Exponentiell funktion

En exponentialfunktion är en matematisk funktion , där den kallas gradens bas och är exponenten . ${\displaystyle f(x)=a^{x))$ $a$ $x$

I det verkliga fallet är gradens bas ett icke-negativt reellt tal (för negativa tal definieras inte höjning till en reell icke-heltalspotens), och funktionsargumentet är en reell exponent. $a$
I teorin om komplexa funktioner betraktas ett mer allmänt fall, när ett godtyckligt komplext tal kan vara ett argument och en exponent .
I sin mest allmänna form introducerades den av Leibniz 1695. $u^{v}$

Det fall då talet e fungerar som bas för graden är särskilt framhävt . En sådan funktion kallas en exponent (reell eller komplex). Samtidigt, på grund av det faktum att vilken positiv bas som helst kan representeras som en potens av talet e, används ofta begreppet "exponent" istället för begreppet "exponentiell funktion". $a$

Verklig funktion

Definition av en exponentiell funktion

Låta vara ett icke-negativt reellt tal, vara ett rationellt tal : . Sedan bestäms den utifrån egenskaperna hos en examen med en rationell exponent, enligt följande regler. $a$ $x$ $x={\frac {m}{n}}$ $a^{x}$

Om , då . $x>0$ $a^{x}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$
Om och , då . $x=0$ $a\neq 0$ $a^{x}=1$
- Betydelsen är odefinierad (se Noll till nollpotensen ). $0^{0}$
Om och , då . $x<0$ $a>0$ $a^{x}={\frac {1}{a^{|x|}}}={\frac {1}{\sqrt[{n}]{a^{|m|}}} }$
- Värdet för är inte definierat. $a^{x}$ $x<0,a=0$

För en godtycklig verklig indikator kan värdet definieras som gränsen för sekvensen $x$ $a^{x}$

a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{r_{n))

där är en sekvens av rationella tal som konvergerar till . Det är $\{r_{n}\}$ $x$

\lim _{n\to \infty }r_{n}=x

Egenskaper

Exponentieringsegenskaper:

$a^{0}=1$
$a^{x+y}=a^{x}\,a^{y}$
${\displaystyle (a^{x})^{y}=a^{xy))$
$(ab)^{x}=a^{x}\,b^{x}$
$a^{x}$ / = $b^{x}$ ${\displaystyle (a/b)^{x))$

Monotona intervall:

För , exponentialfunktionen ökar överallt, och: $a>1$

$\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n}}{a^{x}}}=0$ (för alla ) $n$
$\lim _{x\to -\infty }a^{x}=0$

För minskar funktionen respektive, och: $0<a<1$

$\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{n}}{a^{x}}}=0$ (för alla ) $n$
$\lim _{x\to \infty }a^{x}=0$

Det vill säga, exponentialfunktionen växer i oändlighet snabbare än något polynom . Den stora tillväxttakten kan till exempel illustreras med pappersvikningsproblemet .

Omvänd funktion:

I analogi med introduktionen av rotfunktionen för potensfunktionen introducerar vi den logaritmiska funktionen , inversen av exponentialen:

f(x)=a^{x},\quad f^{-1}(x)=\log _{a}x

( baslogaritm )

x

a

Nummer e:

Vi noterar den unika egenskapen för exponentialfunktionen, vi hittar (ett sådant tal vars derivata av exponentialfunktionen är lika med själva funktionen): $a_{0}:(a_{0}^{x})'_{x}=a_{0}^{x}$ $a$

{\frac {d}{dx}}a_{0}^{x}=a_{0}^{x}\;\Leftrightarrow \;a_{0}^{x+dx}-a_{0 }^{x}=a_{0}^{x}\,dx

Möjligheten att definiera är lätt att se efter förkortningen för : $a_{0}$ ${\displaystyle a_{0}^{x))$

{\displaystyle a_{0}^{dx}=1+dx\;\Leftrightarrow \;a_{0}=\left(1+dx\right)^{1/dx))

När vi väljer får vi äntligen Euler-numret : $dx=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n))$

a_{0}\equiv e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}

Observera att funktionen kan representeras på ett annat sätt som en serie: (det är lätt att fastställa giltighet genom term-för-term differentiering): $e^{x}$

e^{x}=\summa _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{ 3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots

Varifrån har vi en mer exakt uppskattning:

e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!)}}

Det unika hos ett nummer är lätt att visa genom att variera . Faktum är att om den passerar någonstans högre än , så finns det på samma intervall ett område där . $e$ $e^{x}$ ${\displaystyle e_{1}^{x))$ $e^{x}$ $(e_{1}^{x})'<e^{x}$

Differentiering:

Med hjälp av den naturliga logaritmfunktionen kan man uttrycka en exponentiell funktion med en godtycklig positiv bas i form av exponenten. Genom egenskapen för graden: , varav genom egenskapen för exponenten och genom regeln om differentiering av en komplex funktion: $\ln \,x:e^{\ln x}=x$ ${\displaystyle a^{x}=e^{\ln(a)\,x))$

{\displaystyle (a^{x})'=\ln(a)a^{x))

Obestämd integral:

\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C

Potentiering och antilogaritmen

Potentiering (från tyska potenzieren [K 1] ) - hitta ett tal genom det kända värdet av dess logaritm [1] , det vill säga att lösa ekvationen . Av definitionen av logaritmen följer att höjning till en potens kan kallas med andra ord "potentiering med bas ", eller beräkningen av en exponentiell funktion av . $\log _{a}x=b$ $x=a^{b}$ $a$ $b$ $b$ $a$ $b$

Antilogaritmen [2] för talet x är resultatet av potentiering, det vill säga talet vars logaritm (för en given bas ) är lika med talet [2] [3] : $a$ $x$

\operatorname {ant} \log _{a}{x}=a^{x}.

Termen "antilogaritm" introducerades av Wallis 1693 [4] . Som ett självständigt begrepp används antilogaritmen i logaritmiska tabeller [5] , diaregler , mikroräknare . Till exempel, för att extrahera kubroten av ett tal med logaritmiska tabeller, bör du hitta logaritmen för talet dividerat med 3 och sedan (med hjälp av tabellen över antilogaritmer) hitta antilogaritmen för resultatet. $a$ $a,$

I likhet med logaritmer kallas antilogaritmen till bas eller 10 naturlig [6] respektive decimal. $e$

Antilogaritmen kallas även den inverterade logaritmen [3] .

I tekniska kalkylatorer representeras potentiering standardmässigt som två funktioner: och . $e^{x}$ $10^{x}$

Komplex funktion

För att utöka exponenten till det komplexa planet, definierar vi det med samma serie, och ersätter det verkliga argumentet med ett komplext:

e^{z}=\summa _{n=0}^{\infty }{z^{n} \over n!}=1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{ 3} \over 3!}+{z^{4} \over 4!}+\cdots

Denna funktion har samma grundläggande algebraiska och analytiska egenskaper som den verkliga. Genom att separera den verkliga delen från den imaginära delen i serien får vi den berömda Euler-formeln : $e^{{ix}}$

e^{ix}=\cos x+i\sin x

Detta innebär att den komplexa exponenten är periodisk längs den imaginära axeln:

{\displaystyle e^{z+2\pi i}=e^{z))

En exponentiell funktion med en godtycklig komplex bas och en exponent beräknas enkelt med hjälp av den komplexa exponenten och den komplexa logaritmen .

Exempel: ; eftersom (huvudvärdet av logaritmen) får vi slutligen: . $i^{i}=e^{i\cdot \ln(i)}$ $\ln(i)=i{\frac {\pi }{2}}$ $i^{i}=e^{i{\frac {i\pi }{2}}}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}$

Se även

Anteckningar

↑ Potentiation / Mathematical Encyclopedic Dictionary, M . : Soviet Encyclopedia, 1988, s. 479.
↑ 1 2 Antilogaritm / Mathematical Encyclopedic Dictionary , M .: Soviet Encyclopedia, 1988, s. 73.
↑ 1 2 Antilogaritm / Vinogradov, Mathematical Encyclopedia, Volym 1.
↑ 1600-talets matematik // Matematikens historia, i tre volymer / Redigerad av A.P. Yushkevich . - M . : Nauka, 1970. - T. II. - S. 56.
↑ Logaritmiska tabeller / Mathematical Encyclopedic Dictionary, M . : Soviet Encyclopedia, 1988, s. 330.
↑ Finansiella instrument - Författarteam - Google Books . Hämtad 8 juli 2021. Arkiverad från originalet 9 juli 2021. (obestämd)

Kommentarer

↑ Termen hittades först av den schweiziske matematikern Johann Rahn (1659).

Litteratur

Fikhtengolts G. M. Kurs för differential- och integralkalkyl, volym I, II. - M .: Fizmatlit , 2001. - ISBN 5-9221-0156-0 ,. - ISBN 5-9221-0155-2 .
Antilogaritm // Stora sovjetiska encyklopedin : [i 30 volymer] / kap. ed. A. M. Prokhorov . - 3:e uppl. - M . : Soviet Encyclopedia, 1969-1978.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor ryss Britannica (online) Treccani