Modern matematik studerar abstrakta strukturer av en helt annan karaktär (mängder, påståenden, logiska språk, funktioner), men dess huvudsakliga studieobjekt var från början begreppen ett naturligt tal och en geometrisk figur som uppstod från mänsklig praktisk aktivitet [1] .
Och även om man tror att matematik , som en systematisk vetenskap , endast förekom i antikens Grekland [2] , börjar dess historia med att dessa begrepp uppträder.
Begreppen ett naturligt tal och en geometrisk figur uppstod långt före skriftens tillkomst, eftersom de kulturer där skriften först uppträdde ( Sumer , det antika Egypten ) hade en ganska omfattande samling av matematisk kunskap som erhållits genom erfarenhet [3] .
Redan vissa djur har förmågan att urskilja antalet , storleken , formen och strukturen på föremål [4] . Den primitiva människan hade också sådana förmågor. Till exempel är människor från vissa vilda stammar väldigt bra på att bestämma antalet föremål per öga utan att räkna dem [5] .
I samband med tekniska framsteg uppstod ett behov av en mer exakt räkning av objekt [6] . Det första steget i utvecklingen av räkning var upprättandet av en en-till-en-överensstämmelse mellan uppsättningen av räknade objekt och uppsättningen av standarder. Den mest populära typen av ett sådant konto är kontot med hjälp av fingrar och tår [7] .
I något skede uppfattades antalet som en egenskap hos en uppsättning objekt, samma som deras färg, form, storlek, struktur [8] . Olika siffror användes för olika objekt [9] . Men efter hand abstraherades antalet från de räknade föremålen. Namn på nummer dök upp [10] .
Aritmetiska operationer uppstod också från praktiska behov, som en återspegling av verkliga händelser: föreningen av uppsättningar, separationen av en del från en uppsättning, etc.
Ungefär samtidigt som siffror abstraherade människan platta och rumsliga former, som vanligtvis fick namn på verkliga föremål som liknade dem [10] .
Alla kulturer gör inte vetenskapliga och tekniska framsteg i samma takt. Vissa har till viss del bevarat stamsystemet och uråldriga seder, genom vilka man kan bedöma deras avlägsna förflutna och få information om eran då skrivandet ännu inte fanns. Till exempel kan man jämföra siffersystemet för Bakairi-stammen i Brasilien, som endast har namn för siffror upp till 6, och siffersystemet för Yoruba-stammen i Nigeria, som bygger på en komplex subtraktiv princip, och på så sätt förstå hur sättet att namnge nummer utvecklades.
Europeiska kolonisatörer kunde ofta behandla sådana kulturer på ett barbariskt sätt, utan respekt för deras traditioner. Många förstördes, andra var tvungna att integreras i det befintliga politiska och ekonomiska systemet. När forskare gradvis insåg att sådana kulturer kunde ge ett rikt material för att studera den primitiva världens historia, hade en del av dem redan försvunnit.[ neutralitet? ] .
I slutet av nittonhundratalet en gren av vetenskapen dök upp - etnomatematik , studerar matematik som en del av traditionell kultur [11] . Studier börjar utföras, under vilka det blir känt hur de tror, visar, namnger och registrerar antalet primitiva folk.
Viss information tillhandahålls av arkeologiska utgrävningar. Ett ben med räknebara skåror hittades på Ishango- platsen i Afrika , vars ålder uppskattas från 20 till 40 tusentals år, vilket gav omfattande material för studier och slutsatser [12] . En annan artefakt - ett radieben av en ung varg med 55 skåror på - hittades vid den övre paleolitiska platsen Dolni Vestonice (Tjeckien). Mikel Alberti ger i sin bok "Mathematical Planet. Journey Around the World" exempel på andra artefakter [13] .
Om vi systematiserar den kunskap som erhållits som ett resultat av etno-matematisk och arkeologisk forskning, kan vi ungefär återskapa processen för matematikens uppkomst .
Ett antal experiment visar att djur i en viss mening kan känna av antalet föremål utan att räkna dem. Den engelske biologen John Lubbock trodde att djur redan hade grundläggande kunskaper i aritmetik:
Leroy <...> nämner ett fall då en man behövde skjuta en kråka. "För att vilseleda denna misstänkta fågel beslöt man att skicka två personer till hennes bo, av vilka den ena skulle gå förbi och den andra stanna kvar. Men kråkan räknade dem och höll sig på avstånd. Dagen efter gick tre, och igen hon insåg att det bara var två kvar. Det visade sig att det var nödvändigt att skicka fem eller sex personer för att slå henne i beräkningarna. Kråkan, som trodde att alla hade gått förbi, slösade inte bort tid på att återvända till boet. Av detta drar han slutsatsen att kråkan kan räkna till fyra. Lichtenberg talar om en näktergal som räknade till tre. Varje dag gav han honom tre maskar, en i taget. Efter att ha avslutat en, återvände näktergalen för en till, men efter den tredje visste han att middagen var över <...> Det finns en underhållande och suggestiv detalj i Mr. Galtons Tales of an Explorer of Tropical South Africa . Efter att ha beskrivit den afrikanska stammen Demaras svaghet i att räkna, säger han: "En gång, när jag tittade på en afrikan som hopplöst försökte räkna något, märkte jag att Dinah, min spaniel, i närheten, också förbryllade; Dinah var bredvid ett halvdussin av hennes nyfödda valpar, som ständigt flyttade ifrån henne, hon var mycket orolig och försökte ta reda på om alla var där, eller om någon saknades. Hon tittade förbryllat på dem, men kunde inte förstå någonting. Hon hade uppenbarligen en vag uppfattning om räkningen, men här var siffran för stor för hennes hjärna. Om vi jämför de två, en man och en hund, så är mannen i underläge<...> "<... > Vi har alltså anledning att anta att djur har tillräckligt med intelligens för att skilja tre från fyra [4] .
Originaltext (engelska)[ visaDölj] Leroy<...>nämner ett fall där en man var angelägen om att skjuta en kråka. "För att lura denna misstänkta fågel slogs planen på att skicka två män till vakthuset, av vilka den ene gick vidare, medan den andra var kvar; men kråkan räknade och höll sig på avstånd. Nästa dag gick tre, och återigen förstod hon att bara två gick i pension. I fina, befanns det vara nödvändigt att skicka fem eller sex män till vakthuset för att lägga ut henne i hennes beräkning. Kråkan, som trodde att detta antal män hade gått förbi, förlorade ingen tid på att återvända." Av detta drog han slutsatsen att kråkor kunde räkna upp till fyra. Lichtenberg nämner en näktergal som sades räkna upp till tre. Varje dag gav han den tre mjölmaskar, en i taget. När den hade avslutat en återvände den för en annan, men efter den tredje visste den att festen var över<...>Det finns en underhållande och suggestiv anmärkning i Mr. Galtons intressanta berättelse om en upptäcktsresande i det tropiska Sydafrika. Efter att ha beskrivit Demaras svaghet i beräkningar, säger han: "En gång när jag såg en Demara som hopplöst flackade i en uträkning på ena sidan av mig, observerade jag, "Dinah," min spaniel, lika generad på den andra; hon förbise en halv dussin av hennes nyfödda valpar, som hade tagits bort två eller tre gånger från henne, och hennes oro var överdriven, då hon försökte ta reda på om de alla var närvarande, eller om några fortfarande saknades. , men kunde inte tillfredsställa sig själv. Hon hade tydligen en vag uppfattning om att räkna, men siffran var för stor för hennes hjärna. mannen<...>" Enligt mina fågelhäckande minnen, som jag har fräschat upp genom nyare erfarenheter , om ett bo innehåller fyra ägg, kan ett säkert tas; men om två tas bort, överger fågeln i allmänhet. Här verkar det alltså som om vi hade någon anledning att anta att det finns tillräcklig intelligens för att skilja tre från fyra.Primitiva människor ärvde denna förmåga. Så, enligt en amerikansk missionärs memoarer, tittar jägare från en vild indianstam, som bara har namn för siffrorna 1, 2 och 3, runt en stor flock hundar innan de jagar, och om åtminstone en saknas, de märker detta och börjar ringa henne. Detta fenomen är känt som " nummeravkänning " [5] och " sensorisk räkning " [14] .
På många språk fanns namnen på siffror kvar, som enligt forskare dök upp redan innan man räknade på fingrar [15] . Dessa namn är förknippade med vetskapen om att det alltid finns samma antal vissa föremål i naturen (en sol på himlen, två ögon i en person, fem fingrar på en hand, etc.). Vissa nummer började kallas namnen på sådana föremål. Så i det gamla indiska verbala talsystemet möter vi följande namn på siffror:
Siffran 40 (enligt den vanligaste versionen) kommer från namnet på en bunt pälsskinn [16] .
Om det finns en uppsättning med åtta stenar och en uppsättning med åtta skal, kan du ordna dem så att det finns ett skal mitt emot varje sten. Det var så handelsprocessen mellan de två primitiva stammarna gick till. Mittemot varje produkt från den första stammen placerades en produkt från den andra stammen, och som ett resultat bytte stammarna med varandra samma mängd varor [17] .
En sådan process, när varje element från en mängd (samling) associeras med ett element från en annan mängd, kallas i matematiken för upprättandet av en en-till-en överensstämmelse mellan två mängder [18] .
Med upprättandet av en en-till-en-överensstämmelse mellan uppsättningen av räknebara objekt och uppsättningen av räknestandarder, började nästa steg i utvecklingen av räkning.
Av alla räknestandarder är det mest bekväma och som är "alltid med dig" fingrar och tår och även andra delar av kroppen [15] .
För att komma ihåg hur många djur han dödade under jakt, var en primitiv man helt enkelt tvungen att komma ihåg på vilket finger eller tå han slutade räkna. Det kan vara den andra tån på den andra foten, den sista tån på den första handen eller alla fingrar. På vissa språk har nummer blivit så kallade. Här är några exempel:
När det inte fanns tillräckligt med fingrar användes andra delar av kroppen, andras fingrar eller förlängningen av redan böjda fingrar.
Upptäckaren av Nya Guinea , N. N. Miklukho-Maclay , föreslog att papuanerna skulle räkna antalet dagar fram till återkomsten av Vityaz-korvetten genom att klippa pappersremsor för detta.
"Den första, som lade ut pappersbitar på sitt knä, upprepade "när, nar" (en) med varje snitt; den andra upprepade ordet "när" och böjde samtidigt fingret först mot den ena, sedan på den andra hand. Räknade till tio och böjde fingrarna på båda händerna, sänkte båda nävarna på knäna och sa: ... "två händer", och den tredje papuanen böjde handens finger. Detsamma gjordes med den andra tio, och den tredje papuanen böjde det andra fingret, samma sak gjordes för den tredje tio, de återstående pappersbitarna utgjorde inte det fjärde ett dussin och fortsatte att ligga åt sidan. [21]
Ofta bar primitiva människor med sig speciella räknestavar - pinnar eller bollar [22] .
När konsten att räkna gradvis utvecklades var begreppet antal oskiljaktigt från de räknade föremålen. Numret kunde inte existera på egen hand. Beroende på vad man ansåg kunde numren kallas olika [10] . Vissa stammar har till denna dag en uppdelning av siffror efter vilken typ av föremål som betraktas. Till exempel har det tsimshianska språket sju olika typer av siffror:
Det tog lång tid innan själva begreppet siffra, separerat från objekt, dök upp.
Teoretiskt kan valfritt antal objekt räknas. Deras antal kan uttryckas med ett tal som aldrig har setts tidigare (till exempel 723 945 186 - sjuhundratjugotre miljoner niohundrafyrtiofem tusen etthundraåttiosex), men ändå kommer det att vara möjligt för en person som hör detta nummer för att föreställa sig hur mycket det är ungefär. Det finns ingen gräns för antalet objekt som kan räknas. För varje heltal av objekt finns det ett väldefinierat naturligt tal. Detta fenomen kallas en kontinuerlig nummersekvens .
Men den numeriska sekvensen i språket var inte alltid kontinuerlig . Fram till nu finns det stammar på vars språk det bara finns två siffror: en och många . Nivån på deras liv kräver inga andra numeriska ord. Men på grund av den tekniska utvecklingen blir dessa ord nödvändiga.
Uppkomsten av ett ord för siffran två är ett stort steg i utvecklingen av den numeriska sekvensen. Efter uppkomsten av ordet för siffran tre expanderar den numeriska sekvensen ytterligare och längre. Namn för nummer mindre än tio visas gradvis .
Fram till för några århundraden sedan behövde de flesta inte använda siffror över tusen . För att beteckna stora siffror användes orden "monster", "oändlighet", "du kan inte räkna längre". Så prefixet "-tera", som betecknar multiplikationen av den ursprungliga enheten med 10 12 , d.v.s. med en biljon (till exempel terabyte) kommer från det romerska ordet "monster", dvs. är samma rot som ordet " skräck". Det gamla ryska namnet för siffran 10 000 är mörker . Namnet på talet miljoner betyder på gammal italienska "stora tusen".
På det rwandiska språket kallas 10 000 "elefant" och 20 000 kallas "två elefanter". I Nigeria kallas siffran 160 000 "400 möter 400", och namnet på siffran 10 000 000 kan grovt översättas till "Det finns så många saker här att deras antal är enormt" [24] .
Likheten mellan siffror mellan olika indoeuropeiska folk visar att de förekom även när dessa folk talade samma språk, det vill säga hänvisar till den förhistoriska perioden:
| siffra | latin | grekisk | engelsk | Deutsch | franska | ryska |
|---|---|---|---|---|---|---|
| ett | uno | mono | ett | ein | fn | ett |
| 2 | duo | dia | två | zwei | deux | två |
Det finns språk som är helt (eller nästan helt) utan några siffror. I den amerikanske matematikern Levi Konents arbete ges de bolivianska stammarnas Chiquita och Takanas språk som exempel [25] .
Inom vetenskapen får siffrorna som ligger bakom andras namn namnet " nodal ". Siffror vars namn består av andra får namnet " algoritmisk " [26] . Så siffrorna tre, sex, tio, fyrtio, hundra är nyckeln, eftersom deras namn inte kan demonteras genom sammansättning. Siffran sextio är algoritmisk, eftersom dess namn består av namnen på nodtalen sex och tio. Algoritmiska tal kan bildas från nodnummer på olika sätt. Följande är exempel på sådana formationer.
Additiv principDe första siffersystemen använde additivprincipen . Det ligger i det faktum att namnen på algoritmiska tal bildas av nodaltal genom addition , som namnet på talet sjutton . Tabellen visar som ett exempel nummersystemet för Gumulgel-stammen som lever på Torres Strait Islands och Bakairi-stammen.
| Siffersystem för Gumulgel-stammen | Nummersystem för Bakairi-stammen | |||
|---|---|---|---|---|
| siffra | namn | siffra | namn | |
| ett | Urapun | ett | tokale | |
| 2 | Okoza | 2 | ahage | |
| 3 | Okoza-urapun | 3 | ahage-tokale | |
| fyra | Okoz-okoz | fyra | ahage-ahage | |
| 5 | Okoza-okoza-urapun | 5 | ahage-ahage-tokale | |
| 6 | Okoz-okoz-okoz | 6 | Ahage-ahage-ahage | |
Som du kan se har bara siffrorna 1 och 2 sina egna namn, resten av siffrorna har härledda namn. För siffror större än 7 har dessa stammar bara ett ord, vilket betyder många.
Subtraktiv principMer komplexa numeriska system använde också den subtraktiva principen. Detta betyder att namnen på vissa algoritmiska tal kan bildas från nodaltal genom subtraktion .
Den subtraktiva principen ses till exempel i det romerska numreringssystemet, där talet 9 skrivs som IX , det vill säga som 10-1. Ett ganska komplext subtraktivt talsystem med bas 20 användes av den afrikanska Yoruba- stammen :
| Nummersystem för Yoruba-folket | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| siffra | namn | Namnavkodning | siffra | namn | Namnavkodning | |
| ett | kan | ett | 31 | mokonlel ogbon | +1+30 | |
| 2 | meji | 2 | 32 | mejilel ogbon | +2+30 | |
| 3 | meta | 3 | 33 | metall ogbon | +3+30 | |
| fyra | merin | fyra | 34 | merinlel ogbon | +4+30 | |
| 5 | maruun | 5 | 35 | maruundinl ogoji | -5+20×2 | |
| 6 | mefa | 6 | 36 | merindinl ogoji | -4+20×2 | |
| 7 | meje | 7 | 37 | metadinl ogoji | -3+20×2 | |
| åtta | mejo | åtta | 38 | mejidinl ogoji | -2+20×2 | |
| 9 | mesan | 9 | 39 | mokondinl ogoji | -1+20×2 | |
| tio | mewa | tio | 40 | ogoji | 20×2 | |
| elva | mokon laa | +1+10 | 41 | mokonl ogoji | +1+20×2 | |
| 12 | meji laa | +2+10 | 42 | mejil ogoji | +2+20×2 | |
| 13 | meta laa | +3+10 | 43 | metall ogoji | +3+20×2 | |
| fjorton | merin laa | +4+10 | 44 | merinl ogoji | +4+20×2 | |
| femton | meeed ogun | -5+20 | 45 | maruundinla adota | -5-10+20×3 | |
| 16 | merindinl ogun | -4+20 | 46 | merindinla adota | -4-10+20×3 | |
| 17 | metadinl ogun | -3+20 | 47 | metadinla adota | -3-10+20×3 | |
| arton | mejidinl ogun | -2+20 | 48 | mejidinla adota | -2-10+20×3 | |
| 19 | mokondinl ogun | -1+20 | 49 | mokondinla adota | -1-10+20×3 | |
| tjugo | ogun | tjugo | femtio | adota | -10+20×3 | |
| 21 | mokonlel ogun | +1+20 | 51 | mokonlela adota | +1-10+20×3 | |
| 22 | mejilel ogun | +2+20 | 52 | mejila adota | +2-10+20×3 | |
| 23 | metall ogun | +3+20 | 53 | metala adota | +3-10+20-×3 | |
| 24 | merinel ogun | +4+20 | 54 | merinla adota | +4-10+20×3 | |
| 25 | meeed ogbon | -5+30 | 55 | maruundinlogota | -5+20×3 | |
| 26 | Merindinl ogbon | -4+30 | Källa: Dirk Huylebrouck. Matematik i centrala Afrika före koloniseringen. Stammatematik i Centralafrika . Arkiverad 7 februari 2012 på Wayback Machine | |||
| 27 | metadinl ogbon | -3+30 | ||||
| 28 | mejidinl ogbon | -2+30 | ||||
| 29 | mokondinl ogbon | -1+30 | ||||
| trettio | ogbon | trettio | ||||
Den multiplikativa principen ligger i det faktum att namnen på vissa algoritmiska tal kan bildas från nodaltal genom multiplikation . Det är synligt i namnen på sådana nummer som "sjuttio", "trehundra", "fyrahundra" etc.
För att räkna måste du ha matematiska modeller av sådana viktiga händelser som föreningen av flera uppsättningar till en eller omvänt separationen av en del av en uppsättning. Så här såg operationerna med addition och sedan subtraktion ut [27] . För det fall du många gånger behöver lägga till flera identiska uppsättningar, visas en ny operation - multiplikation [28] .
En annan viktig praktisk handling - uppdelning i delar - abstraherades så småningom till den fjärde räkneoperationen - division [29] . Egenskaperna för aritmetiska operationer upptäcktes gradvis.
En stor "push" till användningen av aritmetiska operationer var utvecklingen av mätningar . Måttenheter förknippades i första hand med delar av kroppen med vilka det var lätt att ta dem (mått) ( fot (ben), armbåge, etc.).
Begreppet bråk, som sådant, existerade inte ens efter tillkomsten av skrivandet. Men i vardagen användes begreppen " halva ", " tredje ", " kvart ". Sådana "bråkdelar" av bråk hade vanligtvis en nämnare på 2, 3, 4, 8 eller 12. Till exempel, bland romarna var standardbråket ett uns ( 1/12 ) . Medeltida penning- och mätsystem har ett tydligt avtryck av gamla icke-decimala system: 1 engelsk penny \u003d 1/12 shilling , 1 tum \u003d 1/12 fot , 1 fot \u003d 1/3 yard , dussin \u003d 12 enheter, etc. Decimalbråk , bekvämt i komplexa beräkningar, blev utbredd i Europa först på 1500-talet [30] .
I sin praktiska verksamhet stötte en person på specifika geometriska former och kroppar. Gradvis ägde deras idealisering rum - människor abstraherade från defekterna hos specifika föremål och skapade idealiska idéer. Så här uppstod begreppen regelbundna polygoner och polyedrar, pyramider, prismor och revolutionskroppar. De flesta av de vanliga namnen för geometriska figurer är antika grekiska [20] .
| begrepp | namnets ursprung |
|---|---|
| romb | från antikens grekiska ρόμβος - snurra |
| trapets | från antikens grekiska τραπέζιον - bord |
| sfär | från antikens grekiska σφαῖρα - boll |
| cylinder | från antikens grekiska κύλινδρος - rulle |
| kon | från antikens grekiska κώνος - kotte |
| pyramid | från namnet på de egyptiska pyramiderna "Purama" |
| prisma | från antikens grekiska πρίσμα - något sågat |
| linje | från latin linea - lintråd |
| punkt | från verbet att peta |
| Centrum | från antikens grekiska κέντρον - namnet på en spetsig pinne (kompassben) |
| Källa: E. I. Berezkina, B. A. Rosenfeld. Förhistorisk tid // Matematikens historia. Från antiken till början av modern tid / Ed. A. P. Jusjkevitj . - Moskva: Nauka, 1970-1972. - S. 10-16. — 353 sid. - 7200 exemplar. | |
| Matematikens historia | |
|---|---|
| Länder och epoker | |
| Tematiska avsnitt | |
| se även | |