det är anslutet. Då måste den ligga helt innanför något segment (annars skulle det delas i två av något segment). Dock är uppsättningen helt frånkopplad och därför helt bortkopplad. $s$ $X$ $V\subset X\setminus \{s\}$ $L_c$ $L_{c}\cap (X\setminus \{s\})$ $V$

Anteckningar

↑ Knaster B., Kuratowski C. . Sur les ensembles connexes, Fund. Math 2 (1921) s. 206-255.

Litteratur

Aleksandrov P.S., Pasynkov B.A. Introduktion till dimensionsteori. Introduktion till teorin om topologiska rum och den allmänna dimensionsteorin.
Steen, Seebach. Motexempel i topologi