Exponentiering är en aritmetisk operation , ursprungligen definierad som resultatet av att multiplicera ett tal med sig själv. En exponent med en bas och en naturlig exponent betecknas som
där - antalet faktorer (multiplicerade tal) [1] [K 1] .
Till exempel,
I programmeringsspråk där stavning inte är möjlig används alternativ notation .
Exponentiering kan också definieras för negativa , rationella , reella och komplexa potenser [1] .
Att extrahera en rot är en av operationerna invers till exponentiering; den hittar en okänd bas från kända värden på graden och exponenten . Den andra inversa operationen är logaritm , den hittar en okänd exponent från kända värden på graden och basen . Problemet med att hitta ett tal genom dess kända logaritm (potentiering, antilogaritm ) löses med hjälp av exponentieringsoperationen.
Det finns en snabb exponentieringsalgoritm som utför exponentiering i färre multiplikationer än i definitionen.
Notationen läses vanligtvis som " a till e potens" eller " a i potens av n ". Läs till exempel som "tio till fjärde potensen", läs som "tio till tre sekunders makt (eller: en och en halv)".
Det finns speciella namn för andra och tredje graden: kvadrat och kub . Så till exempel läses det som "tio kvadrat", det läses som "tio kuber". Denna terminologi har sitt ursprung i den antika grekiska matematiken . De gamla grekerna formulerade algebraiska konstruktioner på språket geometrisk algebra . I synnerhet, istället för att använda ordet "multiplikation", talade de om arean av en rektangel eller om volymen av en parallellepiped : istället sa de gamla grekerna "kvadrat på segment a ", "kub på en ". Av denna anledning undvek den fjärde graden och högre av de gamla grekerna [2] .
Talet som blir resultatet av att höja ett naturligt tal till -th potens kallas den exakta -th potensen. Särskilt talet som är resultatet av att kvadrera ett naturligt tal (kub) kallas en exakt kvadrat (kub). En perfekt kvadrat kallas också en perfekt kvadrat .
Alla följande grundläggande egenskaper för exponentiering gäller för naturliga, heltal, rationella och reella tal [3] . För komplexa tal, på grund av polysemin i den komplexa operationen, utförs de endast i fallet med en naturlig exponent .
Posten har inte egenskapen associativitet (kompatibilitet), det vill säga i det allmänna fallet, Till exempel , men . I matematik är det vanligt att betrakta rekordmotsvarigheten , och istället kan du enkelt skriva , med hjälp av den tidigare egenskapen. Vissa programmeringsspråk följer dock inte denna konvention.
Exponentiering har inte egenskapen kommutativitet (förskjutning) : generellt sett , till exempel , men
n | n 2 | n 3 | n4 _ | n 5 | n6 _ | n 7 | n 8 | n9 _ | n 10 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2 | fyra | åtta | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
3 | 9 | 27 | 81 | 243 | 729 | 2,187 | 6,561 | 19,683 | 59,049 |
fyra | 16 | 64 | 256 | 1024 | 4,096 | 16.384 | 65,536 | 262.144 | 1 048 576 |
5 | 25 | 125 | 625 | 3125 | 15,625 | 78,125 | 390,625 | 1,953,125 | 9,765,625 |
6 | 36 | 216 | 1296 | 7,776 | 46,656 | 279,936 | 1,679,616 | 10 077 696 | 60,466,176 |
7 | 49 | 343 | 2401 | 16,807 | 117,649 | 823.543 | 5,764,801 | 40,353,607 | 282,475,249 |
åtta | 64 | 512 | 4096 | 32,768 | 262.144 | 2,097,152 | 16,777,216 | 134,217,728 | 1,073,741,824 |
9 | 81 | 729 | 6561 | 59,049 | 531,441 | 4,782,969 | 43,046,721 | 387,420,489 | 3,486,784,401 |
tio | 100 | 1000 | 10 000 | 100 000 | 1 000 000 | 10 000 000 | 100 000 000 | 1 000 000 000 | 10 000 000 000 |
Operationen generaliserar till godtyckliga heltal , inklusive negativa och noll [4] ::
Resultatet är odefinierat för och .
Att höja till en rationell potens där är ett heltal och är ett naturligt, positivt tal definieras enligt följande [4] :
.En grad med en bas lika med noll bestäms endast för en positiv rationell exponent.
För negativa exponenter med bråkdelsexponent beaktas inte.
Resultat: Sålunda kombinerar konceptet med en rationell potens att höja till en heltalspotens och extrahera en rot i en enda operation.
Uppsättningen av reella tal är ett kontinuerligt ordnat fält , betecknat med . Uppsättningen av reella tal kan inte räknas, dess makt kallas kontinuumets kraft . Aritmetiska operationer på reella tal representerade av oändliga decimalbråk definieras som en kontinuerlig fortsättning [5] av motsvarande operationer på rationella tal.
Om två reella tal anges som kan representeras som oändliga decimaler (där är positivt):
definieras av de grundläggande sekvenserna av rationella tal (som uppfyller Cauchy-villkoret ), betecknade som: och , sedan kallas deras grad talet som definieras av graden av sekvenser och :
,reellt tal , uppfyller följande villkor:
Potensen för ett reellt tal är alltså ett sådant reellt tal som finns mellan artens alla potenser på ena sidan och artens alla potenser på den andra sidan.
En grad med en bas lika med noll bestäms endast för en positiv reell exponent.
För negativ exponent med en reell exponent beaktas inte.
I praktiken, för att höja ett tal till en potens , är det nödvändigt att ersätta dem med erforderlig noggrannhet med ungefärliga rationella tal och . Graden av de angivna rationella talen tas som ett ungefärligt värde på graden . Samtidigt spelar det ingen roll från vilken sida (med brist eller överskott) de tagna rationella talen approximerar och .
Ett exempel på exponentiering , upp till 3:e decimalen:
Användbara formler:
De två sista formlerna används för att höja positiva tal till en godtycklig potens på elektroniska räknare (inklusive datorprogram) som inte har en inbyggd funktion , och för ungefärlig exponentiering till en icke-heltalspotens eller för heltalsexponentiering när talen är för stor för att skriva ner resultatet i sin helhet.
Att höja ett komplext tal till en naturlig potens görs genom vanlig multiplikation i trigonometrisk form . Resultatet är tydligt:
, ( Moivre formel ) [6] .För att hitta graden av ett godtyckligt komplext tal i algebraisk form kan du använda Newtons binomialformel ( som även gäller för komplexa tal):
.Ersätter graderna på höger sida av formeln med deras värden i enlighet med likheterna: , vi får:
[7]Grunden för en mer allmän definition av en komplex grad är exponenten , där är Eulertalet , är ett godtyckligt komplext tal [8] .
Vi definierar den komplexa exponenten med samma serie som den verkliga:
Denna serie konvergerar absolut för alla komplexa serier, så dess medlemmar kan omarrangeras på vilket sätt som helst. I synnerhet skiljer vi från den delen för :
Inom parentes fick vi serier kända från verklig analys för cosinus och sinus , och vi fick Eulers formel :
Det allmänna fallet , där är komplexa tal, definieras genom representation i exponentiell form : enligt den definierande formeln [8] :
Här är den komplexa logaritmen och är dess huvudvärde.
Dessutom är den komplexa logaritmen en funktion med flera värden , så att den komplexa graden generellt sett inte är unikt definierad [8] . Underlåtenhet att ta hänsyn till denna omständighet kan leda till fel. Exempel: låt oss höja en känd identitet till en makt Till vänster visar det sig uppenbarligen till höger 1. Som ett resultat: vilket, eftersom det är lätt att kontrollera, är fel. Orsak till felet: att höja till en potens ger både vänster och höger en oändlig uppsättning värden(för olika ), så regeln är inte tillämplig här. Noggrann tillämpning av formlerna för att bestämma den komplexa graden ger till vänster och till höger, härifrån kan man se att roten till felet är förvirringen av värdena för detta uttryck för och för
Eftersom uttrycket använder två symboler ( och ), kan det betraktas som en av de tre funktionerna.
Uttrycket (noll till nollpotensen) anses av många läroböcker vara odefinierat och meningslöst, eftersom, som noterats ovan, funktionen vid (0, 0) är diskontinuerlig. Vissa författare föreslår att acceptera konventionen att detta uttryck är lika med 1. I synnerhet då expansionen till en serie av exponenten:
kan skrivas kortare:
Det bör varnas för att konventionen är rent symbolisk och inte kan användas i vare sig algebraiska eller analytiska transformationer på grund av diskontinuiteten i funktionen vid denna tidpunkt.
I Europa skrevs till en början storleksgraden i verbala förkortningar (q eller Q betecknade en kvadrat, c eller C - en kub, bq eller qq - en biquadrate, det vill säga den 4:e graden, etc.) eller som en produkt - till exempel avbildades den när Otred skrev ner på följande sätt: (om det bara finns en okänd, tilldelades hon ofta inte en bokstavsikon) [9] . Den tyska skolan av kossister erbjöd ett speciellt gotiskt märke för varje grad av det okända.
På 1600-talet började tanken på att uttryckligen ange exponenten gradvis segra. Girard (1629), för att höja en siffra till en potens, satte en indikator inom parentes före detta nummer, och om det inte fanns något nummer till höger om indikatorn, innebar detta att närvaron av en okänd i den angivna graden antyddes [ 10] ; till exempel menade han . Pierre Erigon och skotske matematikern James Hume föreslog placeringsalternativ för exponenten , de skrev i formen respektive [11 ] .
Den moderna uppteckningen av exponenten - till höger och ovanför basen - introducerades av Descartes i hans " Geometry " (1637), dock endast för naturliga krafter större än 2 (kvadrering under en lång tid betecknades på det gamla sättet, av produkten). Senare utvidgade Wallis och Newton (1676) den kartesiska skrivformen till negativa och fraktionerade exponenter, vars tolkning vid denna tidpunkt redan var känd från verk av Orem , Shuquet , Stevin , Girard och Wallis själv. I början av 1700-talet var alternativen för att skriva grader "enligt Descartes", som Newton uttryckte det i " Universal Arithmetic ", "omoderna " . Den exponentiella funktionen , det vill säga att höja i varierande grad, förekom först i bokstäver och sedan i Leibniz (1679) skrifter. Att höja sig till en imaginär makt motiverades av Euler (1743) [11] [12] .
Med tillkomsten av datorer och datorprogram uppstod problemet att det i texten till datorprogram är omöjligt att skriva examen i en "tvåvånings"-form. I detta avseende uppfanns speciella ikoner för att indikera exponentieringens funktion. Den första sådana ikonen var två asterisker : " **", som används på Fortran- språket . På Algol- språket, som dök upp lite senare, användes pilikonen : " ↑" ( Knuths pilar ). I BASIC-språket föreslås symbolen " ^" (" circumflex ", aka " caret "), som har vunnit störst popularitet; det används ofta när man skriver formler och matematiska uttryck, inte bara i programmeringsspråk och datorsystem, utan också i vanlig text . Exempel:
3^2 = 9; 5^2 = 25; 2^3 = 8; 5^3 = 125.Ibland i datorsystem och programmeringsspråk har exponentieringsikonen lämnat associativitet , i motsats till den konventionella konventionen i matematik om höger associativitet av exponentiering. Det vill säga att vissa programmeringsspråk (till exempel Excel- programmet ) kan uppfatta notationen a^b^csom (a^b)^c, medan andra system och språk (till exempel Haskell , Perl , Wolfram|Alpha och många andra) kommer att bearbeta denna notation från höger till vänster: a^(b^c), som är brukligt i matematik: .
Några symboler för exponentiering i programmeringsspråk och datorsystem är:
Många programmeringsspråk (som Java , C och Pascal ) har inte exponentieringsoperationen och använder standardfunktioner för detta ändamål .
Exponentiering med en naturlig exponent kan definieras inte bara för tal, utan också för icke-numeriska objekt för vilka multiplikation är definierad - till exempel till matriser , linjära operatorer , mängder (relativt den kartesiska produkten , se Kartesisk grad ).
Vanligtvis betraktas denna operation i någon multiplikativ monoid ( halvgrupp med identitet) och definieras induktivt [13] för alla :
Av särskilt värde är tillämpningen av exponentiering på grupper och fält , där en direkt analog av negativa potenser uppstår.
Exponentieringshyperoperatorn är tetration .