Historien om matematisk notation

Historien om matematisk notation är historien om utvecklingen av symboler som används för att kompakt skriva matematiska ekvationer och formler . Förutom de hindu-arabiska siffrorna och bokstäverna i olika alfabet ( latin , inklusive gotiska , grekiska och hebreiska ), använder det matematiska språket många speciella symboler som uppfunnits under de senaste århundradena.

Genomtänkta beteckningar som speglar egenskaperna hos de föremål som studeras hjälper till att undvika fel eller feltolkningar, överföra en del av studien till en teknisk nivå och ofta ”föreslå” rätt sätt att lösa problemet. Enligt Alfred Whitehead befriar bra notation hjärnan från onödigt arbete och låter den därigenom fokusera på viktigare uppgifter [1] .

Inledningsvis (till exempel i Euklids Principia ) formulerades matematiska påståenden verbalt. Ett sådant register var besvärligt, ofta tvetydigt, och algebraiska transformationer krävde extraordinära kvalifikationer. Ett stort bidrag till utvecklingen av notation gjordes av François Viet (XVI-talet); i synnerhet började han använda bokstavsbeteckningar istället för specifika siffror. Gradvis ersattes nästan alla ord i matematiska formler (beteckningar på operationer , jämförelserelationer etc.) av speciella symboler - matematiken fick ett eget språk som inte krävde översättning, ett språk med en tydligt definierad betydelse av "ord" och strikt grammatik , vilket gör det möjligt att härleda sant andra påståenden är sanna.

Symbolernas roll i matematik

Fördelarna med symboliska beteckningar är kompakthet, entydig tolkning, lätthet att omvandla. Leibniz skrev i ett brev till Tschirnhaus (1678) [2] :

Man bör se till att notationen är lämplig för upptäckter. Detta uppnås i största utsträckning när tecknen kort uttrycker och så att säga speglar en saks djupaste natur; samtidigt minskar tankearbetet överraskande.

Den tyske historikern Josef Peter Treutlein ( 1845-1912 ) noterade om symboliken att ingenstans är det intellektuella innehållet så nära relaterat till formen för dess representation som i matematiken, så för att utveckla och fördjupa innehållet är det ofta nödvändigt att förbättra formen [3] .

En annan matematikhistoriker, Moritz Cantor , specificerar kraven för matematisk notation [4] :

Den ska tydligt och entydigt återspegla det koncept eller den verksamhet som den är avsedd för.
Det ska vara kort och bekvämt (lätt att skriva och skriva ut).
Det bör vara tillräckligt flexibelt för att vid behov kunna utvidga dess betydelse till större områden.

Dessa påståenden förklarar i vilken riktning systemet med matematisk notation har utvecklats historiskt.

Forntida talsystem och ursprunget till matematisk symbolism

I alla civilisationer är den äldsta matematiska notationen numrering (inspelning av siffror) . Enligt metoden att bilda siffror från grundläggande tecken (siffror) delas gamla numreringssystem in i tre typer [5]

Additiv (av lat. additio - addition ). Exempel: romersk siffra XXX, som består av tre romerska tecken "tio" och representerar värdet 30.
Subtraktiv (av lat. subtraktion - subtraktion ). Exempel: det romerska talet IX, där enhetssymbolen står till vänster om tion och därför subtraheras från den.
Multiplikativ (av lat. multiplicatio - multiplikation ). Ett exempel är det kinesiska siffernotationssystemet (se nedan ).

Senare dök ett positionsnummersystem upp , där det numeriska värdet av en siffra beror inte bara på siffran i sig utan också på dess position i nummerinmatningen. Operationstecken , relationer och andra symboliska beteckningar dök också upp senare, till en början angavs algoritmer och formler verbalt.

Forntida Egypten

Den forntida egyptiska numreringen liknade till en början den senare romerska : den hade separata tecken för 1, 10, 100, ... 10 000 000, kombinerat additivt (sammanlagt). Egyptierna skrev från höger till vänster, men de minst signifikanta siffrorna i numret skrevs först, så att siffrornas ordning i slutändan motsvarade den moderna. Hieratisk skrift har redan separata beteckningar för varje siffra från 1 till 9 och förkortningar för olika tiotals, hundratals och tusentals [6] .

Särskilda tecken betecknade bråkdelar av formen , såväl som praktiskt viktiga bråkdelar . De hade inte ett allmänt koncept för en bråkdel , och alla icke-kanoniska bråkdelar representerades som summan av alikvotbråk . Typiska expansioner sammanfattades i besvärliga tabeller [6] . ${\frac {1}{n}}$ ${\frac {2}{3))$ ${\frac {m}{n}}$

Exempel på bilder av vanliga bråk

1/2

1/3

2/3

1/4

1/5

Ett exempel på att skriva bråk från Rhinda Papyrus [7] :

5 + 1 ⁄ 2 + 1 ⁄ 7 + 1 ⁄ 14 (värde: 5 5 ⁄ 7 )

För att beteckna operationerna för addition och subtraktion användes en av hieroglyferna:

eller

Om riktningen för "benen" av denna karaktär sammanföll med riktningen för skrivning, betydde det "tillägg", i andra fall betydde det "subtraktion". Det fanns inga speciella notationer för multiplikation och division [8] .

Babylon

Sumererna och babylonierna använde det sexagesimala positionsnummersystemet . De skrev, som européer, från vänster till höger. Däremot var inspelningen av de erforderliga 60 siffrorna i kilskrift märklig. Det fanns bara två tecken för talen, låt oss beteckna dem som E (enheter) och D (tiotal); senare fanns det en ikon för noll. Siffrorna från 1 till 9 avbildades som E, EE, ... EEEEEEEEE. Därefter kom D, DE, ... DDDDEEEEEEEE (59). Således var numret representerat i positionellt sexagesimalt system, och dess sexagesimala siffror - i additiv decimal. Bråk skrivs på samma sätt. För de populära bråken 1/2, 1/3 och 2/3 fanns speciella tecken [9] .

När vi beskrev algoritmerna för att lösa ekvationer var tecknen för de okända sumeriska, av vilket vi kan dra slutsatsen att dessa algoritmer är gamla; dessa tecken användes som stenografi för okända i modern algebra [10] .

Kina

Kinesiska siffror betecknades av speciella hieroglyfer, som dök upp under det andra årtusendet f.Kr. e., och deras märke fastställdes slutligen av III-talet f.Kr. e. Dessa hieroglyfer används fortfarande idag. Det kinesiska sättet att skriva siffror var ursprungligen multiplikativt . Till exempel skrevs siffran 1946 som一千九百四十六 - "ett-tusen-nio-ett-hundra-fyra-tio-sex". Men i praktiken utfördes beräkningar på suanpan räknebräda , där noteringen av siffror var annorlunda - positionell, som i Indien, och, till skillnad från babylonierna, decimal. Noll indikerades först av ett tomt utrymme, en speciell hieroglyf som dök upp runt 1100-talet e.Kr. e. För multiplikation och division på räknebordet har effektiva algoritmer utvecklats som beskrivs muntligt i manualer [11] .

På 300-talet e.Kr. e. under påverkan av det decimalsystem av mått som är traditionellt i Kina, dök också decimalbråk upp . I skriftliga källor avbildades decimalbråk i det traditionella (icke-positionella) formatet under en tid, men gradvis ersatte positionssystemet det traditionella [12] .

Antikens Grekland

Grekisk numrering , som egyptisk och romersk, var additiv, det vill säga de numeriska värdena för tecknen adderades. Dess första version ( attic , eller herodian ) innehöll alfabetiska tecken för 1, 5, 10, 50, 100 och 1000. Följaktligen arrangerades en räknebräda ( kulram ) med småsten. En speciell hålig sten betecknad noll. Senare (med början från 500-talet f.Kr.), istället för attisk numrering, antogs alfabetisk numrering - av 24 bokstäver i det grekiska alfabetet betecknade de första 9 siffrorna från 1 till 9, de nästa 9 bokstäverna var tiotal, resten var hundratals. För att inte blanda ihop siffror och bokstäver ritades ett streck ovanför siffrorna. Siffror större än 1000 skrevs positionsmässigt och markerade ytterligare siffror med ett speciellt streck (nedre till vänster). Specialmärken gjorde det möjligt att avbilda siffror större än 10 000 [13] . Forntida grekiska vetenskapsmän var de första som skrev ner bråken vertikalt - dock var deras täljare inte högre, utan lägre än nämnaren, och det fanns ingen linje i bråket [14] .

Till en början hade grekerna ingen algebraisk symbolik. Det enda undantaget kan betraktas som korta bokstäver av geometriska punkter , såväl som linjesegment eller cirkelbågar vid deras ändpunkter.

Toppen av antik algebra var verk av Diophantus av Alexandria (3:e århundradet e.Kr.). Långt före sin tid introducerade han bokstavssymbolik – än så länge endast för en okänd kvantitet, som han betecknar med en bokstav ( zeta ). Diophantus använde också speciella symboler för det okändas krafter, upp till den sjätte, och deras ömsesidiga. En speciell symbol (inverterad bokstav ) betydde subtraktionen av siffran efter den. Bokstaven ( iota , från grekiska ἴσος 'lika') spelade rollen som ett likhetstecken. Alla dessa innovationer gjorde det möjligt att skriva i allmän form, till exempel reglerna för multiplicering av potenser (inklusive negativa), regeln för tecken vid multiplicering med ett negativt tal och metoder för att lösa obestämda ekvationer i heltal [15] [ 16] . $\zeta$ $\psi$ $\iota$

Indien

Redan i de gamla indiska texterna på sanskrit fanns medel för att namnge siffror i decimaltalsystemet [17] , upp till . $10^{53}$

Indiska numrering har gått till historien av två anledningar. Omkring 600-talet f.Kr e. i Indien uppträdde separata tecken för siffror från 1 till 9, vilket blev prototypen för moderna europeiska siffror; deras författare är okänd, men de tre första beteckningarna sammanfaller med kinesiska. Ungefär 500 e.Kr. e. Indiska forskare uppfann decimalpositionssystemet för att skriva siffror. I det nya systemet visade sig att utföra aritmetiska operationer vara omåttligt enklare än i de gamla, med klumpiga bokstavskoder eller sexagesimala tal. För det nya systemet krävdes införandet av ett nytt nummer, noll . Forskare är oense om huruvida denna idé kom till Indien från grekerna, från Kina, eller om indianerna uppfann denna viktiga symbol på egen hand [18] .

Indiska matematiker fortsatte utvecklingen av matematisk symbolik, även om de gick sin egen väg. Efter att ha reducerat motsvarande sanskrittermer till en stavelse använde de dem som symboler för okända, deras krafter och fria ekvationstermer. Till exempel betecknades multiplikation med tecknet gu (från ordet gunita , multiplicerat). Subtraktion indikerades med en punkt ovanför subtrahenden eller ett plustecken till höger om den. Om det fanns flera okända, tilldelades de villkorliga färger för bestämbarhet. Kvadratroten betecknades med stavelsen " mu ", förkortning för mula (rot). För namngivningen av grader användes förkortningar av termerna " varga " (kvadrat) och " ghava " (kub) [19] :

Grad	$x^{2}$	$x^{3}$	$x^{4}$	$x^{5}$	$x^{6}$	$x^{7}$	$x^{8}$	$x^{9}$
namn	wa	gha	va va	va gha ghata	va gha	wa va gha ghata	va va va	gha gha

Uppteckningen av bråk, till skillnad från grekerna, upprättades enligt moderna regler: täljaren över nämnaren, även om det var brukligt att skriva hela delen av det blandade bråket inte till vänster, utan ovanför täljaren. Addition och multiplikation av bråk betecknades på samma sätt - båda bråken skrevs helt enkelt sida vid sida; typen av operation måste identifieras från textförklaringar. Det fanns inget likhetstecken , den högra sidan av ekvationen skrevs under den vänstra sidan och trimmade monomialerna med samma krafter av det okända [20] .

Ryssland

Det kyrilliska siffersystemet ("slavisk numrering") i Ryssland dök upp tillsammans med det kyrilliska alfabetet (IX-talet) och antog den grekiska seden att beteckna siffror med bokstäver markerade med en speciell ikon . Bokstäver liknande grekiska användes, men specifikt slaviska ( b , zh , w , etc.) fick inga numeriska värden. Ett undantag gjordes för bokstäverna h och ts , som antog de numeriska värdena för de arkaiska grekiska bokstäverna "koppa" och " sampi ". Siffror skrevs som i det romersk-grekiska systemet - additivt: till exempel betydde mg 40 + 3. För stora antal (med början från 1000) användes speciella märken [21] . Det kyrilliska siffersystemet användes bland östslaverna fram till 1700-talet, varefter det ersattes överallt, med undantag för kyrkolitteraturen, av den moderna.

Andra folk

Artiklar ägnas åt andra folks numreringssystem:

Historisk utveckling av symbolism

Medeltiden

Matematiker från arabländerna under perioden från omkring 700- till 1200-talet bidrog till utvecklingen av antik och indisk kunskap. Bland annat anammade de den indiska decimalpositionsnumreringen och bemästrade (uppenbarligen oberoende av kineserna) decimalbråk . Al-Uklidisi var den första som beskrev reglerna för att arbeta med decimalbråk på 1000-talet , hela delen av bråket skiljdes från bråket med en apostrof . En detaljerad beskrivning av decimalaritmetik publicerades av al-Kashi på 1400-talet, men inte ens då användes decimalbråk i stor utsträckning i den islamiska världen. För att separera bråkdelen av talet använde al-Kashi en vertikal linje eller bläck av en annan färg. Även om termen " algebra " är av arabiskt ursprung, fanns det ingen symbolisk algebra i islamiska länder, alla formler angavs verbalt; undantaget var den spansk-moriske matematikern al-Kalasadi (1486) och hans elevers verk. Al-Kalasadi uppfann tecken för det okända, dess kvadrat, kvadratrot och likhetstecken, men de fick ingen distribution [22] .

Med början på 1100-talet började antika och arabiska verk tränga in i Europa och översättas till latin . Samtidigt, särskilt i handelsmiljön, sprids indiska siffror och regler för att hantera dem snabbt. I europeiska matematikers första skrifter anges fortfarande alla formler verbalt. Den första (inte särskilt bekväma) skissen av algebraisk symbolik gavs av Luca Pacioli , den största algebraisten på 1400-talet. Han införde i allmänt bruk notationen för driften av addition och för subtraktion (från italienska piu, meno ), ganska lik senare plus och minus . För kvadratroten använde Pacioli de stiliserade bokstäverna som Fibonacci föreslagit , från ordet Radix (rot), med en notering för rötter av en grad högre än sekunden. Exempel på Pacioli [23] : ${\tilde {p}}$ ${\tilde {m}}$ $R_{x}$

R_{x}.6.{\tilde {m}}.R_{x}.2.

samtida notation:

{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}.

Pacioli föreslog korta syllabics för det okända och dess grader, som påminner om det indiska systemet, men 1484 publicerade Nicolas Chuquet ett mer bekvämt utkast; till exempel skrevs Schukes moderna monomial helt enkelt eftersom Schukes andra lovande idéer inkluderar användningen av ett minus som ett tecken på negativa tal och understrykning av komplexa uttryck istället för moderna parenteser [24] [25] . $12x^{3}$ $12^{3}.$ ${\tilde {m}}$

Ett annat viktigt steg togs av den tyska algebraiska skolan på 1400-talet, som kallade sig kossister (Pacioli kallade den okända kvantiteten cosa , en sak). I Johann Widmanns lärobok i aritmetik (1489) ersattes Paciolis additions- och subtraktionssymboler av moderna plus och minus. Kossister betecknade graderna av det okända med en kombination av gotiska bokstäver , dessa "kosmiska tecken" fick en viss popularitet (deras inflytande är märkbart även i Magnitskys "Arithmetic" , 1703) [26] .

XVI-talet. Simon Stevin och François Viet

Ett sekel efter al-Kashi publicerades Simon Stevins Den tionde (1585), med vilken den utbredda användningen av decimalbråk i Europa började. För tydlighetens skull angav Stevin deras nummer i cirklar ovanför decimalerna (se figur). På samma sätt skrev han ner algebraiska uttryck ; figuren i cirkeln betecknade variabelns nummer, innan det, om nödvändigt, graden av denna variabel indikerades: sek (kvadrat) eller ter (kub). Stevin använde bokstäverna M respektive D som symboler för multiplikation och division. Stevin använde fritt fraktionerade exponenter, också inringade av honom [27] .

Andra etablerade notationer som dök upp på 1500-talet inkluderar likhetstecknet (1557, Robert Record ) och decimaltecknet ( Giovanni Magini , 1592). Den tyske matematikern Christoph Rudolf från den kossistiska skolan ersatte Paciolis notation för kvadratroten med det moderna radikala tecknet (1525) [28] . Ett ovanligt öde drabbade de komplexa talen som upptäcktes på 1500-talet - först introducerades som villkorliga, meningslösa symboler, de fick en tydlig betydelse två århundraden senare och visade sig ha stor praktisk användning som ett juridiskt matematiskt objekt .

I slutet av 1500-talet publicerades den franske matematikern François Vietas verk , vilket revolutionerade algebra. Viet satte som mål att utveckla ett nytt språk, en sorts generaliserad aritmetik, som skulle göra det möjligt att bedriva matematisk forskning med tidigare ouppnåeligt djup, generalitet och beviskraft. I sin forskning löser Viet omedelbart problem i allmän form och ger först därefter numeriska exempel. Han betecknade med bokstäver inte bara okända, som redan hade stött på tidigare, utan också alla andra parametrar , för vilka han myntade termen " koefficienter " (bokstavligen: bidragande ). Före Vieta stötte Regiomontanus , Christoph Rudolf , Adam Rize , Gerolamo Cardano och Michael Stiefel ibland på beteckningen av operander av algebraiska lagar och initialdata för ekvationer med bokstavssymboler , men endast Vieta kunde korrekt bedöma möjligheterna för en sådan förhållningssätt och sätta det till grund för sin algebra [29] [30] .

Vieta använde bara stora bokstäver för att namnge variabler (som i antik geometri) - vokaler för okända, konsonanter för koefficienter. Av tecknen på operationer använde han tre: plus , minus och ett streck av en bråkdel för division ; multiplikation betecknades med den latinska prepositionen i . Istället för parenteser, underströk han, efter Shuka, det markerade uttrycket överst (i flera fall använde Viet lockiga parenteser ). Vietas exponenter registreras fortfarande verbalt. Till exempel, i avhandlingen " Om analys och förbättring av ekvationer " skrivs följande ekvation [29] :

A\ cubus+B\ plano\ 3\ in\ A\ aequari\ Z\ solido\ 2

I modern notation:

{\displaystyle x^{3}+3b^{2}x=2z^{3))

Det nya systemet, trots dess krånglighet och begränsningar, gjorde det möjligt att enkelt och tydligt beskriva de allmänna lagarna för aritmetik och beräkningsalgoritmer; med dess hjälp gjorde Viet många matematiska upptäckter. Symboliken i Vieta uppskattades omedelbart av forskare från olika länder, som började förbättra den; detta gällde främst tecken på operationer , inklusive att höja sig till en makt och utvinna en rot .

1600-talet

Algebraisk symbolik

På 1600-talet, efterträdaren till skapandet av symbolisk algebra efter Vieta, var den engelske matematikern Thomas Harriot , hans huvudverk publicerades postumt 1631. Harriot förenklade Vietas symbolik och förkortade notationen av formler - istället för stora bokstäver använde han gemener, stödde Records likhetstecken , ersatte grader med multiplikation: istället för modern . Harriots införande av jämförelsetecken (tidigare skrivet med ord: mindre, mer ) var en stor bedrift. En variant av icke-strikta jämförelsesymboler föreslogs av Wallis 1670 [31] , men det var Pierre Bouguer (1734) [32] som gjorde den allmänt använd . Harriot separerade koefficienterna från bokstäverna med en punkt, så att denna punkt faktiskt spelade rollen som multiplikationstecken, till exempel: (modern notation: Det bör noteras att han var den förste som systematiskt överförde alla uttryck till vänster sida av ekvationen [33] . $aaa$ $a^{3}$ $<\ \>$ $\leqslant \ \ \geqslant$ $aaa-3.baa+3.bba$ $a^{3}-3ba^{2}+3b^{2}a).$

Albert Girard (1626) och William Oughtred (1631) introducerade sina förbättringar . Girard lade till parenteser och ett plus-minustecken . Kvadratroten hade vid det här laget redan konturer liknande de moderna; Girard föreslog att skriva exponenten för kubiska och andra rötter av höga grader över radikalens tecken, och denna konstruktion kvarstod i matematiken [28] [34] [35] .

Othreds förtjänst är introduktionen av följande symboler [36] [37] : multiplikationstecknet (snedstreck ), divisionstecknet (snedstreck ), och parallellsymbolen . Historiker uppskattar att Otred använde cirka 150 olika matematiska notationer, hans egna och andras. De flesta av dem klarade dock inte tidens tand - till exempel ersattes konstruktionerna för , eller för kubroten av mer framgångsrika symboler [38] . $\ gånger$ $/$ $\|$ $Aq,Aqq$ $A^{2},A^{3}$ ${\sqrt {}}c$

På 1600-talet kom många ledande matematiker till slutsatsen att exponenten borde uttryckas som ett explicit tal, och inte kodas med en basbeteckning (som med kossister) eller verbala förkortningar som Q (kvadrat) eller C (kub), eftersom annars skulle det vara omöjligt att skriva ner sådana regler, handlingar med grader, som , och algebraiska transformationer kräver överdriven mental ansträngning. Girard, Erigon och andra matematiker [39] föreslog designalternativ för att registrera indikatorn . ${\displaystyle a^{m}a^{n}=a^{m+n))$

Det algebraiska språket fick ett praktiskt taget modernt utseende i mitten av 1600-talet av Descartes . Han föreslog att man skulle använda de initiala bokstäverna i alfabetet för kända parametrar: och för okända parametrar, de sista bokstäverna: Descartes bildade ett modernt rekord av grader: med exponenten till höger och ovanför variabeln; mot slutet av århundradet utökade Newton denna notation till bråk- och negativa exponenter. F. Cajori karakteriserar den kartesiska notationen av grader som den mest framgångsrika och flexibla symboliken i hela algebra - den underlättar inte bara transformationer, utan stimulerade expansionen av begreppet exponentiering till negativa, bråkdelar och till och med komplexa exponenter, såväl som utseendet i maktmatematik och exponentialfunktioner ; alla dessa prestationer skulle vara svåra att implementera med beteckningarna från XVI-talet [40] $a,b,c\dots ,$ $x,y,z.$ $x^{3},$

Den algebraiska symboliken hos Descartes antogs nästan helt av efterföljande generationer av vetenskapsmän, bara det ovanliga kartesiska likhetstecknet, som fick en viss spridning i Frankrike och Holland, ersattes av en mer framgångsrik symbol Robert Record . Dessutom togs restriktioner för koefficienter bort, vars värden Descartes ansåg som standard alltid vara icke-negativa, och han markerade symbolerna för negativa värden framför med ett minustecken. Om tecknet på koefficienten var okänt, satte Descartes en ellips före den [41] . Den holländska matematikern Johann Hudde lät redan 1657 bokstavliga variabler ta värden av vilket tecken som helst [42] . Newtons monografi " Universal Arithmetic " (1707), som gick igenom fem omtryck, utan översättningar, använder Descartes notation och Records likhetstecken. Enandet av algebraisk notation fullbordades i princip i slutet av 1600-talet [41] .

Geometri

I början av 1600-talet fanns redan flera vanliga symboler inom geometrin: punkter markerade med stora latinska bokstäver, linjesegment, kurvbågar, trianglar och andra figurer indikerades med bokstäver i gränspunkter: etc. En rät vinkel betecknades med bokstaven d (från franska droit 'rakt'). 1634 introducerade Pierre Erigon symbolerna för vinkel och , som betyder " vinkelrät " [43] . Sedan urminnes tider har parallellsymbolen också använts , sammanfallande med det moderna likhetstecknet ; efter uppkomsten av den senare, för att undvika förvirring, vändes tecknet på parallellitet vertikalt [37] : . $AB,{\widehat {ab)),ABC$ $\vinkel$ $\perp$ $\|$

Vid sekelskiftet 1600-1700 dök det upp flera nya geometriska symboler. Den engelske matematikern William Jones använde först notationen för nummer (1706). Denna notation accepterades allmänt av Euler på 1700-talet [44] . Samtidigt uppfann Leibniz symboler för att indikera likheten eller kongruensen hos geometriska figurer [45] . $\pi$ $\sim \ \cong$

Matematisk analys

När Isaac Newton och Gottfried Leibniz i slutet av 1600-talet skapade en enorm ny gren av matematiken - matematisk analys - uppstod frågan om att utveckla en bekväm notation för den. Newton gjorde nästan inte detta, och från notationen han föreslog i matematisk analys återstod bara sättet att beteckna tidsderivatan med en punkt ovanför funktionssymbolen, till exempel: Denna notation är obekväm för derivator av högre ordning (mer än den andra). Newton bidrog också till konsolideringen inom vetenskapen av de infinitesimala symbolerna ( "O" stora och "o" små ), som tidigare hade föreslagits av den skotske matematikern James Gregory . Inom symbolismen kom Newton också på idén att använda index för att namnge enskilda objekt från en specificerad uppsättning: [46] [47] . ${\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}.$ $x_{1},x_{2}\dots$

Newton erbjöd inte en symbol för integralen , även om han försökte olika alternativ: en vertikal stapel över en funktion, samt en fyrkantig symbol som föregår eller gränsar till en funktion. Inte ens i England blev dessa varianter utbredda, av de stora matematikerna var det bara Newtons elev Brooke Taylor (1715) som använde dem. I sina " principer " betecknade Newton på ett antal ställen själva funktionerna med stora bokstäver och deras derivator ( hastigheter ) - samma, men gemener [48] .

Leibniz var mer uppmärksam på utvecklingen av notation. Under flera år tänkte han noggrant och tålmodigt igenom olika alternativ för termer och beteckningar, diskuterade med kollegor, valde sedan ut de bästa, förde in dem i ett enda system och populariserade dem aktivt. Leibniz är författaren till den moderna notationen för differential , derivata (inklusive högre ordningar) och integral. Nästan alla hans innovationer inom detta område slog rot i vetenskapen, eftersom Leibniz symbolik, i motsats till Newtons, tydligt återspeglade de operativa egenskaperna hos analysmetoder [49] [50] .

Ett exempel är den välkända formeln för att ändra en variabel i en integral : $x=\varphi (t)$

\int F(x)dx=\int F(\varphi (t))\cdot {d\varphi (t) \over dt}dt

Det visar tydligt varför Leibniz under integralen inte indikerar integrationsvariabeln i sig, utan dess differential - bara i detta fall erhålls den korrekta formeln rent algebraiskt, "utan någon extra tankeansträngning" [51] .

1700-talet

Leonhard Euler , en ledande matematiker på 1700-talet, gjorde betydande bidrag till notationen. Euler gav namn åt tre grundläggande numeriska objekt - e för " Euler-numret ", för förhållandet mellan omkretsen av en cirkel och dess diameter , och i för den imaginära enheten [52] . Han introducerade också symbolen för den dubbla integralen över ett godtyckligt platt område (1769), summans tecken (1755) [53] , tecknet ("inte lika") [54] . $\pi$ ${\boldsymbol {\Sigma ))$ $\neq$

Simon Lhuillier föreslog 1787 en av analysens viktigaste symboler - beteckningen på gränsen , vars "polering" av olika matematiker fortsatte fram till slutet av 1800-talet [55] .

1800-talet

Ett betydande bidrag till notationen gjordes i början av 1800-talet av Carl Friedrich Gauss . Han är författare till de allmänt accepterade symbolerna för " heltalsdelen "-funktionen: och Euler-funktionen , produktens tecken: (1812) och symboliken för modulo-jämförelser [56] . $[x]$ ${\fet symbol {\Pi ))$

Under 1800-talet fortsatte bildandet av den matematiska analysens symbolik . Weierstrass introducerade symbolen för absolut värde 1841 . Symbolen ∂ började beteckna den partiella derivatan [47] [57] . En modern design etablerades för gränserna för en bestämd integral ( Fourier , 1816), såväl som för kurvlinjära , yt- och volymintegraler [58] . I slutet av århundradet var i princip standardnotationen för analysens viktigaste funktioner etablerad.

På 1800-talet dök många nya grenar av matematiken upp, vilket krävde utveckling av specifika praktiska notationer för dem. I synnerhet i linjär algebra uppstod en allmänt accepterad design av matriser , determinanter och operationer med dem. Med denna aktivitet är skapandet och början av den utbredda användningen av vektorkalkyl och vektoranalys kopplade , vilket orsakade framväxten av rik symbolik för att beteckna vektorer, tensorer och operationer med dem [59] .

På 1800-talet lades början på ett långt arbete om formaliseringen av matematisk logik , som fortsatte på 1900-talet. De första symbolerna som ersatte fackföreningarna "därför" och "för" föreslogs av Johann Rahn redan på 1600-talet. Leibniz föreslog inte någon ny symbolik i sina verk om den matematiska logikens grunder [60] . Utökade system av logisk notation publicerades samtidigt av de engelska matematikerna August de Morgan och George Boole 1847. De Morgans symbolik var långt ifrån modern, ibland krånglig, och Boole försökte att inte uppfinna nya symboler (han använde de vanliga aritmetiska tecknen för operationer, som han gav logisk betydelse), men i själva verket definierade han symboler för grundläggande logiska operationer - konjunktion , disjunktion och negation . Således skapades den första konturen av en algebra för logiska objekt (" Boolesk algebra ") och reglerna för logiska transformationer utvecklades [61] .

I slutet av 1800-talet dök de första symbolerna för mängdteorin upp i Georg Cantors verk , de behandlade huvudsakligen kardinaliteten i de grundläggande uppsättningarna av matematik och operationer med makttecken. Två monografier av Gottlob Frege (1879 och 1893) blev ett nytt ideologiskt stadium i den matematiska logiken , men den logiska symboliken som Frege utvecklade var misslyckad, och bortsett från allmänna idéer och "tecknet på deducerbarhet" fanns det lite kvar av den i vetenskapen. Nästan samtidigt publicerades verk av Ernst Schroeder (1877 och 1890) och Giuseppe Peano (1895 och 1897) med originalsymboler, av vilka några (särskilt den existentiella kvantifieraren ∃, symbolerna "innehåller" ∋ och "innehåller" ∈ ) stannade kvar inom vetenskapen. $\vdash$

I en tidning från 1895 konstaterade Peano självsäkert: man kan ändra formen på symboler, man kan ta bort några och lägga till andra, men "vi kan nu uttrycka alla matematiska påståenden med ett litet antal tecken som har en exakt betydelse och lyder väl -definierade regler” [62] .

1900-talet

På 1900-talet standardiserades notationen för intervallet av reella tal: [63] . $(a,b),\ [a,b]$

En del av logikens axiom från Principia Mathematica i 1:a upplagan notation (symbol ⊃ betecknad implikation , nu mer vanligt förekommande symbol )

\höger pil

✸1.2 . ⊦ : p ∨ p . ⊃ . sid .

✸1.3 . ⊦ : q . ⊃ . p ∨ q .

✸1.4 . ⊦ : p ∨ q . ⊃ . q ∨ p .

✸1,5 . ⊦ : p ∨ ( q ∨ r ) . ⊃ . q ∨ ( p ∨ r ).

✸1.6 . ⊦ :. q ⊃ r . ⊃ : p ∨ q . ⊃ . p∨r . _ _

Som nämnts ovan behövde två nya grenar av matematiken som uppstod vid sekelskiftet 1800- och 1900-talet - matematisk logik och mängdteori - en omfattande uppsättning nya symboler för logiska och mängdteoretiska operationer . Matematiker har föreslagit mer än ett dussin sådana notationssystem, av vilka tiden har valt de enklaste alternativen [64] . Principia Mathematica av Whitehead och Russell utvecklade både teorin och symboliken för matematisk logik avsevärt; Peanonotation i förbättrad stil togs som grund. Förutom logisk notation använder Whitehead och Russell i sin bok symboliken för mängdteorin, som till stor del är relaterad till den, och som delvis täcktes av Peanos verk. Författarna listade målen för tung användning av formell symbolik i denna bok [65] ;

Det är nödvändigt att ge läsaren en entydig förståelse av materialet av en hög grad av abstraktion.
Genomtänkt formalism hjälper mänsklig intuition att förstå tematiska ideologiska motiv och samband.
Kortheten i den symboliska uppteckningen underlättar dess visuella uppfattning.
Med hjälp av symboliken kan logiska resonemang utvidgas till områden som vanligtvis antogs vara otillgängliga för matematiska överväganden.

Under andra hälften av 1900-talet behövdes ett omfattande arbete med att skapa nya symboler i utvecklingen av programmeringsspråk . Problemet är att alfabeten för dessa språk baserades på ASCII-teckenkodningen ( sju eller åtta bitar), som inte innehåller många av de designfunktioner som är bekanta i matematik - i synnerhet har den inte upphöjda och nedsänkta tecken, många diakritiska tecken , många specialtecken (rottecken, plus eller minus), etc. [66] Till exempel visade sig den kartesiska representationen av exponentiering vara mycket framgångsrik ur en algebraisk synvinkel, men frånvaron av ett explicit operationstecken i det tvingar oss att implementera detta viktiga verktyg i ett programmeringsspråk på ett annat sätt, och detta görs olika på olika språk (se artikeln Exponentiering för mer information ). Till exempel i Fortran är det kodat som i BASIC - as , och vissa språk (till exempel C eller Pascal ) innehåller inte exponentieringsoperationssymbolen alls och använder biblioteksfunktioner för detta ändamål [67] . $a^{b}$ a ** b,a^b

Situationen liknar andra praktiskt taget viktiga symboler: index av arrayelement (vanligtvis omgivna av kvadrater eller parenteser), operationen att erhålla resten från heltalsdivision, logiska och bitoperationer , etc. Bristen på förening av sådana beteckningar, trots framväxten av internationella ISO-standarder 31-11 och ISO 80000-2 är fortfarande vanlig praxis.

Historia för enskilda karaktärer

Algebra

Objekt

$0123456789$

För att beteckna siffror i länder med hieroglyfisk skrift (Forntida Egypten, Kina) användes speciella hieroglyfer, och i länder med fonetiskt alfabet använde man till en början bokstäver för detta, ofta med ett speciellt märke. Romerska siffror konstruerade på detta sätt används ibland än idag. I Indien från 600-talet f.Kr. e. speciella tecken infördes för varje siffra från 1 till 9. Efter att ha ändrats något blev dessa tecken moderna siffror [68] .

I samband med uppfinningen av decimalpositionssystemet för att skriva tal (ca 500 e.Kr.) behövdes ett nytt tecken för noll . Den första koden för noll, som ser ut som en cirkel som är bekant för oss, hittades i själva Indien på en inskription av 876 från Gwalior [69] . Tidigare inskriptioner med bilden av noll hittades i Sydostasien : en inskription på en stentavla från ruinerna av ett tempel som går tillbaka till 683 från det antika khmerriket Chenla (enligt den moderna administrativa indelningen - distriktet Sambour i den kambodjanska provinsen Kratie ), och från samma (eller nästa) år en inskription från närheten av Palembang (Sumatra, Indonesien), som vid den tiden var huvudstad i det gamla malaysiska kungariket Srivijaya ; i det första fallet avbildas noll som en tjock prick, i det andra som en liten cirkel [70] [71] .

Forskare och amatörer har erbjudit dussintals förklaringar till varför siffrorna tog denna form; en av dessa hypoteser är känd i utläggningen av A. S. Pushkin [72] . F. Cajori , som ett resultat av analysen av dessa förklaringar, kommer till slutsatsen att de alla är pseudovetenskapliga fantasier [73] .

$\ {\frac {7}{12}}$

Den "två våningar" posten av ett vanligt bråk användes av antika grekiska matematiker , även om de skrev ner nämnaren ovanför täljaren , men det fanns ingen linje i bråket. Indiska matematiker har flyttat täljaren uppåt; genom araberna antogs detta format i Europa. Bråklinjen introducerades först i Europa av Leonardo av Pisa (1202), men den kom i bruk endast med stöd av Johann Widmann (1489) [14] .

$3{,}62$

Decimalbråk påträffas först i Kina från omkring 300-talet e.Kr. e. vid beräkning på räknebräda ( suanpan ) [74] . Den persiske matematikern Jamshid al-Kashi förklarade sig själv som uppfinnaren av decimalbråk, även om de återfanns i verk av Al-Uqlidisi , som levde 5 århundraden tidigare [75] . I Europa skrevs decimalbråk ursprungligen som heltal på någon överenskommen skala. De första decimalbråken i Europa beskrevs av Immanuel Bonfils omkring 1350, men de blev utbredda först efter uppkomsten av Simon Stevins Den tionde (1585) [76] . För tydlighetens skull (och även på grund av avsaknaden av en allmänt erkänd decimalavgränsare ) angav Stevin uttryckligen numret på varje decimal - till exempel avbildade han numret i följande form: . En sådan komplex design hittade få anhängare (till exempel Ozanam ), de flesta matematiker ansåg att den var överflödig [77] . $0{,}3759$ ${\displaystyle 3^{(1)}7^{(2)}5^{(3)}9^{(4)))$

Decimalpunkt , som skiljer bråkdelen av talet från heltal, introducerades av den italienska astronomen G. A. Magini (1592) och Napier (1617, men Napier använde också en punkt). Tidigare användes andra symboler istället för komma - Viet använde en vertikal linje: 3|62 eller skrev ner bråkdelen i mindre siffror [78] ; andra alternativ inkluderar en nolla inom parentes: 3 (0) 62 eller ett kolon. Vissa författare, efter al-Kashi , använde bläck i olika färger [14] [79] . I England föredrog man istället för kommatecken att använda den punkt som Clavius föreslog 1593, som placerades mitt på en linje; denna tradition antogs i USA, men pricken flyttades ner för att inte förväxla den med Leibniz multiplikationstecknet [80] . Bristen på enande av decimalavskiljaren gjorde att många nya förslag dök upp under 1700- och 1800-talen, varav inget blev allmänt accepterat [81] . En ny faktor under andra hälften av 1900-talet var att notationen av numeriska konstanter i de flesta programmeringsspråk endast tillåter den angloamerikanska perioden som en separator.

$706.510.941{,}252$

Grupperingen av siffror för långa nummer är bekvämt för deras snabba utvärdering och jämförelse. Leonardo av Pisa (Fibonacci) hade redan gjort en rekommendation om detta partitur i den första upplagan av sin Abacusbok (1202); han rådde att markera hundratals, hundratusentals etc. med ett slag uppifrån, och samtidigt markera tusentals, miljoner etc. med ett streck underifrån. I den andra upplagan av Book of the Abacus (1228) gav Fibonacci en annan rekommendation: att markera trillingar av siffror med en parentes ovanifrån [82] , till exempel: ${\widehat {678}}\ {\widehat {935}}\ {\widehat {784}}\ {\widehat {105}}\ 296.$

På 1200-talet föreslog Sacrobosco att separera tusentals med prickar. Luca Pacioli och några tyska matematiker använde sänkta i stället för att separera punkter, och antalet punkter motsvarade numret på siffrorna, och Otred använde vertikala linjer. Till slut vann Sacroboscos enkla schema i de flesta länder, bara i Storbritannien och USA, där punkten är decimalavgränsaren, ersattes den av ett kommatecken [82] . I tryckta publikationer, enligt rekommendationerna från International Bureau of Weights and Measures och ISO [83] [84] råder den neutrala versionen, som går tillbaka till Pacioli, där tripplar av siffror är åtskilda av icke- brytande mellanslag : 678 935 784 105 296 .

$-273$

Med erkännandet av det praktiska värdet av negativa tal uppstod frågan om hur man skriver dem. Nicolas Shuquet föreslog 1484 att lägga fram den beteckning som användes då som ett tecken på subtraktion. Med tillkomsten av moderna plus- och minussymboler (1489) började många matematiker sätta minus före negativa tal, men vissa matematiker protesterade och påpekade att samma symbol inte skulle användas både som tecken på ett tal och som tecken på en subtraktionsoperation, särskilt eftersom minus i rollen som ett taltecken är lätt att förväxla med ett bindestreck . Projekt av andra symboler för numrets tecken föreslogs, till exempel hörn eller bilden av den avtagande / växande månen (se figur). Farkas Bolyai föreslog att man skulle använda plus- och minustecken för siffror, men att markera dem i en speciell stil (hans plus var som ett maltesiskt kors ). Icke desto mindre är den dubbla användningen av minus fast i vetenskapen [85] [86] . ${\tilde {m)),$

$x,\y,\z$
$a,\ b,\ c$

Särskilda tecken (endast för okända kvantiteter) användes också av babyloniska matematiker , och bland de gamla grekerna - Diophantus . Vieta var den första som föreslog att man skulle skriva ner aritmetikens lagar och formler i en allmän, symbolisk form, och ersätta specifika siffror (inte bara okända utan också olika koefficienter) med bokstäver (1591). Viète betecknade okända kvantiteter med stora bokstäver i vokaler ( A, E, I, O, U, Y ), och kända med stora konsonanter [87] .

Andra matematiker (särskilt Johann Rahn ) föreslog att man skulle använda skillnaden mellan versaler och gemener för samma syfte. 1637 föreslog Descartes ett mer bekvämt system: för okända kvantiteter används de sista bokstäverna i alfabetet ( x, y, z ) och för kända de första ( a, b, c ... ), och inte med versaler, utan med gemener. Descartes använde samma trippel som koordinatsymboler när han ritade grafer; Descartes själv begränsade sig dock till platta kurvor, den aktiva användningen av rumsliga koordinater började senare Clairaut . Denna konvention är rotad i vetenskapen. En hel del gissningar gjordes om orsakerna till Descartes val av bokstäverna x, y, z för okända, men inget bekräftades dock [88] [89] . $x,y,z$

${\bold symbol {i}}$

Bokstaven i som en imaginär enhetskod : föreslagen av Euler i artikeln De formulis differentialibus secundi gradus, quae integrationem admittunt ; en artikel skriven 1777 publicerades (postumt) 1794. Enligt den allmänna uppfattningen tog Euler den första bokstaven i det latinska ordet imaginarius (imaginär) för symbolen för den imaginära enheten [52] . Symbolen stöddes av Gauss (“ Arithmetical Investigations ”, 1801) och blev snabbt allmänt accepterad, även om många matematiker fortsatte att använda den explicita notationen av radikalen under lång tid: Vissa missförstånd uppstod när fysiker började ange storleken på den elektriska aktuell med en bokstav; snart, i växelströmmens elektrodynamik, upptäcktes behovet av komplexa tal (för att beskriva svängningar), och för att undvika förvirring började fysiker beteckna den imaginära enheten med bokstaven [90] . $i={\sqrt {-1}}$ ${\sqrt {-1)).$ $i$ $j$

0123456789ABCDEF

Behovet av hexadecimal siffra notation uppstod på 1950-talet när datorer dök upp med en åtta-bitars explicit adresserbar byte ; dess innehåll representerades lämpligast som två hexadecimala siffror. För att beteckna siffror från 0 till 9 användes samma tecken som i decimalsystemet, och för hexadecimala tal från 10 till 15 erbjöds olika alternativ - siffror från 0 till 5 med ett bindestreck ( makron ) överst, bokstäver från U till Z (Bendix datorer G-15, 1956); den moderna teckenkodningen A till F dök upp i IBM System/360 -serien (1964) [91] .

Operationer

${\bold symbol {+\;-}}$

Plus- och minustecknen uppfanns tydligen i den tyska matematiska skolan för "kossister" (det vill säga algebraister). De används i läroboken Behende und hüpsche Rechenung auff allen Kauffmanschafft , utgiven 1489, av Johann Widmann "En snabb och trevlig redogörelse för alla köpmän" . Dessförinnan betecknades addition med bokstaven p (plus) eller det latinska ordet et (konjunktion "och"), och subtraktion med bokstaven m (minus), dessa bokstäver var ofta markerade med en tilde ovanpå . I Widman ersätter plussymbolen inte bara addition, utan också föreningen "och". Ursprunget till dessa symboler är oklart, men troligen har de tidigare använts i handeln som tecken på köp och försäljning. Vissa matematiker på 1500- och 1600-talen använde det latinska eller maltesiska korset som varianter av plus, och istället för minus föreslog de tilde eller obelus . Ändå blev plus och minus vanliga i Europa - med undantag för Italien, som använde de gamla beteckningarna i ungefär ett sekel, [92] [93] [94] .

${\boldsymbol {\ gånger \;\cdot ))$

Multiplikationstecknet i form av ett snett kors introducerades 1631 av William Oughtred (England). Före honom var den vanligaste bokstaven M, föreslagen 1545 av Michael Stiefel och stödd av Stevin . Andra beteckningar föreslogs senare: det latinska ordet i ( Francois Viet ), rektangelsymbolen i början av verket och kommatecken i slutet ( Erigon , 1634), asterisken ( Johann Rahn , 1659), bokstaven x ( Wallis , 1655, kanske är detta ett tryckfel, eftersom Wallis har både bokstaven x och ett kors på samma sida) [36] [79] [95] . $\Låda$

Anledningen till att man valde diagonalkorset som multiplikationstecknet var troligen det schema med korsmultiplikation av korta tal som var vanligt under dessa år [96] ; detta är desto mer sannolikt eftersom snedstrecket före Oughtred användes för att beteckna andra operationer associerade med olika typer av korsberäkning [97] .

Leibniz , efter att ha experimenterat med flera olika symboler, bestämde sig så småningom för att ersätta korset med en prick (slutet av 1600-talet) för att inte förväxlas med bokstaven x ; före honom återfanns sådan symbolik i Regiomontanus (1400-talet) och Thomas Harriot . Många matematiker, som började med Diophantus , istället för multiplikationstecknet, skrev helt enkelt operanderna i rad: denna kompakta notation visade sig vara särskilt bekväm för att konvertera bokstavliga uttryck [95] [36] . $ab=a\cdot b;$

${\fet symbol {/\;:\;\div ))$

Heron , Diophantus och islamiska författare använde bråkets horisontella linje som ett tecken på splittring . I det medeltida Europa betecknades division ofta med bokstaven D. Ootred föredrog ett snedstreck eller (ibland) en högerparentes, den senare finns även i Stiefel : konstruktioner eller menade division med Colon började beteckna division från 1684 av Leibniz [98] . $8)24$ $8)24($ $24$ $8.$

I England och USA blev symbolen ( obelus ) utbredd, vilket föreslogs 1659 av Johann Rahn (möjligen med deltagande av John Pell , tidigare använde Girard denna symbol som en synonym för minus) [99] [100] . Ett försök från American National Committee on Mathematical Requirements att ta bort obelusen från praktiken (1923) var misslyckat [101] . $\div$

$([\{\}])$

Parenteser dök upp i Tartaglia (1556) för det radikala uttrycket, senare fick de stöd av Clavius och Girard [28] [102] . Bombelli (1560) använde ett hörn i form av bokstaven L som den initiala konsolen, och som den sista parentesen reflekterades den i förhållande till vertikalen (se figur) [C 1] ; ett sådant rekord blev stamfadern till hakparenteser. Lockiga hängslen föreslogs av Viet (1593) [28] .

De flesta matematiker före 1700-talet (inklusive Newton) föredrog att understryka (eller understryka) det markerade uttrycket istället för parenteser. Eftersom detta försvårade typografisk sättning, dök andra metoder upp. Wallis (1655) använde kolon eller kolon i början och en punkt i slutet av ett uttryck istället för parentes, till exempel: istället för moderna , föreslogs också olika restriktiva konstruktioner av punkter eller kommatecken, obekvämt redan eftersom dessa symboler var allmänt används för andra ändamål. Konsoler infördes i allmänt bruk av Leibniz (från omkring 1708) och Euler [103] [104] . ${\sqrt {}}:ad-a^{2}:$ ${\sqrt {ad-a^{2))}.$

${\boldsymbol {\pm ))$

Plus-minustecknet dök upp i Girard (1626) och Oughtred. Girard bildade denna symbol enligt följande [34] : ett plustecken, under det ordet "eller" ( fr. ou ), och ännu lägre - ett minus: Newton föreslog sin egen symbol: ("halv plus"), som inte gjorde det vinstfördelning [105] . ${\boldsymbol {{\underset {-}{\overset {+}{\operatörsnamn {\scriptscriptstyle ou} }}}\ \ }}.$ $\perp$

${\displaystyle {\boldsymbol {a^{n))}\ {\boldsymbol {a^{x))))$

Exponentiering . I Europa skrevs graden till en början i verbala förkortningar (q eller Q betecknade en kvadrat, c eller C - en kub, bq eller qq - en bi-kvadrat, det vill säga den 4:e graden, etc.) eller som en produkt - till exempel avbildades den som Otred skrev så här : (om det bara finns en okänd tilldelades den ofta inte ett bokstavsmärke) [106] . Den tyska skolan av kossister erbjöd ett speciellt gotiskt märke för varje grad av det okända. $x^{4}$ $xxxx.$ ${\displaystyle x^{5}-15x^{4))$ $1qc-15qq$

På 1600-talet började tanken på att uttryckligen ange exponenten gradvis segra. Girard (1629), för att höja en siffra till en potens, satte en indikator inom parentes före detta nummer, och om det inte fanns något nummer till höger om indikatorn, så betydde detta att närvaron av en okänd i den angivna graden antyddes [100] ; till exempel menade han . Pierre Erigon och skotske matematikern James Hume föreslog placeringsalternativ för exponenten , de skrev i formen respektive [39 ] . $(2)2+1(2)$ $2^{2}+x^{2}$ $x^{4}$ $x4$ $x^{IV}$

Den moderna uppteckningen av exponenten - till höger och ovanför basen - introducerades av Descartes i hans " Geometry " (1637), dock endast för naturliga krafter större än 2 (kvadrering under en lång tid betecknades på det gamla sättet, av produkten). Senare utvidgade Wallis och Newton (1676) den kartesiska skrivformen till negativa och fraktionerade exponenter, vars tolkning vid denna tidpunkt redan var känd från verk av Orem , Shuquet , Stevin , Girard och Wallis själv. I början av 1700-talet var alternativen för att skriva grader "enligt Descartes", som Newton uttryckte det i " Universal Arithmetic ", "omoderna " . Den exponentiella funktionen , det vill säga att höja i varierande grad, förekom först i bokstäver och sedan i Leibniz (1679) skrifter. Att höja sig till en imaginär makt motiverades av Euler (1743) [39] [107] [108] .

${\boldsymbol {\sqrt {x}}}$

Medeltida matematiker (till exempel Pacioli och Cardano ) betecknade kvadratroten med en symbol eller en stiliserad kombination (från latin Radix , rot) [109] . Viss förvirring infördes av det faktum att på 1500-talet förkortningar och ofta betecknade inte bara kvadratroten, utan också roten av ekvationen , det vill säga det önskade värdet av det okända; inte desto mindre användes dessa beteckningar av vissa italienska och spanska matematiker fram till slutet av 1600-talet [110] . $R$ $R_{x}$ $R$ $R_{x}$

Den moderna beteckningen på rottecknet användes första gången 1525 av den tyske matematikern Christoph Rudolph från Kossistskolan [28] . Detta tecken kommer från den stiliserade första bokstaven i samma ord radix . Linjen ovanför det radikala uttrycket ( vinculum ) saknades till en början; den introducerades senare av Descartes (1637) för ett annat syfte (istället för parenteser), och detta särdrag slogs snart samman med rottecknet [35] .

${\boldsymbol {\sqrt[{3}]{x}}}$

Kubroten på 1500-talet kunde betecknas på följande sätt: R x .u.cu (av latin Radix universalis cubica ), det fanns andra alternativ [109] . Med tillkomsten av det moderna tecknet för radikalen, betecknades rötterna av en grad högre än den andra under en tid av invecklade sicksackar bestående av de radikala tecknen "limmade" motsvarande antal gånger, eller av ett märke efter radikalen - till exempel kan det betecknas , där bokstaven C betydde "kubisk", eller Den moderna beteckningen på roten av en godtycklig grad med en indikator längst upp till vänster, Albert Girard (1629) började använda den. Detta format fixades tack vare Newton och Leibniz [35] [111] . ${\sqrt[ {3}]{x}}$ ${\sqrt {Dx))$ ${\sqrt {3:x}}.$

${\boldsymbol {\Sigma ))$

Summtecknet introducerades av Euler 1755 [53] .

${\fet symbol {\Pi ))$

Produktens tecken introducerades av Gauss 1812 i hans arbete med den hypergeometriska serien [56] .

$|x|$

Notationen för det absoluta värdet och för modulen för ett komplext tal uppträdde av Weierstrass 1841. 1903 använde Lorentz samma symbolik för längden på vektorn [112] .

Relationer

${\bold symbol {=}}$

Som ett likhetstecken föreslog matematiker en mängd olika beteckningar: nedsänkt bindestreck, mellanslag, ordet est , förkortningar för ordet "lika" ( aequantur, faciunt ), etc. Den moderna symbolen föreslogs av Robert Record 1557; symbolens inskription var mycket längre än den nuvarande. Författaren förklarade att det inte finns något mer lika i världen än två parallella segment av samma längd. Inledningsvis var storleken på Record-symbolen variabel - tecknet kunde förlängas så att resultatet registrerats efter att det föll i önskad kolumn på arket med beräkningen [57] [113] .

Under en tid hindrades spridningen av Record-symbolen av det faktum att från urminnes tider samma symbol användes för att indikera linjers parallellitet ; i slutändan beslutades det att göra symbolen för parallellism vertikal. I England på 1630-talet antog nästan alla större matematiker, från Harriot till Newton , Record-symbolen, men Viet och Girard använde samma symbol istället för ett minus, och Descartes använde det som ett tecken på att en variabel kan ha vilket tecken som helst. Descartes föreslog en annan symbol för jämlikhet, som påminner om Wallis oändlighetssymbol som dök upp under samma period : Ett ganska exotiskt likhetstecken med tre symboler: försvarats av Erigon (1644); han föreslog också en annan version av tecknet: . Allt detta fördröjde enandet av en så viktig symbol; men under andra hälften av 1600-talet började symbolen för rekordet att slå ut konkurrenter även på det europeiska kontinentet [113] (stödet från Leibniz och bröderna Bernoulli var avgörande) och etablerade sig slutligen under 1700-talet [114 ] . $\infty .$ $2|2$ ${\mathcal {t))$

Många programmeringsspråk använder likhetstecknet som symbol för uppdragsoperatören .

$\cirka$

Tecknet "ungefär lika" uppfanns av den tyske matematikern Sigmund Günther 1882 [57] [115] . Liknande i betydelse och stil användes en symbol bestående av ett likhetstecken och en tilde ovanför den tidigare (1777) av I. Heseler [116] . $\cong ,$

$\neq$

Tecknet "icke lika" påträffas först, troligen av Euler; i alla fall använde han aktivt denna beteckning [54] .

$\mots$

Författaren till tecknet " identiskt lika " är Bernhard Riemann (1857). Samma symbol, enligt Gauss förslag, används i talteorin som ett modulo-jämförelsetecken och i logiken som ett tecken på ekvivalensoperationen [ 117] .

$<\ \>$

Jämförelsemärken introducerades av Thomas Harriot i hans arbete, publicerat postumt 1631. Före honom skrev de med orden: mer , mindre [32] [53] .

$\leqslant \ \ \geqslant$

Icke-strikta jämförelsesymboler föreslogs först av Wallis 1670. Inledningsvis låg stapeln ovanför jämförelsetecknet, och inte under det, som det är nu. Dessa symboler fick allmän spridning efter stöd av den franske fysikern Pierre Bouguer (1734), från vilken de fick en modern form [32] .

$A:B=C:D$

Många beteckningar för andelen föreslogs - Descartes använde notationen som Othred skrev och andra. Till slut vann den moderna symboliken som Leibniz föreslog 1708 [118] segern . $a|b||c|d,$ $AB::CD$

$\ll\;\gg$

Dessa notationer introducerades av Henri Poincaré och Émile Borel (1901) och användes för att indikera att en serie är majoriserad av en annan. Ibland används de i denna snäva betydelse även nu, men oftare betyder de "mycket mindre" och "mycket mer" [32] .

Geometri

$\angle \ \ \perp$

Symbolerna " vinkel " och " vinkelrät " uppfanns 1634 av den franske matematikern Pierre Erigon . Erigons vinkelsymbol liknade en ikon ; den moderna formen, för att undvika förväxling med det tidigare införda mindre tecknet, gavs till den av de engelska matematikerna Seth Ward (1654) och William Oughtred (1657). En rät vinkel betecknades ofta med bokstaven d (från franskans droit 'rak') [119] [43] . $<$

$\|$

Symbolen för parallellism har varit känd sedan antiken, den användes av Heron och Pappus av Alexandria . Till en början såg denna symbol ut som det nuvarande likhetstecknet, men med tillkomsten av det senare, för att undvika förvirring, gav Oughtred (1677), Kersey (1673) och andra matematiker från 1600-talet linjerna som bildar symbolen en vertikal riktning [ 37] [120] .

$30^{\circ }40'50''$

Moderna beteckningar på vinkelenheter ( grader, minuter, sekunder ) finns i Ptolemaios Almagest , men i det medeltida Europa skrevs de istället med orden: gradus, minutes, secundae (helt eller förkortat). Gradsymbolen användes igen 1568 av den franske matematikern och poeten Jacques Peletier ; under det följande decenniet använder Erasmus Reingold , Tycho Brahe och Juan Caramuel redan alla tre vinkeltecken, varefter dessa tecken snabbt kom till allmän användning [121] .

Radianmåttet på vinklar, mer bekvämt för analys , föreslogs 1714 av den engelske matematikern Roger Coates . Själva termen radian myntades 1873 av James Thomson , bror till den berömda fysikern Lord Kelvin . Vissa författare har föreslagit att markera radianvärden med bokstäver eller upphöjd , men dessa förslag har inte fått stöd, även om bokstaven ibland används i verk om geodesi [121] . $\rho$ $R,$ $\rho$

${\widehat {ab}),{\widehat {abc}}$

Den nu allmänt accepterade notationen för cirkelbågar eller en annan kurva användes för första gången i Europa i hans "Treatise on Geometry" av den judiska matematikern från 1100-talet Abraham bar-Hiya ( Savasorda ); detta verk översattes omedelbart till latin av Platon från Tivoli [43] .

$\pi$

John Wallis använde den fyrkantiga symbolen för förhållandet mellan omkretsen och diametern (som anspelar på kvadraten av cirkeln ) eller den hebreiska bokstaven מ ("mem"), också liknande en kvadrat. William Oughtred och Isaac Barrow betecknade detta nummer på följande sätt: : här betecknar den första bokstaven i det grekiska ordet περιφέρεια, ' cirkel ', på samma sätt för diameter , så att hela notationen är en förkortning för "förhållandet mellan omkretsen av en cirkel till dess diameter" [122] . $\Låda$ $\pi /\delta$ $\pi$ $\delta$

Den allmänt accepterade beteckningen bildades först av William Jones i hans avhandling " Synopsis Palmariorum Matheseos " (1706), han hade också i åtanke den första bokstaven i det grekiska namnet för cirkeln. Euler bestämde sig senare för att använda samma förkortning (i sina tidiga skrifter tvekade han mellan bokstäverna c och p ). Eulers arbete på 1740-talet befäste beteckningen [44] . $\pi$

$\sim \ \cong$

Symboler för att indikera likheten eller kongruensen hos geometriska figurer föreslogs av Leibniz i början av 1700-talet. Leibniz kongruenssymbol, till skillnad från den moderna, hade bara en rak linje under tilden; den moderna formen dök upp senare i händerna på flera matematiker [45] .

$\phi$

Notationen för förhållandet mellan det gyllene snittet (de använder också inskriptionen ) föreslogs av den amerikanske matematikern Mark Barr (cirka 1909). Beteckningen går tillbaka till den första bokstaven i namnet på den antika grekiske skulptören Phidias ( annan grekisk Φειδίας ), som enligt vissa arkitekturhistoriker systematiskt använde det gyllene snittet i sina skapelser (dessa påståenden ifrågasätts för närvarande). I den professionella matematiska litteraturen betecknas detta förhållande ofta (från det grekiska τομή 'sektion') [123] [124] . $\phi$ $\varphi$ $\tau$

Talteori

$a\equiv b{\pmod m}$

Symboliken för modulo-jämförelse utvecklades av Gauss , publicerad 1801 i hans Arithmetic Investigations . Den pedantiske Gauss satte en prick efter "mod"-koden, eftersom detta är en förkortning för lat. modulo , men hans anhängare ansåg att pricken var överflödig [125] .

$a\mid b$

Den vertikala stapeln som en symbol för relationen " delar " (eller, vad är detsamma, " delar med ") föreslogs först av Edmund Landau i boken "Elementary Number Theory" (1927); tidigare användes denna symbol ibland av Godfrey Harold Hardy i det opublicerade materialet från hans seminarium [126] . $a$ $b$ $b$ $a$

$\varphi (n)$

Eulers funktion, som spelar en viktig roll i talteorin och allmän algebra , visade sig för Euler 1760, han utsåg sedan dess moderna beteckning som föreslagits av Gauss (1801) [127] . $\pi D,$

$n!\$

En kompakt notation för faktorialet föreslogs av Christian Kramp (1808); tidigare använde Euler [128] symbolen a, medan Gauss, Jacobi och andra använde [129] symbolerna och . ${\displaystyle[n],}$ $\Pi (n)$ $\Pi _{n}$

$[x]$

Heltalsdelsymbolen introducerades av Gauss 1808. Vissa matematiker föredrar att använda notationen E(x) som föreslagits 1798 av Legendre [130] istället .

$\lfloor x\rfloor ,\;\lceil x\rceil$

Två par hörnsymboler, som betyder avrundning uppåt eller nedåt från ett reellt tal till ett heltal, introducerades av Kenneth Iverson 1962 [131] .

$\left({\frac {a}{p}}\right)$

Legendre introducerade symbolen för ett primtal , som fick hans namn, i sin monografi om talteori (1791). En symbol som liknar designen, men definierad för vilket udda nummer som helst, publicerades av Jacobi (1837) [132] . $sid$

Funktioner

$f(x)$

Den första allmänna notationen för funktioner användes av Johann Bernoulli 1718. Under lång tid specificerade matematiker argument utan parentes: parenteser användes endast när det gäller många argument, och även om argumentet var ett komplext uttryck. Ekon från dessa tider är vanliga och nu registreras etc. Men gradvis (för Euler - från 1734, för d'Alembert - från 1754) blev användningen av parentes en allmän regel [133] [134] [135] . $t.ex$ $\sin x,\lg x$

Elementära funktioner

$\log _{a}b,\;\lg ,\;\ln$

Förkortningar dök upp redan på 1600-talet, men fram till slutet av 1800-talet fanns det ingen allmänt accepterad notation för logaritmen - basen ɑ indikerades antingen till vänster och ovanför symbolen , sedan ovanför den. Till slut kom matematiker till slutsatsen att den mest bekväma platsen för basen är under linjen, efter symbolen . Symbolen för den naturliga logaritmen dyker först upp i Irving Stringham (1893) [136] . $\log ,\operatörsnamn {Logg} ,\operatörsnamn {L}$ $\logga$ $\logga$ $\ln$

$\sin ,\operatörsnamn {tg} \ (\tan ),\sec$

Den första förkortade notationen för sinus , tangent och sekant föreslogs av Thomas Fincke (1583), som skrev: sin., tan., sec. ; notation av samma funktioner utan en punkt introducerades av William Oughtred (1632); Men fram till mitten av 1800-talet fortsatte många författare att sätta stopp för notationen av trigonometriska funktioner [137] [138] . Leonhard Euler 1748 använder stavningen med en punkt ( sin., tang., sek. ), och 1753 vägrar han punkten (och tillsammans med tang har han också notationen tg som används i ryskspråkig litteratur) [139] .

$\cos ,\operatörsnamn {ctg} \ (\cot ),\operatörsnamn {cosec} \ (\csc )$

Fincke betecknade cosinus , cotangens och cosecant genom sin.com., tan.com., sec.com (där com är en förkortning för latinskt komplement 'addition'). Bland de många beteckningar som senare föreslagits av olika författare finner vi i Jonas Moore (1674) Cos and Cot., och i Samuel Jake i hans avhandling publicerad 1696 - cos., cot., cosec . Stavningen cos (utan prick) förekommer i Euler 1729 (systematiskt sedan 1753); Abraham Kestner (1758) använder konsekvent beteckningarna cos, cot, cosec [138] [140] . Enligt F. Cajorie förekommer beteckningen csc för cosecant som används i modern västerländsk litteratur i Treatise on Trigonometry av Oliver, Waite och Jones (1881), och beteckningen ctg för cotangens, som har blivit fixerad i rysk litteratur, återfinns först i Arthur Schoenflies (1886) [141] .

$\arcsin$

Sättet att beteckna inversa trigonometriska funktioner med prefixet arc- (från latin arcus 'båge') dök upp med den österrikiske matematikern Karl Scherfer ( tyska Karl Scherffer ; 1716-1783) och fixades tack vare Lagrange . Det var menat att till exempel den vanliga sinusen låter dig hitta ackordet genom att spänna det längs cirkelbågen, och den omvända funktionen löser det motsatta problemet. Fram till slutet av 1800-talet erbjöd de engelska och tyska matematiska skolorna andra notationer: , men de slog inte rot [142] . $\sin ^{-1},{\frac {1}{\sin ))$

$\operatörsnamn {sh} \ (\sinh ),\operatörsnamn {ch} \ (\cosh )$

Den hyperboliska sinus och cosinus introducerades av Vincenzo Riccati (1757), som betecknade dem Sh och Ch . Den moderna notationen ( sh och ch ), liksom th för den hyperboliska tangenten , finns hos William Clifford (1878). Beteckningarna sinh och cosh vanliga i engelsktalande länder går tillbaka till Johann Lambert (1768) [143] . Bland andra föreslagna beteckningar var också sinhyp och coshyp (som används, till exempel, i uppslagsverket Brockhaus och Efron ); dessa två beteckningar är nu ur bruk [144] .

$\operatörsnamn {sgn} (x)$

Användbar i många fall började funktionen sgn( x ) (av latin signum 'tecken') användas i hans föreläsningar av Kronecker (1884), men med en annan beteckning: [ x ] . Den moderna symbolen sgn introducerades av Peano (1908) [145] [146] .

Specialfunktioner

$\Gamma (a),\operatörsnamn {\mathrm {B} } (a,b)$

Modern notation för Euler-integralen av 2:a och 1: a slaget som introducerades av Euler (1729 respektive 1730) föreslogs av: Adrien Marie Legendre (1811) för integralen av 2:a slaget och Jacques Philippe Marie Binet (1839) för integral 1 -städer. Efter det blev termerna " Gammafunktion " och " Betafunktion " [147] [148] utbredda . $\Gamma (a)$ $\operatörsnamn {\mathrm {B} } (a,b)$

$\mathrm {li} ,\mathrm {Si} ,\mathrm {Ci} ,\mathrm {Ei}$

Författaren till notationen li för integrallogaritmen är Johann von Soldner (1809). 1843 introducerade Karl Anton Bretschneider si och ci för integral sinus och integral cosinus . Oskar Schlömilch (1846) modifierade dessa beteckningar till Si och Ci , och introducerade även beteckningen Ei för den integrala exponentialfunktionen [149] .

$\operatörsnamn {\zeta } (s)$

Notationen för Riemann zeta-funktionen (som studerades av Euler och senare av P. L. Chebyshev ), som spelar en avgörande roll i talteorin , föreslogs av Bernhard Riemann 1857 [150] . $\operatörsnamn {\zeta } (s)$

$F(\varphi ,k),\;\,E(\varphi ,k),\;\,\Pi (\varphi ,n,k)$

Notationen för elliptiska integraler av 1:a, 2:a och 3:e slaget (ofullständiga) i Legendres normala form introducerades i huvudsak av Legendre själv (1825); den enda skillnaden mellan hans notation och den moderna är att han betecknade modulen för en elliptisk integral med (den moderna notationen användes först av Carl Jacobi 1829), och han satte variabeln på den sista platsen i listan över argument [ 151] . $F(\varphi ,k),$ $E(\varphi ,k),$ $\Pi (\varphi ,n,k)$ $c$ $k$ $\varphi$

$\operatörsnamn {am} u$

Begreppet amplituden för en elliptisk integral som en funktion invers till en elliptisk integral av 1:a slaget och notationen för den introducerades av Carl Jacobi (1829) [152] . $\varphi =\operatörsnamn {am} u$

$\operatörsnamn {sn} u,\;\operatörsnamn {cn} u,\;\operatörsnamn {dn} u$

Jacobis elliptiska huvudfunktioner - sinus för amplituden sn, cosinus för amplituden cn och delta för amplituden dn - introducerades av Jacobi (1829), som betecknade dem som sin am u , cos am u och Δ am u (bokstaven Δ ersätter uttrycket som Legendre föreslog 1825) . Den mer kompakta notationen sn, cn och dn introducerades av Christoph Gudermann (1838). År 1882 introducerade James Glaisher notationen för ytterligare nio elliptiska funktioner: ns, nc, nd, cs, ds, dc, sc, sd och cd [153] . ${\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi )),$

$\vartheta _{0}(v),\;\dots ,\;\vartheta _{3}(v)$

För att effektivt beräkna elliptiska funktioner, föreslog Jacobi att uttrycka dem som förhållanden mellan thetafunktioner , för vilka han fick representationer som snabbt konvergerande serier av funktioner . Jacobi betecknade ursprungligen theta-funktioner 1862. Karl Weierstrass , som modifierade Jacobis definitioner, introducerade den moderna notationen [153] . $\operatörsnamn {\Theta } (v),$ $\operatörsnamn {\mathrm {H} } (v),$ $\operatörsnamn {\mathrm {H} _{1}} (v),$ $\operatörsnamn {\Theta _{1)) (v);$ $\vartheta _{0}(v),\;\dots ,\;\vartheta _{3}(v)$

$\wp (z),\;\operatörsnamn {\zeta } (z),\;\operatörsnamn {\sigma } (z)$

Weierstrass elliptiska funktion (läs: "pe-funktion"; här - Weierstrass-tecknet , som är en stiliserad bokstav P ) och den närbesläktade Weierstrass-zetafunktionen och Weierstrass-sigmafunktionen introducerades (tillsammans med motsvarande notation) av Karl Weierstrass , som satte dem som grund för sin allmänna teori om elliptiska funktioner , som han förklarade från 1862 vid föreläsningar vid universitetet i Berlin [154] . $\wp (z)$ $\wp$ $\operatörsnamn {\zeta } (z)$ $\operatörsnamn {\sigma } (z)$

$J_{\nu }(x),\;Y_{\nu}(x),\;H_{\nu }^{(1)}(x),\;H_{\nu }^{( 2)}(x)$

Den nu allmänt accepterade beteckningen för Bessel-funktioner av första slaget visas först i Isaac Todhunter (1875) [155] . Notationen för Bessel-funktioner av 2:a slaget (Weber-funktioner) introducerades av Hermann Hankel (1869), och beteckningen för Bessel- funktioner av 3:e slaget (Hankel-funktioner) tillhör Niels Nielsen (1902) [156] . $J_{\nu }(x)$ $Y_{\nu }(x)$ $H_{\nu }^{(1)}(x)$ $H_{\nu }^{(2)}(x)$

$I_{\nu}(x),\;K_{\nu}(x)$

Notationen för modifierade Bessel-funktioner av 1:a slaget föreslogs av Alfred Basset (1886), och för de modifierade Bessel-funktionerna av 2:a slaget (MacDonald-funktioner), notationen under vilken de introducerades 1899 av Hector Macdonald [ 156] bibehålls . $I_{\nu }(x)$ $K_{\nu }(x),$

$\operatörsnamn {Ai} (x),\;\operatörsnamn {Bi} (x)$

Beteckningen Ai för den luftiga funktionen av det första slaget föreslogs 1828 av Harold Jeffreys [157] ; han använde de två första bokstäverna i namnet George Airy , som 1838 var den första att undersöka Airy-ekvationen [158] . 1946 lade Jeffrey Miller till beteckningen Bi för den luftiga funktionen av 2:a slaget , som också blev standard [159] .

$B_{i,m}(x)$

Beteckningen läses som " B-spline av grad m med nummer i " (det antas att denna spline är byggd på noderna Xi , …, Xi + m+1 av något nät ). En allmän definition av B-splines för ett rutnät med slumpmässigt fördelade noder ges av Haskell Currie och Isaac Schoenberg (1947), som i sin artikel [160] kallade dem "basic splines" och använde bokstaven N istället för B . Själva termen "B-spline" introducerades av Schoenberg 1967, varefter även beteckningen ändrades [161] [162] [163] . $B_{i,m}(x)$

$\operatörsnamn {upp} (x)$

Upp - funktionen (läs "ap-funktion"), som historiskt sett blev det första och viktigaste exemplet på atomfunktioner (som är oändligt differentierbara analoger till polynomiska splines [164] ), introducerades med denna beteckning 1971 i artikeln [165] ] av V. L. Rvachev och V. A. Rvachev [166] [167] .

$\delta(x)$

Dirac deltafunktionen δ( x ) , som blev det första exemplet på en generaliserad funktion , introducerades av Paul Dirac i hans 1927 papper [168] [169] [170] [171] . Heaviside (1893) hade dock redan en klar uppfattning om denna funktion och dess huvudsakliga egenskaper , där den förekom som en derivata av Heaviside-funktionen , men fick ingen speciell beteckning [172] .

Linjär algebra

${\bar {a)),{\vec {a)],\mathbf {a} ,{\mathfrak {A)),{\mathfrak {a))$

Begreppet en vektor introducerades i vetenskapen 1847 [173] av William Rowan Hamilton som en del av hans teori om quaternions (efter att ha kallat en quaternion med en noll skalär del en vektor ); han betecknade vektorer med grekiska bokstäver och skalärer med latinska bokstäver. Men redan 1803 använde Lazar Carnot begreppet geometrisk kvantitet , förstod det som huvudsakligen riktade segment och betecknade ett segment med en början vid punkt A och ett slut vid punkt B med hjälp av ett streck överst: AB ; August Ferdinand Möbius föreslog 1827 att representera ett sådant segment som skillnaden B − A . James Clerk Maxwell föredrog att beteckna vektorer med gotiska bokstäver , grundarna av vektoranalys Oliver Heaviside och Josiah Willard Gibbs i fetstil. Nästan alla dessa typer av symbolik finns fortfarande, särskilt fetstil, ett streck eller en pil ovanför bokstaven [59] [174] .

$(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\ \left[\mathbf {a} ,\mathbf {b} \right]$

Begreppen och notationen av operationer på vektorer bildades på 1800-talet av många matematiker, och enandet av notationen har ännu inte uppnåtts. Grassmann skrev ner vektorprodukten i formen (1844) och betecknade den skalära produkten som (1846) eller (1862); den senaste versionen återupplivades oväntat på 1900-talet i form av bra-ket symbolism som introducerades av Dirac (1939) och användes inom kvantmekaniken [175] [176] . Heaviside föredrog den enklaste formen för den skalära produkten , medan Gibbs lade till en lägre punkt mellan operanderna av den skalära produkten, och vektorprodukten skrevs som Hendrik Lorentzs skalär- och vektorprodukter såg ut så här: och Notationen finns först i Olaus Henrici (1903). Beteckningarna på moderna författare varierar oftast de givna alternativen [175] . $\left[\mathbf {a} \mathbf {b} \right]$ $\mathbf {a} \times \mathbf {b}$ $\left[\mathbf {a} |\mathbf {b} \right]$ $\mathbf {a} \mathbf {b} ,$ $\mathbf {a} \times \mathbf {b} .$ $\mathbf {a} .\mathbf {b}$ $\left[\mathbf {a} .\mathbf {b} \right].$ $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$

$\left\|{\bar {a}}\right\|$

Notationen för normen för en vektor dök först upp i Erhard Schmidt (1908) i specialfallet med en norm i rymden . En allmän definition av en norm i ett abstrakt vektorrum gav Stefan Banach i sin artikel "Om operationer på abstrakta mängder..." [177] (1922), där han också använde denna notation [178] . $\left\|{\bar {a}}\right\|$ ${\bar {a}}$ $\ell _{2}$

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\ {\begin{Vmatrix}a&b\\c&d\end{Vmatrix}}\ {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{ vmatrix}}$

Angränsande matriser med två vertikala linjer introducerades av Cayley omkring 1843; nu används ofta parenteser eller hakparenteser istället. Moderna läroböcker omsluter determinanten i enstaka rader, även efter Cayley. Parenteser för matriser användes förmodligen först av den engelske matematikern Cuthbert Edmund Cullis 1913 [179] [180] .

$\Gamma^{k}_{ij}$ eller $\{{\begin{smallmatrix}k\\ij\end{smallmatrix}}\}$

Christoffel-symbolerna , i hjärtat av tensoranalys och allmän relativitet , introducerades av Alvin Bruno Christoffel i ett papper från 1869 som använde notationsformatet ; en variant föreslagen 1923 av George Birkhoff [181] [182] . $\{{\begin{smallmatrix}k\\ij\end{smallmatrix}}\}$ $\Gamma^{k}_{ij}$

$\delta _{s_{1}\dots s_{n}}^{r_{1}\dots r_{n}}$

Kronecker-symbolen , som spelar en stor roll i tensorkalkyl , definierade Kronecker för fallet i en tidning från 1866; 1924 beskrev Francis Murnaghan dess generalisering till en tensor av godtycklig rang [182] . $n=1$

Matematisk analys

$(a,b)\ [a,b]$

Notationen för intervallet av reella tal användes första gången 1909 av den tyske matematikern Gerhard Kovalevsky ; om gränspunkten ingick i intervallet användes vinkelparenteser istället för parenteser. 1921 bytte Hans Hahn ut vinkelfästena med hakparenteser, och denna symbolik slog rot i vetenskapen [63] .

$e$

Standardnotationen för Eulers nummer e = 2,7182818... noterades först av Euler i ett opublicerat manuskript från 1728, och det förekommer igen i hans " Mechanics " (1736) och i många efterföljande verk. Senare kom andra förslag: bokstaven c ( D'Alembert , 1747), ( August de Morgan , 1842), och Benjamin Pierce föreslog invecklade tecken formade som ett gem för konstanter (1859); dessa varianter blev inte populära [183 ] $\epsilon$ $e,\pi$

$\Delta x$

Beteckningen på ett inkrement med en bokstav användes först av Johann Bernoulli (som dock inte gjorde en tydlig skillnad mellan ett inkrement och en differential ) och Euler (1755) [184] [185] . $\Delta$

$o, o$

Infinitesimala symboler användes av den skotske matematikern James Gregory . Newton tog över från honom beteckningen "om små" [186] . Den stora versionen av symbolen i dess moderna betydelse ( "stor" ) dök upp i den andra volymen av Paul Bachmanns Analytic Number Theory (1894). Båda symbolerna populariserades av Edmund Landau i en tidning från 1909 [187] , vilket är anledningen till att de ofta kallas "Landau-symboler" [188] .

${\displaystyle dx\quad {\frac {dy}{dx}}\quad {\frac {d^{n}y}{dx^{n))))$

Notationen dx och dy för differentialerna för ett argument och en funktion introducerades av Leibniz i sin memoarbok "A New Method of Maximums and Minima..." [189] (1684), varefter notationen av derivatan som ett förhållande mellan differentialer dök upp naturligt . I sin memoarbok "Reply to Mr. Bernard Nieventeit..." [190] (1695), betraktar Leibniz också differentialer av högre ordningar och introducerar ganska moderna beteckningar för dem [191] [192] .

${\dot {x}}$

Traditionen att beteckna tidsderivatan med en punkt ovanför bokstaven kommer från Newton (1691) [47] .

$f'(x)$

Den korta beteckningen av derivatan med ett slag går tillbaka till Lagrange , där, till skillnad från Leibniz, det grundläggande analysbegreppet inte var differentialen , utan derivatan [193] .

${\frac {\partial }{\partial x))$

Fram till mitten av 1700-talet framträdde inte registreringen av den partiella derivatsymbolen på något sätt. Euler 1755 föreslog att de partiella derivaten skulle omges inom parentes; denna symbolik hade en viss cirkulation. Den moderna beteckningen påträffades först i artiklar av Condorcet (1770) och Legendre (1786), men fastställdes inte ens av dessa författare. Lagrange försökte olika alternativ - till exempel att indexera derivator: eller att ange inom parentes vilken variabel som differentieras: men denna symbolik var helt klart misslyckad. I flera artiklar av William Hamilton finns en symbol nära den moderna . Den moderna notationen gjordes vanlig av Carl Jacobi (1841) [194] . ${\displaystyle F'_{1))$ $F'(y),$ ${\frac {\delta f}{\delta x))$

$\int \ \iint \ \iiiint$

I tidiga anteckningar använde Leibniz symbolen omn som symbol för integralen . (från latin de omnium , 'totalt' - denna förkortning introducerades av Cavalieri för att beräkna arealer " med metoden för odelbara "). Den moderna beteckningen på integralen, bildad av Leibniz från den stiliserade initialbokstaven i ordet "Summa" ( lat. Summa ), hittades först i ett opublicerat manuskript daterat den 29 oktober 1675, och i tryck förekom det i memoarboken "On Dold geometri och analysen av odelbara ..." (1686); dock ersatte tryckeriet, för att underlätta sitt arbete, den integrerade symbolen med bokstaven i denna första artikel . Johann Bernoulli, i sin korrespondens med Leibniz, föreslog först ett brev som en symbol för integralen, men gick senare med på att acceptera Leibniz-tecknet [195] [196] [197] . I sina första artiklar underströk Leibniz ofta uttrycken för integralen och differentialen, kanske för att visa att dessa var integralsymboler, men övergav senare denna praxis [198] . ${\mathit {f))$ $jag$

Den dubbla integralen över en godtycklig plan domän introducerades av Euler (1769), och den trippel (över volym) integralen användes snart av Lagrange [199] .

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)\ \ \lim _{x\to a+0}f(x)\ \ \varlimsup _{n\to \infty }x_{n))$

Gränssymbolen dök upp 1787 med Simon Lhuillier i följande format: denna beteckning stöddes av Cauchy (1821). Punkten efter lim försvann snart [55] . $\operatörsnamn {lim.} x:a;$

Weierstrass introducerade en beteckning nära den moderna , även om han istället för pilen som är bekant för oss använde likhetstecknet: [200] . Pilen dök upp i början av 1900-talet i händerna på flera matematiker [201] . $\operatorname {Lim} _{x=a}$

Notationen för den ensidiga gränsen föreslogs först av Dirichlet (1837) i formen: Moritz Pasch (1887) introducerade andra viktiga begrepp - de övre och nedre gränserna , som han skrev i formen: resp . Utomlands har denna symbolik blivit standard, och andra beteckningar råder i rysk litteratur: introducerad av Alfred Pringsheim 1898 [202] . $f(a+0),f(a-0).$ $\lim \sup$ $\lim \inf$ $\varlimsup _{n\to \infty }x_{n},\ \varliminf _{n\to \infty }x_{n},$

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$

Designen av en bestämd integral i den form som vi känner till uppfanns av Fourier , som har använt den sedan 1816. Före honom angavs gränserna först verbalt; Euler skrev 1768 ner dem efter integralen inom hakparenteser, i två rader (från/till) [203] [58] .

$\punkt$

Notationen med en cirkel för en krökt integral över en sluten kontur föreslogs 1923 av Kramers [199] .

$f*g$

Asterisknotationen för faltning av funktioner föreslogs först av Vito Volterra 1912 vid hans föreläsningar vid Sorbonne (publicerad ett år senare) [204] .

$\nabla$

Symbolen för denna differentialoperator myntades av William Rowan Hamilton (1853), och namnet " nabla " föreslogs som ett skämt av en av vännerna till den skotske matematikern Tait , en vän till Hamilton, och noterade att formen på detta tecken liknar den assyriska harpan med detta (urgamla grekiska) namn (1892). Termen " Hamilton-operatör " används också [205] .

$\Delta$

Symbolen för Laplace-operatören (" Laplacian "), som är utbredd inom matematisk fysik , dök upp 1833 från den engelske fysikern och matematikern Robert Murphy (Robert Murphy, 1806-1843) [115] . Före honom användes ibland istället den symbol som Fourier [206] föreslagit $\Delta \Phi$ $D\Phi .$

$\mathrm {grad} ,\mathrm {div} ,\mathrm {rot}$

Symboliken för de klassiska differentialoperatorerna för vektoranalys bildades gradvis vid sekelskiftet 1800- och 1900-talet. Begreppet gradient introducerades av William Hamilton så tidigt som 1846, men namnet och den allmänt accepterade beteckningen av termen dök upp runt 1900 i en tysk skola, kanske tack vare Heinrich Weber . Begreppen divergens och curl introducerades av Maxwell i hans arbete med elektromagnetisk fältteori ; termerna och notationen föreslogs av Clifford (1878) [207] .

$\gamma \ C$

Euler-Mascheroni-konstanten introducerades 1735 av Leonhard Euler . Euler betecknade det med bokstaven , och Mascheroni [132] - den beteckning som föreslagits av Bretschneider används ofta nu, eftersom denna konstant är associerad med gammafunktionen [208] . $C$ $A;$ $\gamma ,$

Matematisk logik och mängdlära

I matematisk logik har ett stort antal symboler för logiska operationer föreslagits , och olika författare använde ofta olika notationer för samma operation. En mycket högre grad av enande är karakteristisk för mängdlärans symbolik [209] .

$\land \ \&\ \lor$

George Boole (1854) använde de vanliga multiplikations- och additionstecken för de logiska operationerna av konjunktion och disjunktion . Beteckningar nära moderna föreslogs av Giuseppe Peano (1895); jämfört med de för närvarande använda alternativen var de mer "utjämnade", i form av cirkelbågar. Den moderna disjunktionssymbolen förekommer först i Bertrand Russells "Mathematical Logic Based on Type Theory" [210] (1908), medan konjunktionen där indikeras med en prick på linjen på en linje (disjunktionssymbolen är härledd från latinet vel 'or '; senare uppstod tradition för att beteckna driften av strikt disjunktion [211] ). Den moderna konjunktionssymbolen (det inverterade disjunktionstecknet) föreslogs av Arend Heiting (1930); et- tecken & [64] [212] förblir ett vanligt alternativ för det . $\land ,\ \lor$ $\lor$ $\landa$

I programmeringsspråk använder konjunktion, disjunktion och strikt disjunktion vanligtvis andra notationer (till exempel använder Ada de reserverade orden and, oroch xor[213] , medan C och C++ använder notationen &, |, ^för bitvisa operationer och &&, ||för logiska operationer [214] ).

$\sim \ \lnot$

Logisk negation betecknades av Giuseppe Peano 1897 med en symbol ( tilde ) som liknar ett minus; nu är standarden symbolen nära den som föreslagits av Heyting 1930 [64] [212] . De använder också en horisontell stapel ovanför uttrycket för att beteckna negation, vilket också hittades i Boole och Charles Pierce (1867) [215] . Andra notationer används för negation i programmeringsspråk (till exempel Ada använder det reserverade ordet [213] , medan C och C++ använder notationer för bitvis operation och logisk negation [214] ). $\sim$ $\linte$ not ~!

$\to \ \supset \ \equiv \ \leftrightarrow$

Den första logiska symbolen, som betyder "därför", föreslog av Johann Rahn 1659, den bestod av tre punkter: . Otred (1677) skildrade konsekvensen med två upphöjda prickar. Inverterad symbol: på 1800-talet, ibland ersatt konjunktionen "eftersom" i engelsktalande länder [60] . ${\dot {.\ .))$ ${\dot {}}\,.{\dot {\ \,}}$

Symbolen för implikation föreslogs av David Hilbert (1922). Inte mindre vanligt är tecknet ⊃ , som användes i denna mening även av Giuseppe Peano (1898) och ersatte den tidigare stilen ɔ av detta tecken (som Peano använt sedan 1891). För att beteckna ekvivalens används både symbolen för identitet (som Russell gjorde i det redan nämnda arbetet 1908), och tecknet som föreslagits av Albrecht Becker (1933) [212] [216] . $\till$ $\mots$ $\vänster högerpil$

$\mid \ \downarrow$

Schaeffers slag för att beteckna antikonjunktionens funktion introducerades av Henry Schaeffer , som i sin artikel "A set of five independent postulates ..." [217] (1913) underbyggde möjligheten att konstruera propositionell logik baserad på en enda logisk operation - antikonjunktion [218] . Schaeffers resultat förutsågs dock av Charles Peirce (1880), som i sitt opublicerade verk "Boolean Algebra with One Constant" faktiskt utförde en sådan konstruktion på basis av en annan operation - antidisjunction , som vanligtvis betecknas med ett tecken ( Pearces pil ) [219] [220] . $\mitten$ $\nedåtpil$

$\forall \ \exists$

De första symbolerna för kvantifierare dök upp 1879 i Gottlob Freges begreppskalkyl; Freges notation baserades på en krånglig tvådimensionell notation och användes inte särskilt mycket i framtiden. Därefter föreslogs mer framgångsrika beteckningar; till exempel använde Oscar Mitchell 1883 och Charles Peirce 1885 stora grekiska bokstäver och (termen "kvantifierare" föreslogs också av Peirce) [221] . Den allmänt accepterade beteckningen för den existentiella kvantifieraren var ( Giuseppe Peano , 1897), och för den allmänna kvantifieraren symbolen , bildad av Gerhard Gentzen 1935 i analogi med Peanos symbol; dessa tecken är de inverterade första bokstäverna i de engelska orden Exists 'exists' och All 'all' [222] [223] . $\Pi$ $\Sigma$ $\existerar$ $\för alla$

$\vdash$

Härledningstecknet ( vändkors ) introducerades i huvudsak av Frege (1879) i den redan nämnda boken "Begreppskalkyl" [224] . I modern stil finns den hos Bertrand Russell (1908) [210] .

$\lambda xE$

Uttryck betyder "en funktion som mappar till varje värde i argumentet motsvarande värde för uttrycket " (där beror vanligtvis på ). λ -abstraktionsoperatorn och λ-kalkylen baserad på dess användning föreslogs av Alonzo Church i slutet av 1920-talet (den första publikationen var hans papper [225] 1932, där Church dock fortfarande skrev ; den moderna standardnotationen tog på 1941 ) [226] . $\lambda xE$ $x$ $E$ $E$ $x$ $\lambda x[E]$

$\in \ \cap \ \cup \ \subset \ \supset$

Mängdlärans symbolik var starkt influerad av den matematiska logikens symbolik, nära besläktad med den och redan väl utvecklad i slutet av 1800-talet . Tecknet på medlemskap (ursprungligen en stiliserad bokstav ε på grekiska εστι 'att vara') introducerades av Giuseppe Peano (1889) i hans arbete "Fundamentals of Arithmetic Set forth in a New Way" [227] . Han är också författaren till symbolerna för korsningen och föreningen av uppsättningar (1888). De mängdteoretiska symbolerna "innehåller" och "innehåller" dök upp 1890 med Ernst Schroeder [212] [228] . $\i$

$\aleph \ \omega \c$

På 1880 -talet upptäckte Georg Cantor hierarkin av oändliga mängder och ordnade dem efter kardinalitet . Den minsta av dem - kraften i den naturliga serien - han betecknade den första bokstaven i det hebreiska alfabetet " aleph " med noll index: Kantor betecknade den naturliga seriens ordningsnummer med bokstaven i den sista bokstaven i det grekiska alfabetet . Kardinaliteten av en uppsättning reella tal betecknas vanligtvis med en bokstav (från ordet kontinuum 'kontinuitet') [229] [230] . $\aleph _{0}.$ $\omega,$ $c$

$\varnothing \ \emptyset$

Tecknet för den tomma uppsättningen föreslogs 1939 av André Weil under arbetet i Bourbaki-gruppen med förberedelserna för publicering av boken "Theory of Sets. Sammanfattning av resultat" av avhandlingen "Elements of Mathematics" (en bokstav i det norska alfabetet med samma stil användes som en prototyp av tecknet) [231] . Före 1939 betecknades den tomma uppsättningen ibland med symbolen noll [232] . $\varnothing$

$f\colon X\rightarrow Y$

Notationen för att kartlägga en mängd X till en mängd Y dök upp första gången 1940 i Vitold Gurevichs föreläsningar om relativa homotopigrupper [233] . $f\colon X\rightarrow Y$

$\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$

År 1888 använde Richard Dedekind i artikeln " Was ist und was sollen die Zahlen " symbolen först för mängden naturliga tal och för mängden reella tal . För heltal och komplexa tal föreslog Dedekind symboler respektive. Den moderna allmänt accepterade notationen för uppsättningen heltal användes först av Edmund Landau 1930 (Landau hade ett streck ovanför symbolen Z , som senare avskaffades). Bourbaki , i Algebraic Structures (1942), stödde symbolen och föreslog en notation för fältet rationella tal. Symbolen för fältet av komplexa tal dök upp i en artikel av Nathan Jacobson (1939) och blev allmänt accepterad på 1950 -talet [234] . $\mathbb {N}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {K} ,\mathbb {J}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {\bar {Z))$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {C}$

Andra beteckningar

Procentsymbolen förekom i mitten av 1600-talet i flera källor samtidigt, dess ursprung är oklart. Det finns en hypotes att det härrörde från ett misstag av en sättare, som skrev förkortningen cto (cento, hundradel) som 0/0. Det är mer troligt att detta är ett kursivt kommersiellt märke som uppstod omkring 100 år tidigare [235] .

$C_{n}^{k}\ {n \choose k}\ A_{n}^{k}$

Beteckningen för antalet kombinationer (eller, vad är detsamma, för binomialkoefficienter ) kom 1880 hos den engelske matematikern Robert Potts ( Robert Potts , 1805-1885), den kommer från lat. combinatio - kombination. Samtidigt, i Potts notation, var den övre symbolen placerad till vänster, inte till höger om bokstaven C. I västerländsk litteratur är den andra versionen av beteckningen vanlig: föreslagen av Euler , men den skilde sig också från den moderna till en början: Eulers ordnades om och separerades av en horisontell linje, som en bråkdel. Den notation som nu accepteras i väst standardiserades av den tyske matematikern Andreas von Ettingshausen i boken Combinatorial Analysis (1827), sedan fick de stöd av Josef Ludwig Raabe (1851). Notationen för antalet placeringar föreslogs 1904 av en annan tysk matematiker , Eugen Netto , i analogi med antalet kombinationer [236] [237] . $C_{n}^{k}$ $k$ ${n\choose k},$ $n,k$ $A_{n}^{k}$

$\infty \ +\infty \ -\infty$

Oändlighetssymbolen uppfanns av John Vallis , publicerad 1655 [28] . Två modifieringar av denna symbol dök upp i Weierstrass (1876) och fick bred tillämpning i analys: plus-oändlighet och minus-oändlighet [230] .

$x_{n}$

Indexering för numrering av homogena variabler i dess moderna form introducerades av Newton (1717). Till en början, på grund av typografiska begränsningar, trycktes indexen inte under linjen, utan på samma nivå. Dubbla index (för element av matriser ) introducerades i allmänt bruk av Jacobi (1835) [238] .

${\cancel {0}}\ {\cancel {\mathsf {O}}}$

I ingenjörspraktik används en korsad cirkel för att indikera diametern (tecken Unicode-8960) [239] . När man arbetar med en dator , på grund av risken att förväxla siffran 0 med den latinska eller ryska bokstaven O , fanns det en gång en rekommendation (särskilt relevant när man skriver program på kodningsformulär ) att stryka över noll [240] : (ibland de gjorde tvärtom: vid programmering på en dator streckade " Minsk-32 " över bokstaven O , inte noll [241] ). Teckengeneratorerna för många textterminaler , videoadaptrar för persondatorer och punktmatrisskrivare matar också ut noll i genomstrykning när de arbetar i textläge (vissa skrivare har inbyggda omkopplare för att aktivera och inaktivera noll-överstruket läge) [242] [ 243] . I moderna datorteckensnitt är bokstaven O märkbart bredare än noll, så genomstrykning krävs vanligtvis inte. ${\avbryt {0}}$

Se även

Anteckningar

Kommentarer

↑ I N. V. Alexandrovas bok är ändhörnet felaktigt avbildat, se fotokopian av sidan i Bombellis bok i boken: Cajori F. , vol. 1, 144 §.

Källor

↑ Mazur J., 2014 , kapitel 20. Rendezvous in the Mind.
↑ Yushkevich A.P. Leibniz och grunden för infinitesimal kalkyl // Uspekhi matematicheskikh nauk . - Ryska vetenskapsakademin , 1948. - T. 3 , nr 1 (23) . - S. 155-156 . (ryska)
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §199.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §639.
↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 12-13.
↑ 1 2 History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 21.
↑ Gardiner Alan H. Egyptisk grammatik: att vara en introduktion till studiet av hieroglyfer 3:e upplagan, rev. London: 1957, sid. 197.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §200.
↑ O'Connor JJ, Robertson EF En översikt över babylonisk matematik . Hämtad 23 december 2015. Arkiverad från originalet 5 oktober 2008. (obestämd)
↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 42.
↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 157-161.
↑ Martzloff, Jean-Claude. . En historia av kinesisk matematik . - Springer, 1997. - S. 197-200 . — ISBN 3-540-33782-2 .
↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 62-64.
↑ 1 2 3 Aleksandrova N.V., 2008 , sid. 48-50.
↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 144-145.
↑ Bashmakova I. G. . Diofantiska och diofantiska ekvationer. - M . : Nauka, 1972 (reprint M .: LKI, 2007). — 68 s.
↑ Volodarsky A.I. Matematik i det antika Indien // Historisk och matematisk forskning . - M . : Nauka , 1975. - Nr 20 . - S. 289 .
↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 181-183.
↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 188-189.
↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 185-186, 189.
↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 252.
↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 212-214, 227.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §134, 135.
↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 286-290.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §122, 130.
↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 290-291.
↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 301-304, 306.
↑ 1 2 3 4 5 6 Mathematical Encyclopedia, 1979 .
↑ 1 2 History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 308-311.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §176.
↑ History of Mathematics, volym II, 1970 , sid. 22-23.
↑ 1 2 3 4 Aleksandrova N. V., 2008 , sid. 111-112.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §188.
↑ 1 2 Aleksandrova N.V., 2008 , sid. 127.
↑ 1 2 3 History of Mathematics, volym II, 1970 , sid. 41.
↑ 1 2 3 Aleksandrova N.V., 2008 , sid. 141.
↑ 1 2 3 Aleksandrova N.V., 2008 , sid. 123.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §185.
↑ 1 2 3 Aleksandrova N.V., 2008 , sid. 130-131.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §315.
↑ 1 2 History of Mathematics, volym II, 1970 , sid. 40-46.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §392.
↑ 1 2 3 History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §359.
↑ 1 2 History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §396-397.
↑ 1 2 History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §372.
↑ History of Mathematics, volym II, 1970 , sid. 234-237, 266.
↑ 1 2 3 Aleksandrova N.V., 2008 , sid. 142-143.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §622.
↑ History of Mathematics, volym II, 1970 , sid. 255-257, 266.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , sid. 45-46.
↑ Mazur J., 2014 , kapitel 18. Symbolmästaren.
↑ 1 2 Aleksandrova N.V., 2008 , sid. 54.
↑ 1 2 3 Encyklopedisk ordbok för en ung matematiker, 1985 .
↑ 12 Rouse Ball W.W. En kort redogörelse för matematikens historia. 4:e uppl . - Dover Publications, 2010. - 522 sid. — (Dover böcker om matematik). - ISBN 978-0486206301 . — S. 242.
↑ 1 2 Hairer E., Wanner G. . Matematisk analys i ljuset av dess historia. - M . : Scientific world, 2008. - 396 sid. - ISBN 978-5-89176-485-9 . - S. 172.
↑ 1 2 History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , sid. 78-79 ($451).
↑ 1 2 3 Aleksandrova N.V., 2008 , sid. 150-151.
↑ 1 2 Aleksandrova N.V., 2008 , sid. 63.
↑ 1 2 Aleksandrova N.V., 2008 , sid. 22-23.
↑ 1 2 History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §667-670.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §677-678.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §685-691.
↑ 1 2 Aleksandrova N.V., 2008 , sid. 67.
↑ 1 2 3 History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , sid. 281-314.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §695.
↑ Orlov S. A. Teori och praktik för programmeringsspråk: En lärobok för universitet. 3:e generationens standard. - M. : Piter, 2013. - S. 148-149. — 688 sid. - ISBN 978-5-496-00032-1 .
↑ Akimov P. A., Kaitukov T. B., Mozgaleva M. L., Sidorov V. N. Konstruktionsinformatik . - M. : ASV, 2014. - S. 56. - 432 sid. - ISBN 978-5-4323-0066-9 .
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , sid. 214-215.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , sid. 114.
↑ Chrisomalis S. Numerisk notation: A Comparative History . - Cambridge: Cambridge University Press , 2010. - ix + 486 sid. - ISBN 978-0-521-87818-0 . — S. 195.
↑ Joseph G.G. The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. 3:e upplagan . - Princeton: Princeton University Press , 2011. - xxvii + 561 sid. - ISBN 978-0-691-13526-7 . — S. 339.
↑ Pushkin A. S. . Kompletta verk . - M . : Pravda, 1954. - T. 5. - S. 286.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §96.
↑ Jean-Claude Martzloff. En historia av kinesisk matematik. - Springer, 1997. - ISBN 3-540-33782-2 .
↑ Berggren J. Lennart. . Matematik i medeltida islam // Matematik i Egypten, Mesopotamien, Kina, Indien och Islam: En källbok . - Princeton: Princeton University Press, 2007. - s . 518 . - ISBN 978-0-691-11485-9 .
↑ Guter R. S., Polunov Yu. L. . John Napier, 1550-1617 — M .: Nauka , 1980. — 226 sid. — (Vetenskaplig och biografisk litteratur). - S. 197-204.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §276-277.
↑ Zeiten G. G., 1938 , sid. 136.
↑ 1 2 History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §186, 195, 282.
↑ Glazer G.I., 1981 , sid. 43.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §286-288.
↑ 1 2 History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §91.
↑ Internationella enhetssystemet (SI) . Tillträdesdatum: 30 december 2015. Arkiverad från originalet 4 mars 2016. (obestämd) : "Efter den 9 :e CGPM (1948, resolution 7) och den 22:e CGPM (2003, resolution 10), för siffror med många siffror kan siffrorna delas in i grupper om tre med ett tunt mellanslag för att underlätta läsningen. Varken punkter eller kommatecken infogas i mellanrummen mellan grupper om tre".
↑ Del 0: Allmänna principer, Sect. 3.3 // Internationell standard ISO 31-0: Kvantiteter och enheter. — Genève: International Organization for Standardization , 1992.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §212.
↑ Mazur J., 2014 , kapitel 17. En katalog över symboler.
↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 42, 144-145, 308-310.
↑ History of Mathematics, volym II, 1970 , sid. 22, 40-41.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §340-341.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §498-500.
↑ Hexadecimal . Tillträdesdatum: 21 februari 2016. Arkiverad från originalet 4 mars 2016. (obestämd)
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §201-209.
↑ Cardanos Ars Magna, sida 4 . Tillträdesdatum: 8 oktober 2013. Arkiverad från originalet 19 augusti 2014. (obestämd)
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , sid. 126-127.
↑ 1 2 History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §217, 232-233.
↑ Accelererade multiplikationstekniker (2 mars 2008). Tillträdesdatum: 12 januari 2016. Arkiverad från originalet 5 mars 2016. (obestämd)
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §218-230.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §235-239.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , sid. 40.
↑ 1 2 History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §164.
↑ Dela symboler (engelska) (länk ej tillgänglig) . Hämtad 22 augusti 2015. Arkiverad från originalet 14 maj 2011.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §161.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , sid. 170-171.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §195, 342-350.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §210.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §290-297.
↑ Glazer G.I., 1982 , sid. 59-60.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §298-301, 307-309.
↑ 1 2 Nikiforovsky V. A. . Från algebrans historia på 1500- och 1600-talen. — M .: Nauka , 1979. — 208 sid. — (Vetenskapens och teknikens historia). - S. 81.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §318-321.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §328-333.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , sid. 22-23, 106, 218.
↑ 1 2 History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §260-268.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , sid. 139.
↑ 12 Math4school . _
↑ Ben-Menahem A., 2007 , sid. 5503.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , sid. 173, 183.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , sid. 144.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , sid. 120, 190.
↑ De tidigaste användningarna av symboler från geometri . Hämtad 22 augusti 2015. Arkiverad från originalet 2 november 2015.
↑ 1 2 History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §514-515.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , sid. 124-125.
↑ Livio M. Det gyllene snittet: Berättelsen om Phi, världens mest häpnadsväckande nummer . - NY: Broadway Books , 2002. - viii + 294 sid. — ISBN 0-7679-0815-5 . - S. 5-6, 72-75.
↑ Sen SK, Agarwal RP Gyllene snittet inom vetenskap, som slumpmässig sekvenskälla, dess beräkning och vidare // Datorer och matematik med applikationer . - 2008. - Vol. 56, nr. 2. - P. 469-498. - doi : 10.1016/j.camwa.2007.06.030 .
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §408.
↑ Paul Pollack. De tidigaste användningarna av symboler för talteori (länk otillgänglig) . Hämtad 22 oktober 2017. Arkiverad från originalet 31 januari 2010. (obestämd)
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §409.
↑ Donald Knuth . Konsten att programmera, volym I. Grundläggande algoritmer. - M .: Mir , 1976. - S. 81. - 736 sid.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , sid. 199-200.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , sid. fjorton.
↑ Knut D. Konsten att programmera. T. 1. Grundläggande algoritmer. — M .: Mir , 1976. — 735 sid. - S. 68.
↑ 1 2 History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §407.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §643-646.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , sid. 204-205.
↑ Läsare om matematikens historia. Matematisk analys. Theory of Probability, 1977 , sid. 82.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §469-471.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , sid. 150, 158, 170.
↑ 1 2 Tidigast användningar av symboler för trigonometriska och hyperboliska funktioner . Tillträdesdatum: 7 januari 2016. Arkiverad från originalet 5 mars 2016. (obestämd)
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , sid. 166.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , sid. 150, 163, 166.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , sid. 170.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , sid. 210-211.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , sid. 172-174.
↑ Hyperboliska funktioner // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 volymer (82 volymer och 4 extra). - St Petersburg. 1890-1907.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §211.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , sid. 168.
↑ Ben-Menahem A., 2007 , sid. 5503-5504.
↑ De tidigaste användningarna av funktionssymboler . Hämtad 8 januari 2016. Arkiverad från originalet 30 november 2015. (obestämd)
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , sid. 280-281.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , sid. 278.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , sid. 272-275.
↑ Solomentsev E. D. . Amplituden för den elliptiska integralen // Mathematical Encyclopedia. Vol 1 / Kap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Sovjetiskt uppslagsverk , 1977. - 1152 stb. - Stb. 243.
↑ 1 2 Solomentsev E. D. . Jacobi elliptiska funktioner // Mathematical Encyclopedia. T. 5 / Kap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Sovjetiskt uppslagsverk , 1985. - 1248 stb. - Stb. 1054-1058.
↑ Solomentsev E. D. . Weierstrass elliptiska funktioner // Mathematical Encyclopedia. Vol 1 / Kap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Sovjetiskt uppslagsverk , 1977. - 1152 stb. - Stb. 621-624.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , sid. 279.
↑ 1 2 Watson G. N. . Teori om Bessel funktioner. Del 1. - M. : IIL , 1949. - 798 sid. - s. 70-71, 88, 92.
↑ Vallee O., Soares M. . Luftiga funktioner och tillämpningar för fysik . - London: Imperial College Press , 2004. - x + 194 s. — ISBN 1-86094-478-7 . — S. 4.
↑ Fedoryuk M. V. . Luftiga funktioner // Mathematical Encyclopedia. T. 5 / Kap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Sovjetiskt uppslagsverk , 1985. - 1248 stb. - Stb. 939-941.
↑ Luftig funktion Ai: Introduktion till de luftiga funktionerna . // Wolfram Functions Site. Hämtad 5 februari 2016. Arkiverad från originalet 3 juni 2016. (obestämd)
↑ Curry H. B. , Schoenberg I. J. Om splinefördelningar och deras gränser: Pólya-distributionens funktioner // Bulletin of the American Mathematical Society . - 1947. - Vol. 53, nr. 11. - P. 1114.
↑ Tikhomirov V. M., 1987 , sid. 190.
↑ Zavyalov Yu. S., Leus V. A., Skorospelov V. A. . Splines i teknisk geometri. - M . : Mashinostroenie, 1985. - 224 sid. - S. 46-47.
↑ De Bohr K. . En praktisk guide till splines. - M . : Radio och kommunikation, 1985. - 304 sid. - S. 86-87, 91.
↑ Kravchenko V. F. . Föreläsningar om teorin om atomfunktioner och några av deras tillämpningar. - M . : Radioteknik, 2003. - 510 sid. — ISBN 5-93108-019-8 . - S. 272.
↑ Rvachov V. L. , Rvachov V. O. Om en finit funktion // DAN URSR. Ser. A. - 1971. - Nr 8 . - S. 705-707 .
↑ Tikhomirov V. M., 1987 , sid. 202-203.
↑ Teori om R -funktioner och faktiska problem i tillämpad matematik / Otv. ed. V. I. Mossakovsky. - Kiev: Naukova Dumka , 1986. - 264 s. - S. 46.
↑ Dirac P.A.M. The Physical Interpretation of the Quantum Dynamics // Proceedings of the Royal Society . - 1927. - Vol. 113. - P. 621-641.
↑ Dirac P.A.M. Quantum Theory of the Emission and Absorption of Radiation // Proceedings of the Royal Society . - 1927. - Vol. 114. - S. 243-265.
↑ Egorov Yu. V. Om teorin om generaliserade funktioner // Framsteg i matematiska vetenskaper . - Ryska vetenskapsakademin , 1990. - T. 45, nr. 5 . - S. 3-40 . (ryska)
↑ Bernstein J. . En kör av klockor och andra vetenskapliga undersökningar . - Singapore: World Scientific , 2014. - xii + 274 sid. — ISBN 978-9-81-457894-3 . - S. 70-71.
↑ Lützen J. . Förhistorien om distributionsteorin . - NY: Springer Science & Business Media , 2012. - viii + 232 sid. - (Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Vol. 7). — ISBN 978-1-4613-9474-7 . - S. 115-116.
↑ Bogolyubov A. N. . Matematik. Mekanik. Biografisk guide . - Kiev: Naukova Dumka, 1983. - 639 s. - S. 118.
↑ Glazer G.I., 1983 , sid. 91.
↑ 1 2 History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §506, 509.
↑ Hall B.C. Kvantteori för matematiker . - NY: Springer Science & Business Media , 2013. - xvi + 553 sid. - (Kandidattexter i matematik. Vol. 267). — ISBN 978-1-4614-7115-8 . — S. 85.
↑ Banach S. Sur les operations dans les ensembles abstraits et leur application aux equations intégrales // Fundamenta Mathematicae . - 1922. - Vol. 3. - S. 133-181.
↑ Megginson R. E. . En introduktion till Banachs rymdteori . - NY: Springer Science & Business Media , 2012. - xix + 598 sid. - (Kandidattexter i matematik. Vol. 183). - ISBN 978-1-4612-0603-3 . - P. ix-x.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , sid. 97.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §462.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §510.
↑ 1 2 Aleksandrova N.V., 2008 , sid. 168.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §400-401.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , sid. 45, 153.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §572.
↑ History of Mathematics, volym II, 1970 , sid. 234, fotnot 2.
↑ Landau E. . Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen . - Leipzig: Teubner, 1909. - xviii + 961 S. - S. 883.
↑ Narkiewicz W. . Utvecklingen av primtalsteorin: Från Euklid till Hardy och Littlewood . - NY: Springer Science & Business Media , 2013. - xii + 449 sid. — ISBN 978-3-662-13157-2 . - P. xi.
↑ Leibniz G. W. Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas, nec irrationales quantitates moratur, & singulare pro illis calculi genus // Acta Eruditorum . - 1684. - Vol. 3. - P. 467-473.
↑ Leibniz G. W. Responsio ad nonnullas besvärar en Dn. Bernardo Niewentijt circa methodum differentialem seu infinitesimalem motas // Acta Eruditorum . - 1695. - S. 310-316.
↑ Rybnikov K. A. . Matematikens historia. 2:a uppl. - M . : Moscow State Universitys förlag, 1974. - 456 s. - S. 182-183.
↑ Bos H. J. M. Differentialer, högre ordningens differentialer och derivatan i den Leibniziska kalkylen // Archive for History of Exact Sciences . - 1974. - Vol. 14, nr. 1. - P. 1-90.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §575.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §593-611.
↑ Leibniz G. W. De geometria recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum // Acta Eruditorum . - 1686. - Vol. 5. - S. 292-300.
↑ Durán, Antonio H. Sanningen vid gränsen. Analys av infinitesimals. - M. : De Agostini, 2014. - S. 86. - 144 sid. — (Matematikens värld: i 45 band, band 14). - ISBN 978-5-9774-0708-3 .
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , § 620.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §539-541.
↑ 1 2 Aleksandrova N.V., 2008 , sid. 58-59.
↑ Yushkevich A.P. Utveckling av begreppet gräns före K. Weierstrass // Historisk och matematisk forskning . - M . : Nauka , 1986. - Nr 30 . - S. 76 .
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , sid. 133-135.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §631-637.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §626.
↑ Domínguez A. A History of the Convolution Operation // IEEE Pulse. - 2015. - Vol. 6, nr. 1. - S. 38-49.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , sid. 107-108.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §592.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , sid. 37, 44, 158.
↑ Carl Anton Bretschneider. Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova (13 oktober 1835) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 1837. - Vol. 17. - S. 257-285.
↑ Kondakov N.I., 1975 , sid. 534-540.
↑ 1 2 Russell B. Matematisk logik baserat på teorin om typer // American Journal of Mathematics . - 1908. - Vol. 30, nej. 3. - P. 222-262.
↑ Kondakov N.I., 1975 , sid. 150.
↑ 1 2 3 4 Tidigast användningar av symboler för mängdteori och logik . Datum för åtkomst: 17 december 2015. Arkiverad från originalet den 10 april 2015. (obestämd)
↑ 1 2 Wegner P. . Programmering på Ada-språket. — M .: Mir , 1983. — 240 sid. - S. 68.
↑ 1 2 Ellis M. , Stroustrup B. . En referensguide till programmeringsspråket C++ med kommentarer. — M .: Mir , 1992. — 445 sid. — ISBN 5-03-002868-4 . - S. 65, 86-87.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , sid. 291.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , sid. 299, 301.
↑ Sheffer H. M. En uppsättning av fem oberoende postulat för booleska algebror, med tillämpning på logiska konstanter // Transactions of the American Mathematical Society . - 1913. - Vol. 14. - s. 481-488.
↑ Kondakov N.I., 1975 , sid. 43, 672-673.
↑ Styazhkin N.I., 1967 , sid. 443-444.
↑ Kondakov N.I., 1975 , sid. 42, 571.
↑ Styazhkin N.I., 1967 , sid. 357, 429-430, 438.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , sid. 72.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , sid. 293-314.
↑ Kondakov N.I., 1975 , sid. 102.
↑ Church A. En uppsättning postulat för grunden för logiken // Annals of Mathematics. Serie 2. - 1932. - Vol. 33, nr. 2. - s. 346-366.
↑ Seldin J. P. . The Logic of Church and Curry // Logic from Russell to Church / Ed. av DM Gabbay & J. Woods. - Amsterdam: North-Holland , 2009. - xii + 1055 s. - (Handbok i logikens historia. Vol. 5). — ISBN 978-0-444-51620-6 . - s. 819-874.
↑ Marciszewski W., Murawski R. . Mekanisering av resonemang i ett historiskt perspektiv . - Amsterdam: Rodopi, 1995. - 267 sid. — (Poznań Studies in the Philosophy of the Sciences and the Humanities, vol. 43). — ISBN 90-5183-790-9 . - S. 162-163.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , sid. 294.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , sid. 104-106.
↑ 1 2 History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §421.
↑ Weil A. . En matematikers lärlingsutbildning . - Basel: Birkhäuser Verlag, 1992. - 197 sid. — ISBN 3-7643-2650-6 . — S. 114.
↑ Hausdorf F. Uppsättningsteori. - M. - L. : GITTL, 1937. - S. 10. - 305 sid.
↑ Maclane S. . Kategorier för den arbetande matematikern . - NY: Springer-Verlag , 1971. - ix + 261 sid. - (Examinerade texter i matematik. Vol. 5). - ISBN 978-0-387-90036-0 . — S. 29.
↑ Tidigast användningar av symboler av talteorin . Hämtad 3 april 2021. Arkiverad från originalet 16 april 2021. (obestämd)
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , sid. 148.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , sid. 74-75.
↑ Donald Knuth . Konsten att programmera, volym I. Grundläggande algoritmer. - M .: Mir , 1976. - S. 85. - 736 sid.
↑ Aleksandrova N. V., 2008 , sid. 56-57.
↑ Bolshakov V.P., Tozik V.T., Chagina A.V. . Teknik och datorgrafik . - St Petersburg. : BHV-Petersburg, 2013. - 288 sid. - ISBN 978-5-9775-0422-5 . - S. 90.
↑ Brich Z. S., Voyush V. I., Degtyareva G. S., Kovalevich E. V. . Programmering i Assembler Language ES Computer. — M .: Statistik, 1976. — 296 sid. - S. 13-14, 19.
↑ Kulakovskaya V.P., Romanovskaya L.M., Savchenko T.A., Feldman L.S.. Kobol dator Minsk-32. Ersättning till anställda vid datacentraler. - M . : Statistik, 1973. - 284 sid.
↑ Bryabrin V. M. . Programvara för persondatorer. 3:e uppl. — M .: Nauka , 1990. — 272 sid. — ISBN 5-02-014824-5 . - S. 17, 113-114.
↑ Smirnov N. N. . Programvara för persondatorer. - L . : Mashinostroenie, 1990. - 272 sid. — ISBN 5-217-00029-5 . - S. 13, 80-81.

Litteratur

Alexandrova N. V. . Historia om matematiska termer, begrepp, beteckningar: Ordboksuppslagsbok. - 3:e uppl. - St Petersburg. : LKI, 2008. - 248 sid. - ISBN 978-5-382-00839-4 .
- Återutgivning 2015: URSS, ISBN 978-5-382-01578-1 .
Bashmakova I. G. . Bildning av algebra (från matematiska idéhistoria). - M . : Kunskap, 1979. - 64 sid. - (Mathematics, Cybernetics, nr 9 (1979)).
Vileitner G. En historia av matematik från Descartes till mitten av 1800-talet . - M. : GIFML, 1960. - 468 sid. - S. 13-17.
Glazer G. I. . Matematikens historia i skolan. IV - VI klasser. - M . : Education , 1981. - 239 sid.
Glazer G. I. . Matematikens historia i skolan. VII - VIII klasser. - M . : Education , 1982. - 240 sid.
Glazer G. I. . Matematikens historia i skolan. IX-X klasser. - M . : Education , 1983. - 351 sid.
Depman I. Ja. Aritmetikens historia. En guide för lärare. 2:a uppl . - M . : Education , 1965. - 416 sid. - S. 208-212.
Matematiska tecken // Stora sovjetiska uppslagsverket . - Ed. 3:a. - T. 9.
Matematiska tecken // Mathematical Encyclopedia. Vol 2 / Kap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Sovjetiskt uppslagsverk , 1979. - 1104 stb. - Stb. 457-463.
Matematiska tecken // Encyclopedic Dictionary of a Young Mathematician / Comp. A.P. Savin. - M . : Pedagogy , 1985. - 352 sid. - S. 114-116.
Matematikens historia redigerad av A. P. Yushkevich i tre volymer:
- Matematikens historia. T. I. Från antiken till början av New Age / Redigerad av A. P. Yushkevich. — M .: Nauka , 1970. — 352 sid.
- Matematikens historia. T. II. Matematik på 1600-talet / Redigerad av A.P. Yushkevich. — M .: Nauka , 1970. — 301 sid.
- Matematikens historia. T. III. Matematik på 1700-talet / Redigerad av A.P. Yushkevich. — M .: Nauka , 1972. — 496 sid.
Kondakov N.I. Logisk ordbok-uppslagsbok. 2:a uppl . — M .: Nauka , 1975. — 720 sid.
Cajorie F. Grundläggande matematiks historia. 2:a uppl . / Per. från engelska. ed. I. Yu Timchenko. - Odessa: Mathesis, 1910. - x + 368 sid.
Styazhkin N. I. . Bildande av matematisk logik. — M .: Nauka , 1967. — 508 sid.
Tikhomirov V. M. . Approximationsteori // Moderna matematikproblem. grundläggande riktningar. T. 14. - M. : VINITI AN SSSR , 1987. - 272 sid. - S. 103-260.
Läsare om matematikens historia. Aritmetik och algebra. Talteori. Geometri / Ed. A.P. Jusjkevitj. - M . : Education , 1976. - 318 sid.
Läsare om matematikens historia. Matematisk analys. Sannolikhetsteori / Ed. A.P. Jusjkevitj. - M . : Education , 1977. - 224 sid.
Zeiten G. G. . Matematikens historia på 1500- och 1600-talen. - M. - L. : ONTI, 1938. - 456 sid.
Ben-Menahem A. Historical Encyclopedia of Natural and Mathematical Sciences. Vol. 1 . - Berlin: Springer-Verlag , 2007. - cxxix + 5985 sid. - ISBN 978-3-540-68831-0 .
Cajori F. . En historia av matematiska notationer. Vol. 1 (1929 nytryck) . - NY: Cosimo, Inc., 2007. - xvi + 456 sid. — ISBN 978-1-60206-684-7 .
Cajori F. . En historia av matematiska notationer. Vol. 2 (1929 nytryck) . - NY: Cosimo, Inc., 2007. - xii + 392 sid. - ISBN 978-1-60206-713-4 .
Mazur J. . Upplysande symboler: en kort historia om matematisk notation och dess dolda krafter. - Princeton: Princeton University Press, 2014. - 312 sid. — ISBN 978-0-69115-463-3 .

Länkar

Matematiska tecken . Hämtad: 30 december 2015. (obestämd)
Cižmár, Jan. Ursprunget och utvecklingen av matematisk notation (A historical outline) (engelska) . Hämtad: 4 februari 2016.
De tidigaste användningarna av olika matematiska symboler . Hämtad: 17 december 2015.
Michon, Gerard P. Vetenskapliga symboler och ikoner . Hämtad: 17 december 2015.
Weaver D., Smith AD The History of Mathematical Symbols (engelska) . Tillträdesdatum: 23 januari 2016. Arkiverad från originalet 20 februari 2001.

Matematikens historia
Länder och epoker	förhistorisk period Forntida Egypten Babylon Gamla Kina Antikens Grekland Indien Armenien Inkariket islamiska länder Ryssland
Tematiska avsnitt	Algebra Analytisk geometri Aritmetisk Variationskalkyl Geometri Differentialgeometri och topologi Kombinatorik Kryptografi Linjär algebra Logaritmer Matematisk analys Icke-euklidisk geometri Sannolikhetsteori mängdteori Topologi Trigonometri funktionell analys
se även	oändligt liten Riktiga nummer Irrationella siffror Komplexa tal Matematisk notation Fortsättning bråk Negativa tal Funktioner

Matematiska tecken

Plus ( + )
Minus ( - )
Multiplikationstecken ( · eller × )
Divisionsskylt ( : eller / )
Obelus ( ÷ )
Rottecken ( √ )
Faktoriell ( ! )
Heltecken ( ∫ )
Nabla ( ∇ )
Likhetstecken ( = , ≈ , ≡ etc. )
Ojämlikhetstecken ( ≠ , > , < etc. )
Proportionalitet ( ∝ )
Hakparenteser ( ( ) , [ ] , ⌈ ⌉ , ⌊ ⌋ , { } , ⟨ ⟩ )
Vertikal streck ( | )
snedstreck, snedstreck ( / )
Omvänt snedstreck, omvänt snedstreck ( \ )
Oändlighetstecken ( ∞ )
Gradtecken ( ° )
Stroke ( ′ , ″ , ‴ , ⁗ )
Asterisk ( * )
Procent ( % )
Ppm ( ‰ )
Tilde ( ~ )
Karet ( ^ )
Circumflex ( ˆ )
Plus-minus ( ± )
Minustecken ( ∓ )
Decimalavgränsare ( , eller . )
Slut på bevistecken ( ∎ )