Aritmetikens historia

Aritmetikens historia omfattar perioden från uppkomsten av räkning till den formella definitionen av tal och aritmetiska operationer på dem med hjälp av ett system av axiom . Aritmetik  - vetenskapen om siffror , deras egenskaper och samband - är en av de viktigaste matematiska vetenskaperna. Det är nära besläktat med algebra och talteori .

Anledningen till aritmetikens uppkomst var det praktiska behovet av räkning, enkla mätningar och beräkningar . Den första tillförlitliga informationen om aritmetisk kunskap hittades i de historiska monumenten i Babylon och det antika Egypten , som går tillbaka till III-II årtusendet f.Kr. e. Ett stort bidrag till utvecklingen av aritmetiken gjordes av grekiska matematiker , i synnerhet pytagoreerna , som försökte bestämma alla lagar i världen med hjälp av siffror. Under medeltiden var de huvudsakliga tillämpningsområdena för aritmetik handel och ungefärliga beräkningar . Aritmetiken utvecklades främst i Indien och islamiska länder och kom först därefter till Västeuropa. På 1600-talet ställde nautisk astronomi , mekanik och mer komplexa kommersiella beräkningar nya krav på aritmetik för beräkningsteknik och gav impulser till vidareutveckling.

Den teoretiska underbyggnaden av föreställningen om ett tal hänger i första hand samman med definitionen av ett naturligt tal och Peanos axiom , formulerade 1889 . De följdes av rigorösa definitioner av rationella , reella , negativa och komplexa tal. Ytterligare expansion av talbegreppet är endast möjlig om en av aritmetikens lagar överges.

Framväxten av aritmetik

Om i två uppsättningar (uppsättningar av objekt) varje element i en uppsättning har ett unikt par i den andra uppsättningen, då är dessa uppsättningar ekvivalenta [2] . En sådan faktisk jämförelse, när objekt lades ut i två rader, användes av primitiva stammar i utbytet [3] , den gör det möjligt att fastställa kvantitativa samband mellan grupper av objekt och kräver inte begreppet antal [4] .

Senare dök naturliga räknestandarder upp , till exempel fingrar, och sedan standarduppsättningar, som händer. Med tillkomsten av standarder, som symboliserar specifika siffror, associeras framväxten av begreppet nummer. Samtidigt jämfördes antalet föremål med månen på himlen, antalet ögon, antalet fingrar på handen. Senare ersattes många standarder av en av de mest bekväma, vanligtvis fingrar och/eller tår [3] .

Nästa steg var uppkomsten av det allmänna begreppet ett naturligt tal , separerat från specifika objekt. Det naturliga talet uppstod som en idealisering av en ändlig uppsättning homogena, stabila och odelbara föremål (människor, får, dagar, etc.) [5] ; följaktligen återspeglade operationer med siffror ursprungligen verkliga operationer med sådana mängder (förening, division, etc.). För det proto-indoeuropeiska språket , som använde decimaltalsystemet, har namnen på siffror upp till hundra inklusive redan rekonstruerats [6] . Lebesgue anmärkte om detta: " Det är möjligt att om människor hade elva fingrar, skulle ett elvasiffrigt nummersystem antas " [3] .

För att registrera resultatet av räkningen användes skåror på ett träd eller ben, knutar på repen var konstgjorda räknestandarder [3] [7] [8] . Radiebenet av en ung varg med 55 skåror hittades 1937 nära byn Dolny Vestonice ( Tjeckien ). Fyndets ålder är cirka 5 tusen år (enligt andra källor cirka 30 tusen år [1] ), länge var det den äldsta kända registreringen av antalet [7] . B. A. Frolov , en specialist på paleolitikum från Novosibirsk , ser i grafiken av övre paleolitiska ornament , med utgångspunkt från monumenten från Dolni-Vestonitsa, många bevis på att människor i denna era tydligt skiljde vissa kvantiteter av identiska element och särskilt ofta betonade vissa kvantiteter: 5 eller 7 objekt, såväl som multiplar av dem (särskilt 10 och 14) [9] .

Vid namngivning av nummer användes antingen oupplösliga namn (sådana nummer kallas nodal ), eller sammansatta av nodalnamn - algoritmisk [10] . I det här fallet är kombinationen av algoritmiska tal baserad på aritmetiska operationer utförda på nodnummer [11] .

Numrering, såväl som namnen på nummer, bygger på en av tre principer [7] :

Utöver de som nämnts ovan nämner ett antal källor även principen baserad på division [12] [13] .

Forntida matematiska texter och talsystem

Forntida Egypten

Den grundläggande informationen om egyptisk matematik är baserad på papyrusen Ahmes , som är en sammanfattning av den egyptiske skriftlärden Ahmes (XVIII-XVII århundraden f.Kr.), samt Moskva-papyrusen . Båda papyrierna är från Mellanriket . Information om de matematiska texterna i Nya kungariket , såväl som de tidiga och gamla kungadömena , har inte bevarats [14] . De matematiska papyrierna från det antika Egypten sammanställdes för utbildningsändamål [14] , de innehåller problem med lösningar, hjälptabeller och regler för operationer på heltal och bråk , det finns aritmetiska och geometriska progressioner , samt ekvationer [8] [15] .

Egyptierna använde decimaltalsystemet [16] . Den hieroglyfiska numreringen var additiv med speciella tecken för och så vidare upp till tio miljoner, medan det i hieratisk skrift fanns tecken för siffror från ett till nio, för tiotals, hundratals och tusentals, samt speciella tecken för bråkdelar av formen , eller alikvotfraktioner [17] .

Egyptiska matematiska texter ägnade särskild uppmärksamhet åt beräkningar och de svårigheter som härrör från detta, på vilka metoderna för att lösa problem till stor del beror på. Egyptierna använde aritmetiska operationer som addition, dubblering och ens komplement. Varje multiplikation med ett heltal och varje division utan en återstod utfördes med hjälp av multipla upprepningar av dubbleringsoperationen, vilket ledde till besvärliga beräkningar som involverade vissa medlemmar av sekvensen [18] . I Egypten användes endast alikvotfraktioner, och alla andra fraktioner sönderdelades i summan av alikvoter. Ahmes-papyrusen innehåller tabeller över sådana expansioner för bråkdelar av formen , andra beräkningar med bråk gjordes med hjälp av dubbleringsoperationen [19] . När man bestämde arean av en kvadrat , volymen av en kub , eller hittade sidan av en kvadrat efter dess area, ställdes egyptierna inför att höja sig till en makt och extrahera en rot , även om namnen på dessa operationer inte var ännu [18] .

Babylon

Babyloniska matematiska kilskriftstexter använde det sexagesimala talsystemet , karakteristiskt för sumererna [20] , och var läromedel som inkluderade multiplikationstabeller för tal från till , såväl som tabeller med reciprokala , kvadrattabeller och kuber av naturliga tal , tabeller för beräkningar procentsatser , fraktioner med bas [8] [16] . Mer än trehundra tabletter med texter av matematiska problem och numeriska tabeller är kända [21] . Babylon kännetecknas av den utbredda användningen av tabeller [22] [23] .

Sekventiell positionsnumrering visas först i Babylon . De första femtionio siffrorna skrevs med upprepning av enheters tecken och tiotal det erforderliga antalet gånger. På liknande sätt skrevs multiplar av sextio till vänster om den första uppsättningen. Senare utvidgades detta arrangemang till alla nummer av formen och . Dessutom introducerade babylonierna ett tecken som anger noll när de skrev siffran [24] [23] .

Addition och subtraktion i Babylon liknade dessa operationer i decimalpositionssystemet, med skillnaden att övergången till nästa siffra var nödvändig både för systemets bas och för enheter och tiotal. På grund av den stora grunden använde babylonierna inte en enda multiplikationstabell till , som skulle innehålla ett stort antal element, utan en mängd olika tabeller med produkter av siffror från till till tal , även kallade "huvudstad". Babylonierna hade ingen divisionsoperation, så mycket uppmärksamhet ägnades åt att sammanställa en tabell med reciproka, det vill säga tal som bildas när de divideras med . När det gäller division som ger en oändlig bråkdel skrevs det först att det inte fanns någon reciprok, och senare gavs ett ungefärligt värde [22] .

När babylonierna löste aritmetiska problem förlitade sig de på proportioner och progressioner. De kände till formeln för summan av medlemmarna i en aritmetisk progression, reglerna för att summera en geometrisk progression och löste problem för procentsatser [25] . I Babylon kände de till många Pythagoras trippel , för sökandet som de förmodligen använde en okänd allmän teknik för. I allmänhet hör problemet med att hitta heltals och rationella lösningar till en ekvation till talteorin [26] . Geometriska problem ledde till behovet av ungefärlig extraktion av kvadratrötter , vilket de utförde med hjälp av regeln och iterativa metoder för att ytterligare approximera resultatet [com. 1] [27] .

Antikens Grekland

Ursprungligen använde grekerna attisk numerering , som använde tecken för siffror [28] . Detta system beskrevs av grammatikern och historikern Herodian på 200-talet e.Kr. e. Med hjälp av vindsnumrering registrerades resultaten av beräkningar på räknebrädan för abacus . Med tiden ersattes den attiska numreringen av en kompakt bokstav, eller jonisk [29] . Jonisk numrering använde 24 bokstäver i det grekiska alfabetet och tre föråldrade bokstäver för att beteckna enheter från till , tiotals från till , och hundratals från till (föråldrade bokstäver användes för att representera siffror [28] ). För att skilja siffror från bokstäver placerades en linje ovanför dem. För att skriva siffran användes samma symbol som för enheten, men med ett streck nere till vänster. Det liknar ett positionssystem, men den slutliga övergången inträffade inte [30] . Man tror att ett sådant system gjorde svåra beräkningar svåra [8] , men 1882 kom den franske matematikhistorikern Paul Tannery till slutsatsen att det grekiska numreringssystemet med rätt tillvägagångssätt inte skiljer sig mycket från decimalnumreringen. system när det gäller beräkningshastighet [31] .

Utvecklingen av antik grekisk aritmetik är förknippad med Pythagoras skola . Pytagoreerna trodde först att förhållandet mellan två segment kan uttryckas genom förhållandet mellan heltal, det vill säga geometri var aritmetiken för rationella tal. Användningen av liknande relationer i harmoni och musik ledde pytagoreerna till slutsatsen att alla världens lagar kan uttryckas med hjälp av siffror, och aritmetik behövs för att kunna formulera samband och bygga en modell av världen [32] . I synnerhet skrev Pythagoras Archytas [33] : "Aritmetik, enligt [min] åsikt, bland andra vetenskaper, utmärker sig mycket av kunskapens perfektion; och geometri [den är mer perfekt, eftersom] den är tydligare än geometri, den tar hänsyn till alla [objekt] ” .

Pytagoreerna ansåg bara positiva heltal och ansåg att ett tal var en samling enheter. Enheterna var odelbara och arrangerade i form av regelbundna geometriska kroppar. Pythagoranerna kännetecknas av definitionen av " lockiga tal " ("triangulära", "fyrkantiga" och andra). Genom att studera talens egenskaper delade de in dem i jämna och udda (som ett tecken på delbarhet med två), primtal och sammansatt . Förmodligen var det pytagoreerna som, genom att bara använda testet av delbarhet med två, kunde bevisa att om  är ett primtal, så  är det ett perfekt tal . Beviset anges i Euklids element ( IX , 36), först på 1700-talet bevisade Euler att det inte finns några andra jämna perfekta tal, och frågan om oändligheten av antalet perfekta tal har ännu inte lösts. Pytagoreerna härledde också en formel och hittade en oändlig uppsättning heltalslösningar av ekvationen , de så kallade Pythagoras trippel [34] (härledningen av den första formeln för att bestämma Pythagoras trippel tillskrivs Platon , som ägnade stor uppmärksamhet åt aritmetik, eller vetenskapen om siffror [35] ).

Det är känt att pytagoreerna hade en lära om rationella siffror , eller kvoter av segment, men den själv har inte bevarats [36] . Samtidigt äger de beviset på inkommensurabiliteten av diagonalen och sidan av enhetsrutan. Denna upptäckt innebar att kvoterna mellan heltal inte räcker för att uttrycka kvoterna för några segment och att det på grundval av detta är omöjligt att bygga en metrisk geometri [37] . Den första läran om irrationalitet tillhör Theaetetus , en student av Sokrates . Han bestämde att för en kvadrat vars area uttrycks av ett heltal som inte är kvadratiskt tal, är sidan inkommensurabel med sidan av enhetskvadraten, med andra ord, han bestämde formens irrationalitet , på samma sätt bestämde han formens irrationalitet för enhetskuben [38] .

Den allmänna teorin om delbarhet dök upp 399 f.Kr. e. och tillhör tydligen också Theaetetus. Euclid tillägnade bok VII och en del av bok IX om början till henne. Teorin bygger på Euklids algoritm för att hitta den största gemensamma delaren av två tal. Konsekvensen av algoritmen är möjligheten att sönderdela vilket tal som helst i primtalsfaktorer, såväl som det unika med en sådan sönderdelning. Lagen om unikhet för nedbrytning i primtalsfaktorer är grunden för heltalsaritmetiken. Euklids algoritm tillåter en att definiera ofullständiga partiella expansioner av ett rationellt tal till en fortsatt bråkdel . Samtidigt uppstod inte begreppet en fortsatt fraktion i antikens Grekland [38] .

Efter Euklid, för rationella tal, till skillnad från heltal, är division alltid möjlig. I Grekland visste de hur man arbetar med bråkdelar av formen , addera och subtrahera dem, vilket leder till en gemensam nämnare, multiplicera och dividera, och även reducera. I teoretiska konstruktioner utgick grekerna från enhetens odelbarhet och talade inte om enhetens bråk, utan om förhållandet mellan heltal. För dessa relationer definierades proportionalitetsbegreppet som delade upp alla relationer i icke-överlappande klasser. I det antika Grekland bestämdes för detta det minsta paret av alla med samma förhållande, eller ett par där talen är coprime, vilket motsvarar begreppet en irreducerbar bråkdel [36] .

Problemen med att konstruera ett ändligt mått och bestämma det verkliga antalet avslöjade en vetenskaplig kris på 500-talet f.Kr. e., från vilken alla filosofiska skolor i det antika Grekland var inblandade . Zeno av Elea lyckades visa alla svårigheter som uppstår för att lösa dessa problem i sina paradoxer, eller aporias [39] . Nya grunder för matematik föreslogs av Eudoxus av Cnidus . Han formulerade ett mer allmänt begrepp än ett tal, begreppet en geometrisk storhet  - till exempel ett segment, area, volym. För homogena kvantiteter bestämde Eudoxus ordningsförhållandet med hjälp av axiom , och introducerade även ett axiom som kallas Arkimedes axiom . Detta tillvägagångssätt gjorde det möjligt att bestämma godtyckliga kvantitetsförhållanden, vilket löste de då kända problemen med inkommensurabilitet. Samtidigt formulerade Eudoxus inte en analog till kontinuitetsakxiomet, varför frågan om jämförbarhet inte förblev helt löst. Eudoxus definierade inte heller aritmetiska operationer för kvantiteter [40] . Newton, Isaac förenade slutligen begreppen antal och magnitud (mer exakt, förhållandet mellan storlek och en enda standard) i " Universal Arithmetic " (1707) [41] . Samtidigt ligger Eudoxus konstruktioner så nära den senare definitionen av det reella talet som Dedekind gav att Lipschitz frågade den senare i ett av sina brev om vad han hade gjort nytt [40] .

Efter erövringarna av Alexander den store flyttades centrum för grekisk vetenskap till Alexandria [42] . Den tidens grundläggande verk är Euklids element , bestående av tretton böcker. Bok V ägnas åt teorin om relationer av Eudoxus, bok VI är ägnad åt sambandet av relationer med driften av multiplikation av segment, eller konstruktionen av parallellogram , böcker VII-IX ägnas åt teorin om heltal och rationella tal, även betraktad som segment, bok X är klassificeringen av irrationaliteter enligt Theaetetus [43] .

I arbetet av Archimedes " Psammit " utvecklades en metod för att uttrycka godtyckligt stora tal. Dess konstruktion gör det möjligt att konstruera nummer av den första ordningen (upp till ), sedan den andra ordningen (från till ) och vidare, medan den kan fortsättas vidare. Arkimedes visar också att antalet sandkorn i en sfär vars diameter är mindre än gånger jordens diameter inte överstiger , med andra ord är ändlig [44] [45] .

I framtiden föll antik grekisk aritmetik, liksom matematik i allmänhet, i förfall [46] . Ny kunskap dyker upp först under I-II århundradena e.Kr. e. [47] På 300-talet började Diophantus byggandet av algebra baserat inte på geometri, utan på aritmetik. Diophantus utökade också den numeriska domänen till negativa tal [48] . Diophantus arbete om lösningen av obestämda ekvationer i rationella tal står i skärningspunkten mellan talteori och algebraisk geometri [49] .

Antikens Rom

Det romerska numreringssystemet var inte väl anpassat för beräkningar. Romerska siffror föregick alfabetets utseende och är inte härledda från bokstäverna. Man tror att siffrorna från 1 till 9 ursprungligen indikerades med motsvarande antal vertikala linjer, och deras genomstrykning betydde tiofaldigt numret (därav talet X). Följaktligen, för att få siffran 100, ströks pinnen över två gånger. Därefter förenklades systemet [50] . För närvarande används det i speciella fall - 1800-talet, Catherine II, VI-kongressen, etc.

Kina

På 200-talet e.Kr. e. "Treatise on the Measuring Pole" (om astronomi) och " Matematik i nio böcker " (en bok för lantmätare, ingenjörer, tjänstemän och köpmän) skapades - de äldsta matematiska skrifterna i Kina som har kommit till oss . Tillsammans med en rad andra böcker skrivna på 300-300-talen bildade de de tio klassiska avhandlingarna, som under lång tid återutgavs utan ändringar [51] . Fram till 1300-talet var kinesisk matematik en uppsättning beräkningsalgoritmer för att lösa på en räknebräda [52] .

Den kinesiska numreringen är baserad på multiplikationsprincipen: siffrorna skrivs uppifrån och ned eller från vänster till höger, med tusentecknet följt av tusentecknet, sedan hundratecknet följt av hundratecknet, tiotalet följt av tio tecken, och i slutet antalet enheter. För att utföra aritmetik användes en räknebräda, en föregångare till suanpan och räknestavar . Positionsnotation användes på räknebrädan. Samtidigt, enligt den kinesiske matematikern från 300-talet Sun Tzu , "bör man i de metoder som används vid vanlig räkning först och främst bekanta sig med siffrorna: enheter är vertikala, tiotal är horisontella; hundratals står, tusentals ljuger; tusentals och tiotals ser likadana ut, tiotusentals och hundratals ser likadana ut .

De aritmetiska operationerna med addition och subtraktion som utfördes på räknebordet krävde inga ytterligare tabeller, men för multiplikation fanns en tabell från till . Operationerna med multiplikation och division utfördes med början från de högsta siffrorna, medan mellanresultat togs bort från tavlan, vilket gjorde verifiering omöjlig. Till en början var multiplikation och division oberoende operationer, men sedan noterade Sun Tzu deras inbördes invers [54] . Nästan samtidigt med heltal uppträdde också bråk, och på 2:a århundradet f.Kr. e. operationer med fraktioner var väl utvecklade. För addition och subtraktion användes produkten av nämnare, multiplikation definierades geometriskt som arean av en rektangel, medan division var associerat med divisionsproblemet, medan antalet deltagare i divisionen kunde vara bråktal. På 500-talet e.Kr. e. Zhang Qiu-jian ersatte division med ett bråk med multiplikation med ett inverterat, medan bråket uppfattades som ett talpar, vilket underlättades av användningen av en räknebräda. Redan på 300-talet e.Kr. e. i Kina uppträder decimalbråk, med hjälp av vilka ett ungefärligt värde av irrationella storheter gavs [55] .

I Kina visste de hur man skulle lösa problem genom att använda regeln om två falska ståndpunkter, som européerna tillskrev indisk vetenskap. Genom att ersätta två olika kvantiteter på vänster sida av ekvationen erhålls två olika värden på höger sida av ekvationen, från vilka man med hjälp av proportionen kunde hitta en lösning för . Kineserna använde alternativet när det finns ett överskott och en brist på höger sida [56] . För att lösa system med linjära ekvationer var det nödvändigt att införa negativa tal. På tavlan särskiljdes de med pinnar av en annan färg och på bokstaven med annat bläck eller ett snedstreck. Dessutom hade negativa tal ett speciellt namn. För dem formulerades reglerna för att utföra operationerna för subtraktion och addition, och subtraktionen bestämdes i första hand. Först användes negativa siffror endast i räkningsprocessen och togs bort från tavlan i slutet av beräkningarna, sedan började kinesiska forskare tolka dem som en skuld eller brist [57] .

Aritmetik under medeltiden

Under medeltiden utvecklades matematiken främst i islamiska länder, Bysans och Indien, och kom först då till Västeuropa. Ett av matematikens huvudområden vid denna tid är kommersiell aritmetik, ungefärliga beräkningar och läror om tal [58] .

Indien

Positionsnummersystemet (tio siffror inklusive noll ) introducerades i Indien . Det gjorde det möjligt att utveckla relativt enkla regler för att utföra aritmetiska operationer [8] . Forskare tror att positionssystemet först dök upp i Indien senast i början av vår tideräkning. Men på grund av det faktum att indianerna använde ömtåliga material för att skriva, har dokumentära monument från denna period inte bevarats. Det ursprungliga dokumentet som använder positionsnumrering anses vara Bakhshali-manuskriptet , som går tillbaka till 1100-talet [59] .

För heltal i Indien användes decimalsystemet. Först var de siffror i Kharoshthi- skriften , som skrevs från höger till vänster, och senare i Brahmi- skriften , som skrevs från vänster till höger. Båda alternativen använde den additiva principen för tal upp till 100 och den multiplikativa en ytterligare. Brahmi använde dock specialtecken för siffrorna 1 till 9. Baserat på detta system utvecklades de moderna Devanagari (eller "gudomliga skriften") siffrorna, som började användas i decimalpositionssystemet. Den första posten av ett nummer där nio siffror används går tillbaka till 595, det fanns ingen noll ännu. För att underlätta beräkningarna föreslog Aryabhata att man skulle skriva siffrorna med sanskrittecken . År 662 skrev den kristna biskopen av Syrien, Severus Sebokht : ”Jag kommer inte att beröra vetenskapen om indianerna ... deras talsystem, som överträffar alla beskrivningar. Jag vill bara säga att man räknar med hjälp av nio tecken” [60] .

De viktigaste aritmetiska operationerna i Indien ansågs addition, subtraktion, multiplikation, division, kvadratur och kub, extrahering av kvadrat- och kubrötter, för vilka regler utvecklades. Beräkningar gjordes på en räknebräda med sand eller damm, eller helt enkelt på marken, och registrerades med en pinne. Mellanliggande beräkningar raderades, vilket ledde till att det var omöjligt att verifiera med den omvända operationen, istället för vilken verifieringen med nio [61] användes . Indianerna kände till fraktioner och visste hur man utför operationer på dem, proportioner, progressioner [62] . Redan från 700-talet e.Kr. e. de använde negativa tal och tolkade dem som skuld, såväl som irrationella tal [63] . De ägnade sig åt summering av numeriska serier, i synnerhet exempel på aritmetiska och geometriska progressioner finns i Veda , och på 1500-talet producerade Narayana Pandit ) mer allmänna summeringar [64] .

Indiska matematiker Aryabhata, Brahmagupta och Bhaskara löste diofantiska formens ekvationer i heltal. Dessutom löste de formekvationer i heltal , vilket var den högsta prestation av indiska matematiker inom talteorin. Därefter väckte denna ekvation och dess speciella fall uppmärksamheten hos Fermat , Euler och Lagrange . Metoden som Lagrange föreslog för att hitta lösningen låg nära den indiska metoden [65] .

Islams länder

Under 900- och 1000-talen var det vetenskapliga islamiska centret Bagdad , där al-Khwarizmi , Khabbash al-Khasib , al-Fargani , Sabit Ibn Qurra , Ibrahim ibn Sinan och al-Battani arbetade . Senare uppstod nya vetenskapliga centra i Bukhara , Khorezm och Kairo , där Ibn Sina , al-Biruni och Abu Kamil al-Misri arbetade , och sedan i Isfahan och Meraga , där Omar Khayyam och Nasir al-Din al-Tusi arbetade . På XV-talet bildades ett nytt vetenskapligt centrum i Samarkand , Giyas ad-Din al-Kashi arbetade i det . De matematiska centra på Afrikas nordvästra kust och den iberiska halvön spelade en stor roll i spridningen av kunskap till Europa [66] .

Araberna hade två typer av numrering: alfabetisk och decimalpositionell. Bokstavsnumreringen, även om den liknar den antika grekiskan, går tillbaka till det antika semitiska alfabetet [67] . I början av 800-talet skrev Muhammad ibn-Musa al-Khwarizmi boken "Om det indiska kontot". Läroboken innehöll lösningar på praktiska problem "av olika slag och slag" och var den första boken som skrevs med hjälp av positionstalssystemet, innan dess användes siffror endast för beräkningar på räknebrädan [68] [67] . På 1100-talet gjorde Adelard (England) och John of Sewel (Spanien) två översättningar av boken till latin [69] . Dess original har inte bevarats, men 1857 publicerades en funnen latinsk översättning under titeln "Alkhoresmi på det indiska numret" [68] . Avhandlingen beskriver utförandet av aritmetiska operationer som addition, subtraktion, dubblering, multiplikation, bifurkation, division och att ta kvadratroten med hjälp av indiska siffror på räknebordet [70] . Multiplikation av bråk, som division, ansågs använda proportioner: multiplicera med var liktydigt med att hitta sådana att . Denna teori låg till grund för arabisk aritmetik. Men det fanns också en annan fraktionskalkyl som representerade vilken fraktion som helst som summan av alikvotfraktioner [71] .

År 952-953 använde Abu-l-Hasan Ahmad al-Uqlidisi , i sin Book of Sections on Indian Arithmetic, decimalbråk när de dividerade udda tal på hälften och några andra beräkningar, men denna bok påverkade inte vidareutvecklingen. I början av 1400-talet hade al-Kashi för avsikt att bygga ett system av bråk där alla operationer utförs som med heltal och som är tillgängligt för dem som inte känner till "astronomernas kalkyl" [71] . År 1427 beskrev al-Kashi systemet med decimalbråk , som blev utbrett i Europa efter Stevins skrifter 1585 [ 8] . Således formulerade al-Kashi de grundläggande reglerna för att hantera decimalbråk, formler för att omvandla dem till sexagesimal och vice versa [71] .

I al-Khwarizmis verk finns metoden att extrahera en kvadratrot, Kushyar ibn Labban var engagerad i att extrahera kubrötter och Omar Khayyam var engagerad i utvecklingen av metoder för att beräkna rötter. Den första beskrivningen av utvinningen av rötter av vilken grad som helst från ett heltal finns i boken at-Tusi "Samling om aritmetik med hjälp av en tavla och damm" (1265). Schemat sammanfaller i huvudsak med Horners schema , som föreslogs på 1800-talet, när bråkdelen av roten är ungefär i formen . Dessutom ger at-Tusi en tabell med binomialkoefficienter i en form som liknar Pascals triangel [72] . Mycket uppmärksamhet i arabländerna ägnades åt irrationella tal och ungefärliga beräkningar. Al-Khwarizmi utförde de enklaste operationerna med radikaler , som verkade vara enklare än de injämförbara segmenten som användes i antikens Grekland. Teorin om proportioner har genomgått en kritisk analys. Speciellt sa Omar Khayyam 1077 i sin avhandling "Kommentarer om svårigheterna med att introducera Euklids bok" att den antika grekiska definitionen inte återspeglar den sanna essensen av proportioner. Khayyam gav en ny definition av proportion, introducerade relationerna "mer" och "mindre", generaliserade begreppet ett positivt reellt tal. Negativa tal var inte populära bland arabiska matematiker [73] .

För att lösa problem använde araberna trippelregeln , som kom från Indien och beskrevs tillsammans med en rad andra tekniker i Al-Birunis "Book of Indian Rashiks", regeln om två falska positioner, som kom från Kina och fick teoretiska motivering i "Boken om regeln om dubbel falsk position" Kusta ibn Lukka [74] .

Framgångarna för islamisk vetenskap i talteorin är mindre betydande. De visste hur man löser ekvationer av första och andra graden i heltal, kände till reglerna för att konstruera Pythagoras trippel, och för första gången konstaterade att ekvationen i allmänhet är olöslig i rationella tal, vilket är ett specialfall av Fermats stora sats . Det givna beviset för detta påstående har inte bevarats [75] .

Bysans

Den första bysantinska kristna matematikern var Anthimius , som levde på 600-talet. Bysantinsk aritmetik var influerad av arbeten från arabiska och antika grekiska matematiker. Michael Psellos , som levde på 1000-talet, äger en uppsats om aritmetik, där han behandlar klassificeringen av tal och relationer, och ger också namnen på graderna, samtidigt som han kallar "den första outsägliga" och  - "den andra inexpressible", vilket antyder att Psellus kände till och använde ett multiplikativt system där exponenter uttrycks av en produkt och inte genom addition, som var fallet tidigare. Maximus Planudus , som levde på 1200-talet, äger kommentarer om "Aritmetiken" av Diophantus, såväl som "Aritmetiken enligt indianernas modell." Under 1400-talet skrev John Pediasim flera arbeten om aritmetik och lyfte fram dess svåra frågor, Nikolai Ravda gav en metod för att beräkna på fingrarna och en ungefärlig metod för att extrahera kvadratrötter, och Isaac Argir kommenterade de första sex böckerna i Euklids " Beginnings" och byggde en tabell för att extrahera kvadratrötter för tal upp till 102 med hjälp av sexagesimala bråk [76] .

Amerika

I Centralamerika användes huvudsakligen bas 20-nummersystemet. Mayaprästerna från Yucatan skapade den på konstgjord väg och använde den för kalenderberäkningar . I den var den andra kategorin ofullständig och nådde bara upp till [77] . Numret [78] användes som en extra bas . Mayakalendern var ett positionssystem, där en gudom med ett visst antal tecken fanns på varje position. När man skrev, avbildades inte gudomen, och en symbol i form av ett öppet skal [79] eller ett öga [80] [81] användes för att beteckna en tom kategori . I Sydamerika användes nodalnumrering, eller quipu [82] , för att skriva siffror .

Aritmetiska beräkningar utfördes med hjälp av yupana , som är en analog till kulramen [83] , men på grund av talsystemets egenheter var aritmetiken, som inte var relaterad till astronomiska beräkningar, dåligt utvecklad [84] .

Västeuropa

Under den tidiga feodalismens tid i Västeuropa gick behovet av vetenskap inte längre än frågor om praktisk aritmetik och geometri. Böckerna innehöll en introduktion till de sju liberala konsterna , inklusive aritmetik. De mest populära var verken av Boethius med anor från 600-talet, som bland annat översatte Nicomachus ' Aritmetik med sina egna sifferexempel till latin och en del av Euklids element utan rigorösa bevis [85] .

Genom Spanien och Sicilien på 900-talet började vetenskapliga band med arabvärlden etableras. Vid den här tiden besökte munken Herbert, som senare blev påve Sylvester II , Katalonien . Han är krediterad för sådana verk som "Boken om uppdelning av siffror" och "Regler för att räkna med kulramen". I båda böckerna skrivs siffror i ord eller romerska siffror [85] . Herbert kallade räknarna på kulramen för "abacister" [86] .

Under 1100- och 1200-talen dök det upp latinska översättningar av arabiska böcker om aritmetik i Europa. De huvudsakliga översättningarna gjordes från arabiska på den iberiska halvöns territorium i Toledo under överinseende av ärkebiskop Raymond I , samt i Barcelona och Segovia . Anhängare av den decimala positionsnumreringen som presenteras i böckerna började kallas "algorister" efter namnet på matematikern al-Khwarizmi i latinsk form [86] . Gradvis tog det nya systemet över [69] [87] . Dess främsta fördel var förenklingen av aritmetiska operationer. Samtidigt användes inte nya nummer i Tyskland, Frankrike och England förrän i slutet av 1400-talet [87] .

Ytterligare översättningar gick till italienaren Leonardo av Pisa (Fibonacci), som levde på 1200-talet. I sitt huvudverk " The Book of the Abacus ", skriven 1202, uttalade han sig som en anhängare av det indiska numreringssystemet och ansåg att abacisternas metoder var en avvikelse från den rätta vägen. Fem kapitel i boken ägnas åt heltalsaritmetik. Fibonacci använde noll som ett reellt tal, testade det med en nio, kände till tecknen på delbarhet med 2, 3, 5, 9, reducerade bråk till en gemensam nämnare med de minsta gemensamma multipla nämnare, angav trippelregeln, reglerna för fem, sju, nio magnituder och andra proportionsregler, löste blandningsproblem, opererade på summering av serier, inklusive en av de ömsesidiga serierna, eller Fibonacci-serien , förklarade metoder för ungefärlig beräkning av kvadrat- och kubrötter. I The Book of the Abacus, tillsammans med bevis, ges olika metoder och problem, som användes flitigt i sena matematikers skrifter [88] .

Thomas Bradwardin , lärare vid Oxford University (tidigt 1300-tal), som senare blev ärkebiskopen av Canterbury , äger boken Theoretical Arithmetic, som är en förkortad version av Boethius Arithmetic. Dessutom använde denna tänkare i sina verk om mekanik det "halva" förhållandet, på grundval av vilket den franska matematikern Nicholas Oresme utvecklade läran om bråkexponenter i sin avhandling "Algorism of Relations", och närmade sig också begreppet en irrationell exponent [89] [90] , som kan slutas mellan ganska nära heltal och bråktal, och genomförde en generalisering av exponentiering till positiva bråkexponenter. Oresmes verk publicerades först på 1800-talet [90] .

År 1484 publicerades manuskriptet av den franske medicine kandidaten , Nicolas Shuquet , "The Science of Numbers in Three Parts", där han i synnerhet jämför produkten av medlemmarna i en aritmetisk progression och summan av medlemmar av en geometrisk progression, förutse logaritmer , föreslår att numret anses vara roten av den första graden från sig själv, och använder också negativa och nollexponenter [91] . År 1487 skrev Pacioli sin "Sammanfattning [av kunskap] i aritmetik, geometri, relationer och proportionalitet". I en bok som publicerades i Venedig 1494, beskrev Pacioli olika metoder för aritmetiska operationer, med hjälp av algebraiska symboler. Pacioli betecknas addition med och subtraktion med . Dessutom använde han uttrycket "mindre än noll" för ett negativt tal och formulerade en regel enligt vilken tecken ändras när tal multipliceras [92] .

I Cardanos verk "Great Art" på 1500-talet introducerades begreppet imaginära storheter, eller sofistiska. Även om Cardano själv ansåg dem värdelösa, användes de av Rafael Bombelli för att lösa kubikekvationer, som också införde regler för att multiplicera imaginära och reella tal [93] . Under samma århundrade blev decimalbråken utbredda i Europa. De förekommer i verk av François Vieta , Immanuel Bonfils , Simon Stevin . År 1585, i boken "Tionde", agiterade den senare för den utbredda användningen av decimalbråk. Samma år [94] gav han i verket "Aritmetik" en i grunden ny definition av det irrationella talet som "med hjälp av vilken mängden av någon sak uttrycks". Stevin ansåg att irrationella och delvis negativa tal var lika reella som bråk, och han ansåg också att ett var delbart [95] .

Stiefel introducerar i sin "Complete Arithmetic" en definition och algoritm för att dividera ett förhållande med ett förhållande [96] , han ger också en geometrisk tolkning av negativa tal ("lägre än ingenting") och drar en analogi mellan införandet av negativa och irrationella nummer [97] . År 1569 skrev den franske professorn Peter Ramus , som enligt kungligt dekret förbjöds att kritisera Aristoteles, A Course in Mathematics in Thirty-One Books, där han försökte ge matematiken en ny motivering baserad inte på geometri, utan på aritmetik [98 ] .

Modern aritmetik

På 1600-talet ställde nautisk astronomi , mekanik och mer komplexa kommersiella beräkningar nya krav på aritmetik för beräkningsteknik och gav impulser till vidareutveckling.

Decimalräkning och förlängning av talbegreppet

Talbegreppet har genomgått en betydande förändring. Om tidigare, för det mesta, endast positiva rationella tal tillskrevs siffrornas område, sedan 1500-talet erkändes irrationella och negativa tal alltmer. I " Geometry " av Descartes 1637 etableras ett samband mellan aritmetiska och geometriska konstruktioner, och numeriska storheter, i motsats till Euklid, är faktiskt berövade dimensionen och separerade från geometrin. Förhållandet mellan varje kvantitet och en enda standard är i detta fall ekvivalenten med ett reellt tal, medan resonemanget förblev sant för både proportionerliga och inkommensurabla segment, den senare kallade Descartes själv "döva tal" ( nombres sourds ). Newton delar i sina föreläsningar också in siffror i tre typer: heltal (mätt med en enhet), bråktal (flera bråkdelar av en enhet) och irrationell (ojämförbar med en enhet). Sedan 1710 har en sådan definition av tal funnits fast i alla läroböcker [99] .

Periodiska bråk uppträdde i verket "Decimal Account" ( Logistica decimalis ) av J. G. Beyer 1603. Wallis fortsatte att arbeta på dem i sin avhandling om algebra 1685, där han fastställde att för en irreducible bråkdel , antalet period siffror är mindre än eller lika med . Wallis visade dessutom ändligheten av ett bråk med en nämnare av formen , han visste också att det var omöjligt att uttrycka irrationella tal med periodiska bråk [100] .

I början av 1600-talet uppfann Napier logaritmer . Användningen av logaritmer och decimalbråk, inkluderingen i aritmetiken av begreppet ett irrationellt tal som en sekvens av rationella approximationer utökade aritmetikens omfattning i slutet av 1600-talet och bestämde vetenskapens grundläggande betydelse för studiet av kontinuerliga kvantiteter [8] .

På 1700-talet fortsatte arbetet med decimalbråk, särskilt med oändliga och periodiska decimalbråk. Det faktum att varje periodisk bråkdel är ett rationellt tal, och även att varje irreducerbar bråkdel som innehåller andra primtalare än två och fem i nämnaren, sönderdelas till en periodisk, bevisades av Lambert i mitten av 1700-talet . I Aritmetiska undersökningar av Gauss introduceras djupare egenskaper hos periodiska fraktioner med hjälp av teorin om kraftrester. Men i den tidens läroböcker nämns decimalbråk i förbigående eller inte alls. Fortsatta bråk studerades av Euler , som först introducerade tekniker för att omvandla oändliga fortsatta bråk till oändliga serier, och sedan ägnade ett helt kapitel åt dem i den första volymen av hans "Introduktion till analysen av oändligt" 1748. Euler äger beviset för att vilket rationellt tal som helst kan representeras som ett ändligt fortsatt bråktal, och även att ett periodiskt fortsatt bråk med enheter i täljarna är roten till en andragradsekvation. Det omvända bevisades av Lagrange 1768 [100] . Under 1800-talet antar Euler och hans elever aritmetik moderna former [8] .

Girard och Descartes tolkade geometriskt negativa tal som motsatt riktade segment. Trots att Descartes redan ansåg negativa rötter av ekvationer, tillsammans med positiva, reella rötter (i motsats till imaginära), förblev vissa egenskaper hos negativa tal oklara under lång tid [101] . Den 1 september 1742 uppgav Euler, i ett brev till Nicholas I Bernoulli, först att rötterna till alla algebraiska ekvationer har formen . År 1747, i Reflections on the Common Cause of the Winds, visade d'Alembert att . I Studies on Imaginary Roots definierar Euler ändå ett imaginärt tal som ett som "varken är större än noll, inte mindre än noll eller lika med noll", utan "något omöjligt". Samtidigt bevisar han satsen att varje imaginärt tal bildas av summan av ett reellt tal och produkten av ett reellt tal med . Problemet löstes för enskilda funktioner, operationsomfånget för imaginära siffror beskrevs inte. Dessutom fanns det problem med den geometriska tolkningen av imaginära tal [102] . Det första försöket gjordes av Wallis, som ansåg att de imaginära talen var segment vinkelräta mot de reella [101] , sedan fanns det verk av Heinrich Kuhn 1753, där han ansåg att sidan av en kvadrat med negativ area var det tänkta talet [102] . Wessel och Argan lyckades utveckla definitionen av Wallis först i början av 1700-1800-talet [101] .

Skapande och utveckling av talteori

På 30-talet av 1600-talet pekade Fermat ut talteorin som ett separat område för aritmetik, enligt hans åsikt, endast något påverkat av Euklid och, möjligen, Diophantus. Fermat var engagerad i lösningen av diofantiska ekvationer och delbarheten av heltal. Han formulerade ett antal påståenden utan bevis, i synnerhet Fermats små [103] och stora satser [104] . Fermat skrev inget speciellt arbete om talteori, hans förslag bevarades endast i korrespondens, samt i form av kommentarer till Diophantus' Aritmetik [105] .

Endast 70 år senare lockade Fermats arbete uppmärksamheten av Euler , som hade studerat talteori i flera decennier [105] . Fyra och en halv volym av Eulers 30-volyms matematiska serie [106] ägnas åt det . Euler var engagerad i en generalisering av Fermats lilla teorem , samt ett bevis på Fermats stora teorem för fallet . Euler var den första som tillämpade apparaten i andra grenar av matematiken, främst kalkyl, på problem inom talteorin . Han formulerade metoden för att generera funktioner , Euler-identiteten , samt problem relaterade till tillägg av primtal [107] .

Man tror att det var efter Eulers verk som talteorin blev en separat vetenskap [108] .

Problem med att underbygga aritmetik

Processen med kritisk översyn av matematikens grunder, som skedde på 1800-talet, är kopplad till Lobatsjovskijs arbete med geometri . Redan på 1700-talet började man försöka ge teoretiska motiveringar för föreställningar om antal. Till en början gällde detta endast aritmetiken av naturliga tal, för vilka olika axiom och definitioner tillämpades, ofta överflödiga och otillräckliga på samma gång, till stor del lånade från Euklids element . Samma sak var fallet med aritmetikens grundläggande lagar: de kommutativa och associativa lagarna för multiplikation och addition nämndes ganska ofta, den distributiva lagen för addition för multiplikation mer sällan och alla fem lagarna mycket sällan. Leibniz var den första som satte uppgiften att deduktivt konstruera aritmetik och visade i synnerhet behovet av att bevisa likheten "två plus två är lika med fyra" i hans Nya experiment på mänskligt sinne 1705. Wolf 1770, Schultz 1790, Ohm 1822, Grassmann 1861 och slutligen Peano 1889 [109] presenterade sina axiom i ett försök att lösa denna fråga .

Komplexiteten i att lyfta fram de viktigaste bestämmelserna i aritmetiken är förknippad med enkelheten i dess ursprungliga bestämmelser. Det var först i mitten av 1800-talet som Grassmann valde ett system av grundläggande axiom som styr addition och multiplikation. Systemet gjorde det möjligt att härleda de återstående bestämmelserna i aritmetiken som en logisk konsekvens från axiomen. Baserat på axiomen bevisades de kommutativa , associativa och distributiva lagarna för addition och multiplikation, begreppet bråk som ett par heltal med vissa lagar för jämförelse och handling introducerades. Grassmanns arbete fortsattes av Peano [8] . Det fanns ytterligare försök att närma sig en fullständig teoretisk motivering för aritmetiken av naturliga tal, i synnerhet Hilberts arbete , tills Gödel bevisade ofullständighetsteoremet 1932 [109] .

På liknande sätt gjordes försök att ge en teoretisk motivering för rationella bråk, för vilka två begrepp skiljdes åt: lika bråkdelar av en eller förhållandet mellan två homogena kvantiteter [109] . För rationella bråk, var det nödvändigt att bevisa riktigheten av likheterna och (  är ett naturligt tal), som användes i tillägg, subtraktion och reduktion av bråk. Jämlikhet var trivialt i relationsteorin, men inte alls självklart i ett begrepp oberoende av det. Emellertid ansågs han helt enkelt sann [110] . Aritmetiken av fraktioner underbyggdes av J. Tannery 1894, i hans modell representerades fraktioner av par av heltal [102] .

År 1758, i The First Foundations of Arithmetic, Geometry, Plane and Spherical Trigonometry, and Perspective, argumenterade Kestner för rättfärdigandet av alla aritmetiska begrepp i termer av hela talet. Sålunda definierade han, i ordning i boken, naturliga tal, bråktal, negativa tal, decimaler, irrationella tal och först då relationsteorin. Operationer på irrationella tal började undersökas utifrån deras approximationer med rationella bråk. Samtidigt antogs förekomsten av irrationella tal i förväg, och de behandlades själva som gränserna för en sekvens av rationella tal. För irrationella tal användes Newtons definition som ett förhållande mellan inkommensurabla kvantiteter (en liknande definition gavs av Euler). P. A. Rakhmanov tolkade irrationella tal på ett liknande sätt i "Nya teorin om innehåll och proportioner av geometriskt jämförbara och inkommensurbara kvantiteter, och i det senare fallet baserat på teorin om gränser." Det var först under andra hälften av 1800-talet som rigorösa teorier om det verkliga numret dök upp , formulerade av Meray , Cantor , Dedekind och Weierstrass [110] .

Vid bildandet av teorin om negativa tal var huvudproblemet påståendet att ett negativt tal är mindre än noll, det vill säga mindre än ingenting. Det fanns ingen strikt definition av negativa tal, medan det gjordes försök att formulera reglerna för tecken ("minus gånger plus ger minus" och "minus gånger minus ger plus"). Den franske matematikern Carnot skrev 1813: ” Teckenregelns metafysik avslöjar, när den studeras djupare, kanske större svårigheter än metafysiken om oändligt små kvantiteter; denna regel har aldrig bevisats på ett helt tillfredsställande sätt, och uppenbarligen kan den inte ens bevisas tillräckligt tillfredsställande .” De första försöken att formulera teorin om negativa tal gjordes i mitten av 1800-talet och tillhör Hamilton och Grassmann [111] .

En fullständig geometrisk tolkning av komplexa tal föreslogs av Caspar Wessel i "An Essay on the Analytic Representation of Direction and its Applications, Principally to the Solution of Plane and Spherical Polygons" 1799. Wessel ville arbeta med riktade segment i planet med hjälp av algebraiska operationer, men för reella tal tillät de bara att ändra riktningen till motsatt, och inte att sätta en godtycklig riktning. Wessel använde de grundläggande enheterna , , , och, med hjälp av multiplikationsreglerna, drog slutsatsen att . Wessels arbete gick obemärkt förbi i cirka 100 år. Under denna tid introducerade Jean Robert Argand 1813–14, Scheiss 1831 i The Theory of Biquadratic Residues och Hamilton 1832, som byggde en aritmetisk teori genom att betrakta komplexa tal som par av reella tal, sin tolkning av imaginära tal [102 ] .

Wessel försökte generalisera teorin till tredimensionell rymd, men han lyckades inte. Frågan förblev öppen tills Hamilton konstruerade teorin om kvaternioner , vars multiplikation inte håller den kommutativa lagen. Samtidigt visade studierna av Weierstrass, Frobenius och Pierce att någon av aritmetikens lagar skulle behöva överges för en utvidgning av talbegreppet bortom gränserna för komplexa tal [102] .

Aritmetikens historia i Ryssland

I Ryssland användes en analog av antik grekisk numrering med kyrilliska eller glagolitiska bokstäver . Samtidigt, till skillnad från många folk som gav numeriska värden till nya bokstäver, fortsatte de i Ryssland, med få undantag, att använda bokstäverna i det grekiska alfabetet eller liknande. Siffrorna skrevs i samma ordning som de uttalades, det vill säga i siffran 15, först fanns det ett tecken för fem, och sedan för tio, medan i siffran 25 - först för 2 och sedan för 5. Kyrilliska numrering var mest utbredd [112] . Aritmetik i Ryssland kallades penselvisdom , eller "Black Book" , varifrån den svarta boken kom . Böcker om aritmetik var det få som kunde läsa och förstå, eftersom de innehöll räkneregler och beräkningar och var sammansatta av oklara tecken [31] .

Matematiska problem från den juridiska samlingen " Rysk sanning " går tillbaka till 1000-talet - det första matematiska dokumentet från det antika Ryssland som har kommit till oss, som innehåller problem om boskaps avkomma, mängden spannmål och hö som samlats in från ett visst område . Den fortsatta utvecklingen av vetenskapen stoppades av den mongoliska-tatariska invasionen [113] . I slutet av 1500-talet kom "Boken, en rekommendation på grekiska för aritmetik, på tyska för algoritm och på ryska för numerisk räknevisdom", som enligt Karamzin var den första ryska aritmetiken [114] .

Man tror att arabiska siffror infördes i Ryssland efter Peter I :s första utlandsresa [115] , när han 1698 tog med sig sjöofficerare från London . En av officerarna var Fergarson, som tros ha infört arabiska siffror i Ryssland [114] . Men i själva verket kom de till Ryssland långt innan Peter, 1647 i Moskva , genom dekret av tsar Alexei Mikhailovich , trycktes en rysk militärstadga, där arabiska siffror användes. Böcker tryckta på ryska utanför Ryssland innehöll arabiska siffror från början av 1500-talet. Samtidigt användes slavisk numrering i texten, och arabisk numrering användes för beräkningar [116] .

År 1682 publicerades den första boken med matematiskt innehåll, "Bekväm räkning, som varje person som köper eller säljer mycket bekvämt kan hitta, antalet alla möjliga saker," som innehöll multiplikationstabeller upp till 100 och använde slaviska numrering. Den andra upplagan av denna bok, utgiven 1714 i St. Petersburg , trycktes med civila typer och arabiska siffror. 1699 publicerades boken "En kort och användbar guide till aritmetik, eller till undervisning och kunskap om vilket som helst konto i kombination av alla saker" i Amsterdam - den första aritmetiska läroboken på ryska. Boken sammanställdes av Ilya Fedorovich Kopievich (eller Kopievsky) på order av köpmännen i Archangelsk . Hon nöjde inte kunderna och fick ingen distribution [116] .

I Ryssland publicerades den första aritmetiska läroboken av Leonty Magnitsky 1703 [115] . I Magnitskys "Aritmetik", efter resten av Europa, används räkning enligt antalet fingrar på händerna: siffror från 1 till 9 kallas "fingrar", noll - "ingenting", tiotal - "kompositioner" och resten av numren - "kompositioner" [kom . 2] [117] .

Anteckningar

Kommentarer
  1. ↑ Låt det vara nödvändigt att hitta roten till ,  - den första approximationen med en nackdel,  - approximationen med ett överskott. Den andra approximationen bildas av den aritmetiska medelformeln , och motsvarar den , och så vidare) [27] .
  2. ↑ Herbert (940-1003) använder "digiti", "articuli", "compositi". Leonardo av Pisa (början av 1200-talet) har "förenar", "deceni", "decennier". Renässansens författare  - "monadici", "decennier" [117] .
Källor
  1. ↑ 1 2 Boyer & Merzbach, 2010 , Koncept och relationer.
  2. ↑ MacDuffee , C.C. Arithmetic  . Encyclopædia Britannica. Hämtad 20 mars 2012. Arkiverad från originalet 27 maj 2012.
  3. ↑ 1 2 3 4 History of Mathematics, vol. I, 1970 , s. 9-12.
  4. ↑ Depman, 1965 , sid. 18-20.
  5. ↑ Mach E. Kognition och vanföreställning // Albert Einstein och gravitationsteorin. - M . : Mir, 1979. - S. 74 (fotnot). — 592 sid. : "innan begreppet antal uppstår måste det finnas en upplevelse av att i en viss mening objekt av lika värde existerar multipla och oföränderliga ."
  6. ↑ Mallory, JP Encyclopedia of Indo-European Culture / JP Mallory, QA Douglas. - L.  : Fitzroy Dearborn Publishers, 1997. - P. 398. - ISBN 9781884964985 .
  7. ↑ 1 2 3 History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 12-13.
  8. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Arnold, 1970 .
  9. ↑ Frolov, B. A. Siffror i den paleolitiska grafiken. - Novosibirsk: Nauka, 1974. - S. 93-94.
  10. ↑ Arithmetic, 1951 , sid. 12-13.
  11. ↑ Arithmetic, 1951 , sid. 24.
  12. ↑ Belyustin, 1909 , kapitel 4: Olika nummersystem .
  13. ↑ Menninger, 2011 , sid. 100.
  14. ↑ 1 2 History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 19-20.
  15. ↑ Scott, 1958 , sid. åtta.
  16. ↑ 1 2 Depman, 1965 , sid. 49-52.
  17. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 21.
  18. ↑ 1 2 History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 23-24.
  19. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 25.
  20. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 34.
  21. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 35.
  22. ↑ 1 2 History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 37-39.
  23. ↑ 1 2 Scott, 1958 , sid. tio.
  24. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 36.
  25. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 40.
  26. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. femtio.
  27. ↑ 1 2 History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 46-47.
  28. ↑ 12 Scott , 1958 , s. 40-41.
  29. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 62.
  30. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 64.
  31. ↑ 1 2 Depman, 1965 , sid. 53-54.
  32. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 67.
  33. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 68.
  34. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 68-69.
  35. ↑ Scott, 1958 , sid. tjugo.
  36. ↑ 1 2 History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 70-72.
  37. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 73.
  38. ↑ 1 2 History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 74-76.
  39. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 88-89.
  40. ↑ 1 2 History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 94-98.
  41. ↑ History of mathematics, volym II, 1970 , sid. 33-35.
  42. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 106.
  43. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 111-114.
  44. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 128.
  45. ↑ Vygodsky, 1967 , sid. 265.
  46. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 139.
  47. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 143.
  48. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 144-146.
  49. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 146-148.
  50. ↑ Depman, 1965 , sid. 57-58.
  51. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 156-157.
  52. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 178.
  53. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 157-160.
  54. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 160-161.
  55. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 162-163.
  56. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 163-164.
  57. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 167-169.
  58. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 154.
  59. ↑ Depman, 1965 , sid. 62-68.
  60. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 181-183.
  61. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 183-185.
  62. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 185.
  63. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 190-191.
  64. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 201.
  65. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 194-195.
  66. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 205-209.
  67. ↑ 1 2 History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 209-210.
  68. ↑ 1 2 Depman, 1965 , sid. 72-78.
  69. ↑ 1 2 Depman, 1965 , sid. 90-94.
  70. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 211-212.
  71. ↑ 1 2 3 History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 212-214.
  72. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 214-216.
  73. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 216-218.
  74. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 218-219.
  75. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 227-229.
  76. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 249-250.
  77. ↑ Menninger, 2011 , sid. 80-81.
  78. ↑ Menninger, 2011 , sid. 83-84.
  79. ↑ Ifrah, 2000 , sid. 310.
  80. ↑ Boyer & Merzbach, 2010 , Tidiga nummerbaser.
  81. ↑ Depman, 1965 , sid. 61.
  82. ↑ Depman, 1965 , sid. 59.
  83. ↑ Ifrah, 2000 , sid. 308.
  84. ↑ Ifrah, 2000 , sid. 322.
  85. ↑ 1 2 History of Mathematics, vol. I, 1970 , sid. 254-256.
  86. ↑ 1 2 History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 256-257.
  87. ↑ 1 2 Arithmetika, 1951 , sid. 50-57.
  88. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 261-265.
  89. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 270-271.
  90. ↑ 1 2 History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 275-277.
  91. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 289-290.
  92. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 286-287.
  93. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 296-297.
  94. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 301-303.
  95. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 304-306.
  96. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 306-307.
  97. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 316.
  98. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 307.
  99. ↑ History of mathematics, volym II, 1970 , sid. 34-36.
  100. ↑ 1 2 History of Mathematics, vol. III, 1972 , sid. 45-47.
  101. ↑ 1 2 3 Mathematikens historia, volym II, 1970 , sid. 36-39.
  102. ↑ 1 2 3 4 5 History of mathematics, vol. III, 1972 , sid. 61-66.
  103. ↑ History of mathematics, volym II, 1970 , sid. 74.
  104. ↑ History of mathematics, volym II, 1970 , sid. 78.
  105. ↑ 1 2 History of Mathematics, volym II, 1970 , sid. 73-74.
  106. ↑ History of mathematics, volym III, 1972 , sid. 37-38.
  107. ↑ Talteori / A. A. Karatsuba // Chagan - Aix-les-Bains. - M .  : Soviet Encyclopedia, 1978. - ( Great Soviet Encyclopedia  : [i 30 volymer]  / chefredaktör A. M. Prokhorov  ; 1969-1978, vol. 29).
  108. ↑ History of mathematics, volym II, 1970 , sid. 17.
  109. ↑ 1 2 3 Matematikens historia, volym III, 1972 , sid. 47-49.
  110. ↑ 1 2 History of Mathematics, vol. III, 1972 , sid. 49-52.
  111. ↑ History of mathematics, volym III, 1972 , sid. 52-56.
  112. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 252.
  113. ↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 252-253.
  114. ↑ 1 2 Aritmetik, vetenskap // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron  : i 86 volymer (82 volymer och ytterligare 4). - St Petersburg. 1890-1907.
  115. ↑ 1 2 Uspensky, G.P. Erfarenheten av att berätta ryska antikviteter . - Kharkov: Universitetstryckeriet, 1818. - S. 532. - 818 sid.
  116. ↑ 1 2 Depman, 1965 , sid. 90-94.
  117. ↑ 1 2 Depman, 1965 , sid. 90-94.

Litteratur

 Matematikens historia
Länder och epoker
Tematiska
avsnitt
se även