Notation

Talsystem i kulturen
indo-arabiska
Arabiska tamilska burmesiska	Khmer Lao Mongoliska Thai
Öst asiat
kinesiska japanska Suzhou koreanska	Vietnamesiska räknepinnar
Alfabetisk
Abjadia Armeniska Aryabhata kyrilliska grekiska	georgiska etiopiska judiska Akshara Sankhya
Övrig
Babyloniska egyptiska etruskiska romerska Donau	Attic Kipu Mayan Egeiska KPPU-symboler
positionella
2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 10 , 12 , 16 , 20 , 60
Nega-positionell
symmetrisk
blandade system
Fibonacci
icke-positionell
Singular (unär)

Talsystemet ( engelsk numeral system eller system of numeration ) är en symbolisk metod för att skriva siffror , som representerar siffror med skrivna tecken .

Notering:

ger representationer av en uppsättning tal ( heltal och/eller reella );
ger varje nummer en unik representation (eller åtminstone en standardrepresentation);
återspeglar den algebraiska och aritmetiska strukturen hos tal.

Nummersystem är indelade i:

positional ( eng. positional system , place-value notation );
icke-positionell;
blandad.

Positionsnummersystem

I positionsnummersystem har samma siffertecken ( siffra ) i en sifferinmatning olika betydelser beroende på platsen ( siffran ) där det finns. Uppfinningen av positionsnumrering baserad på den lokala betydelsen av siffrorna tillskrivs sumererna och babylonierna ; en sådan numrering utvecklades av hinduerna och fick ovärderliga konsekvenser i den mänskliga civilisationens historia. Dessa system inkluderar det moderna decimaltalssystemet , vars uppkomst är förknippad med att räkna på fingrarna. I det medeltida Europa dök den upp genom italienska köpmän, som i sin tur lånade den av araberna.

Positionsnummersystemet förstås vanligtvis som det -ary talsystemet, som definieras av ett heltal , som kallas basen av talsystemet. Ett heltal utan tecken i det -ary talsystemet representeras som en finit linjär kombination av potenser av talet : $b$ $b>1$ $x$ $b$ $b$

x=\summa _{k=0}^{n-1}a_{k}b^{k}

, där är heltal, kallade siffror , som uppfyller olikheten .

a_{k}

0\leq a_{k}\leq (b-1)

Varje grad i en sådan post kallas kategorins viktningsfaktor . Ancienniteten för siffrorna och deras motsvarande siffror bestäms av värdet på indikatorn (siffernummer). Vanligtvis utelämnas inledande nollor i siffror som inte är noll. $b^{k}$ $k$

Om det inte finns några avvikelser (till exempel när alla siffror presenteras i form av unika skrivna tecken), skrivs numret som en sekvens av dess -ary-siffror, listade i fallande prioritetsordning för siffror från vänster till höger: $x$ $b$

x=a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0}.

Till exempel representeras talet hundra tre i decimaltalsystemet som:

103=1\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+3\cdot 10^{0}.

De vanligaste positionssystemen är:

2 - binär (i diskret matematik , datavetenskap , programmering );
3 - ternär ;
8 - oktal ;
10 - decimal (används överallt);
12 - duodecimal (räknas i dussintals);
16 - hexadecimal (används i programmering , datavetenskap );
20 - vigesimal ;
60 - sexagesimal ( tidsenheter , mätning av vinklar och i synnerhet koordinater, longitud och latitud ).

I positionssystem gäller att ju större basen av talsystemet är, desto färre siffror (dvs. siffror att skriva ) krävs när man skriver ett tal.

Blandade talsystem

Det blandade talsystemet är en generalisering av det -ary talsystemet och hänvisar också ofta till positionsnummersystem. Basen i det blandade talsystemet är en ökande sekvens av tal , och varje nummer i det representeras som en linjär kombination : $b$ $\{b_{k}\}_{k=0}^{\infty }$ $x$

x=\summa _{k=0}^{n-1}a_{k}b_{k}

, där vissa restriktioner läggs på koefficienterna , som liksom tidigare kallas siffror .

a_{{k}}

Att spela in ett nummer i ett blandat talsystem är uppräkningen av dess siffror i ordning efter minskande index , med början från den första icke-noll. $x$ $k$

Beroende på typen som en funktion av blandade talsystem kan vara potens , exponentiell , etc. När för vissa sammanfaller det blandade talsystemet med det exponentiella -ary talsystemet. $b_{k}$ $k$ $b_{k}=b^{k}$ $b$ $b$

Det mest kända exemplet på ett blandat talsystem är representationen av tid som ett antal dagar, timmar, minuter och sekunder. I det här fallet motsvarar värdet på " dagar, timmar, minuter, sekunder" värdet på sekunder. $d$ $h$ $m$ $s$ $d\cdot 24\cdot 60\cdot 60+h\cdot 60\cdot 60+m\cdot 60+s$

Faktoriellt nummersystem

I faktorialsystemet är baserna sekvensen av faktoraler , och varje naturligt tal representeras som: $b_{k}=k!$ $x$

x=\summa _{k=1}^{n}d_{k}k!

, var .

0\leq d_{k}\leq k

Faktorialtalssystemet används vid avkodning av permutationer med listor över inversioner : med ett permutationsnummer kan du reproducera det själv enligt följande: permutationsnumret (numreringen börjar från noll) skrivs i faktorialsystemet, medan koefficienten på talet kommer att indikera antalet inversioner för ett element i den uppsättningen, i vilka permutationer görs (antalet element mindre än , men till höger om det i den önskade permutationen). $i!$ $i+1$ $i+1$

Exempel: överväg en uppsättning permutationer av 5 element, det finns 5 totalt! = 120 (från permutation med nummer 0 - (1,2,3,4,5) till permutation med nummer 119 - (5,4,3,2,1)), hittar vi permutation med nummer 100:

100=4!\cdot 4+3!\cdot 0+2!\cdot 2+1!\cdot 0=96+4;

let — koefficienten för talet , då , , , då: antalet element mindre än 5, men stående till höger är 4; antalet element mindre än 4 men till höger är 0; antalet element mindre än 3 men till höger är 2; antalet element mindre än 2, men till höger är 0 (det sista elementet i permutationen "läggs" på den enda kvarvarande platsen) - alltså kommer permutationen med nummer 100 att se ut så här: (5,3,1, 2,4) Kontroll av denna metod kan göras genom att direkt räkna inversionerna för varje permutationselement. $t_{i}$ $i!$ $t_{4}=4$ $t_{3}=0$ $t_{2}=2$ $t_{1}=0$

Fibonacci nummersystem

Fibonacci-talsystemet är baserat på Fibonacci-talen . Varje naturligt tal i det representeras som: $n$

n=\summa _{k}f_{k}F_{k}

, där är Fibonacci-talen, , medan koefficienterna har ett ändligt antal enheter och det inte finns två enheter i rad.

F_{k}

f_{k}\in \{0,1\}

f_{k}

Icke-positionella nummersystem

I icke-positionella nummersystem beror värdet som en siffra står för inte på positionen i talet. I det här fallet kan systemet införa begränsningar på positionen för siffrorna, till exempel, så att de är ordnade i fallande ordning.

De vanligaste icke-positionella nummersystemen idag är romerska siffror .

Binomialtalsystem

I binomialsystemet representeras talet x som summan av binomialkoefficienter :

x=\summa _{k=1}^{n}{c_{k} \välj k}

, var

0\leq c_{1}<c_{2}<\dots <c_{n}.

För alla fasta värden representeras varje naturligt tal på ett unikt sätt. [ett] $n$

Residual Class System (SOC)

Representationen av ett tal i restklassens system baseras på begreppet rest och den kinesiska restsatsen . RNS definieras av en uppsättning parvisa coprime -moduler med en produkt så att varje heltal från intervallet är associerat med en uppsättning rester , där $(m_{1},m_{2},\dots,m_{n})$ $M=m_{1}\cdot m_{2}\cdot \dots \cdot m_{n}$ $x$ $[0,M-1]$ $(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})$

x\equiv x_{1}{\pmod {m_{1}}};

x\equiv x_{2}{\pmod {m_{2}}};

…

x\equiv x_{n}{\pmod {m_{n}}}.

Samtidigt garanterar den kinesiska restsatsen det unika i representationen för siffror från intervallet . $[0,M-1]$

I RNS utförs aritmetiska operationer (addition, subtraktion, multiplikation, division) komponent för komponent om resultatet är känt för att vara ett heltal och även ligger i . $[0,M-1]$

Nackdelarna med RNS är möjligheten att endast representera ett begränsat antal nummer, samt bristen på effektiva algoritmer för att jämföra nummer representerade i RNS. Jämförelse utförs vanligtvis genom omvandling av argument från RNS till ett blandat talsystem i baser . $(m_{1},m_{1}\cdot m_{2},\dots ,m_{1}\cdot m_{2}\cdot \dots \cdot m_{n-1})$

Stern-Brocot nummersystem

Stern-Brocot-talsystemet är ett sätt att skriva positiva rationella tal baserat på Stern-Brocot-trädet .

Se även

Anteckningar

↑ Lando S.K. Kapitel 1. Uppgift 1.13 // Föreläsningar om att generera funktioner . - 3:e upplagan, Rev. - M . : MTsNMO , 2007. - 144 sid. - ISBN 978-5-94057-042-4 . (inte tillgänglig länk)

Länkar

Gashkov SB Nummersystem och deras tillämpning . - M .: MTSNMO , 2004. - ( Biblioteket "Mathematical Education" ). Arkiverad 12 januari 2014 på Wayback Machine
Fomin SV Nummersystem . — M .: Nauka, 1987. — 48 sid. - ( Populära föreläsningar om matematik ).
Yaglom I. Talsystem // Kvant . - 1970. - Nr 6 . - S. 2-10 .
Siffror och nummersystem . Online Encyclopedia Around the World.
Stakhov A. Talsystemens roll i datorernas historia . Arkiverad från originalet den 1 maj 2009.
Mikushin A.V. Nummersystem. Föreläsningskurs "Digitala enheter och mikroprocessorer"
Butler JT, Sasao T. Redundanta talsystem med flera värden Artikeln behandlar talsystem som använder siffror större än en och tillåter redundans i representationen av tal

Ordböcker och uppslagsverk	Stor katalanska Brockhaus och Efron runt världen Litet Brockhaus och Efron Kroatisk Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	GND : 4117700-9 J9U : 987007538744805171 LCCN : sh85093233 NDL : 00762396 NKC : ph128225