Integral logaritm

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 6 april 2019; verifiering kräver 1 redigering .

Integrallogaritm är en speciell funktion som definieras av integralen

{\mathrm {li}}\,(x)=\int \limits _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.

För att eliminera singulariteten vid används ibland den förskjutna integrallogaritmen : $x=1$

{\mathrm {Li}}\,(x)=\int \limits _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.

Dessa två funktioner är relaterade till:

{\mathrm {li}}\,(x)-{\mathrm {Li}}\,(x)={\mathrm {li}}\,(2)\approx 1{,}045~163~780~ 117~492\ldots

Integrallogaritmen introducerades av Leonhard Euler 1768.

Integrallogaritmen och integralexponentialfunktionen är relaterade av relationen:

{\mathrm {li}}\,(x)={\mathrm {Ei}}\,(\ln x).

Integrallogaritmen har en enda positiv nolla vid en punkt ( Ramanujan-Soldner-talet ). $\mu \approx 1{,}451~369~234~883~381~050~283~968~485~892~027~449~493\ldots$

Serieexpansion

Från identiteten ansluter och följer serien: ${\mathrm {li}}\,(x)$ ${\mathrm {Ei}}(\ln x)$

{\mathrm {li}}\,(x)={\mathrm {Ei}}\,(\ln x)=\gamma +\ln \ln x+\summa _{{n=1}}^{\infty }{\frac {(\ln x)^{n}}{n\cdot n!}},

var är Euler-Mascheroni-konstanten . $\gamma \approx 0{,}577~215~664~901~532\ldots$

Serien härledd av Srinivasa Ramanujan konvergerar snabbare :

{\mathrm {li}}\,(x)=\gamma +\ln \ln x+{\sqrt {x}}\summa _{{n=1}}^{\infty }{\frac {(-1 )^{{n-1}}(\ln x)^{n}}{2^{{n-1}}n!}}\summa _{{k=0}}^{{\lfloor (n -1)/2\rgolv }}{\frac {1}{2k+1}}.

Integrallogaritm och fördelning av primtal

Integrallogaritmen spelar en viktig roll i studiet av fördelningen av primtal . Det är en bättre uppskattning av antalet primtal mindre än eller lika med ett givet tal än . Om Riemanns hypotes är sann, [ 1] $x/\ln {x}$

\pi (x)=\mathrm {Li} \,(x)+O({\sqrt {x}}\ln ^{2}(x)).

För inte för stor är det dock bevisat att för vissa tillräckligt stora byter ojämlikheten tecken. Detta nummer kallas Skewes-numret , för närvarande känt för att vara någonstans mellan 10 19 [2] och 1,3971672 10 316 ≈ e 727.951336108 [3] . $x$ $\pi (x)<{\mathrm {Li}}\,(x)$ $x$

Anteckningar

↑ Modernt. prob. Mat., 2008, nummer 11. - sid. 30-31
↑ Jan Buthe. En analytisk metod för att begränsa ψ ( x ) // Math. Comp. - 2018. - Vol. 87. - P. 1991-2009. - arXiv : 1511.02032 . doi : 10.1090 / mcom/3264 . Beviset använder Riemanns hypotes.
↑ Yannick Sauter, Timothy Trudgian och Patrick Demichel. Ett ännu skarpare område där π ( x ) − li( x ) är positivt // Math. Comp. - 2015. - Vol. 84. - P. 2433-2446. - doi : 10.1090/S0025-5718-2015-02930-5 . MR : 3356033 _ Denna uppskattning kräver inte Riemanns hypotes.

Litteratur

Matematisk encyklopedisk ordbok. - M. , 1995. - sid. 238.