Tetration

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 17 april 2021; kontroller kräver 6 redigeringar .

Tetration ( hyperoperator-4 ) i matematik är en iterativ funktion av exponenten, nästa hyperoperator efter exponentiering . Tetration används för att beskriva stora tal.

Termen "tetration" , som består av orden " tetra- " (fyra) och " iteration " (upprepning), användes först av den engelske matematikern Reuben Goodstein 1947 [ 1] .

Definitioner

Tetration som ett krafttorn

För alla positiva reella tal och icke-negativa heltal kan tetration definieras rekursivt: $a>0$ $n\geqslant 0$ ${}^{n}a$

${}^{0}a=1,$
${}^{n}a=a^{{({}^{{n-1}}a)}},\,n>0.$

Enligt denna definition börjar beräkningen av tetration, skriven som ett "krafttorn", exponentiering från de längsta nivåerna till den initiala (i denna notation, från den högsta exponenten):

{}^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=2^{\left(2^{\left(2^{2}\right)}\right)} =2^{(2^{4})}=2^{16}=65536.

Eller:

{}^{5}2=2^{{2^{{2^{{2^{2}}}}}}}=2^{{\left(2^{{\left(2^{{ \left(2^{2}\right)}}\right)}}\right)}}=2^{{(2^{{16}})}}=2^{{65536}}.

Samtidigt, eftersom exponentiering inte är en associativ operation , kommer beräkningen av uttrycket i en annan ordning att leda till ett annat svar:

2^{{2^{{2^{2}}}}}\neq \left((2^{2})^{2}\right)^{2}=2^{{2\cdot 2\ cdot 2}}=2^{8}=256.

Eller:

2^{{2^{{2^{{2^{2}}}}}}}\neq \left(((2^{2})^{2})^{2}\höger)^{ 2}=2^{{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}}=2^{{16}}=65536.

Således måste krafttorn beräknas uppifrån och ner (eller från höger till vänster), det vill säga, de har rätt associativitet.

Tetration som hyperoperator

Tetration är den fjärde hyperoperationen i rad :

tillägg : $a+b=a+\underbrace {1+1+\ldots +1}_{b};$
multiplikation : $a\times b=\underbrace {a+a+\ldots +a}_{b};$
exponentiering : $a^{b}=\underbrace {a\times a\times \ldots \times a}_{b};$
tetration: ${^{b}a}=\underbrace {a^{{a^{{\cdot ^{{\cdot ^({\cdot ^{a)))))))))))))_{b} .$

Här är varje operation en iteration av den föregående.

Egenskaper

Tetration anses inte vara en elementär funktion (förutom fall med en konstant naturlig exponent, när tetration uttrycks som ett krafttorn med konstant höjd).
På grund av icke- kommutativitet har tetration två inversa operationer - superlogaritm och superrot (liknande hur exponentiering har två inversa funktioner: aritmetisk rot och logaritm ).

För tetration, i det allmänna fallet, är följande egenskaper som är karakteristiska för de tidigare operatörerna felaktiga:

${}^{b}({}^{c}a)\neq {}^{c}({}^{b}a)$ , till exempel: men . ${}^{3}({}^{2}2)=({}^{2}2)^{({}^{2}2)^{({}^{2}2) }}=4^{4^{4}}=4^{256}$ ${}^{2}({}^{3}2)=({}^{3}2)^{({}^{3}2)}=16^{16}=4^{ 32}$
${}^{b+c}a$ är inte lika med varken , eller , till exempel: , eftersom . ${}^{b}a+{}^{c}a$ ${}^{b}a\times {}^{c}a$ ${}^{1+2}3={}^{3}3=3^{27}\neq {}^{1}3+{}^{2}3\neq {}^{1 }3\ gånger {}^{2}3$ ${}^{1}3+{}^{2}3=30;{}^{1}3\ gånger {}^{2}3=81$

Obs: dock sant eller . $\underbrace {\log _{a}{\log _{a}{...{\log _{a))))} _{b}{({}^{b+c}a) }={}^{c}a$ $\underbrace {\log _{a}{\log _{a}{...{\log _{a))))} _{c}{({}^{b+c}a) }={}^{b}a$

Tetration minus ett är lika med minus ett:

${^{n}(-1)}=\underbrace {(-1)^{(-1)^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{(-1))))))) } } _{n}=-1,n>0$

Terminologi

Det finns flera termer för att definiera begreppet tetration , och var och en av dem har sin egen logik, men några av dem har inte blivit allmänt accepterade av en eller annan anledning. Nedan följer några sådana exempel.

Termen tetration , som användes av Reuben Goodstein 1947 i Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory (en generalisering av de rekursiva representationerna i Goodsteins teorem som används för högre operatorer), dominerar terminologin. Termen populariserades också i Infinity and the Mind av Rudy Rucker .
Termen "superexponentiation" publicerades av Bromer i hans arbete "Superexponentiation " 1987 . [2] Termen användes tidigare av Ed Nelson i hans bok Predicative Arithmetic [3 ] .
Termen "hyperpower" ( engelska hyperpower ) [4] är en naturlig kombination av begreppen "hyper-" och "grad" , som på lämpligt sätt beskriver tetration. Problemet ligger i själva begreppet "hyper" i förhållande till hierarkin av hyperoperatörer . När vi betraktar hyperoperatorer hänvisar termen "hyper" till alla rangord och termen "super" syftar på rang 4, eller tetration. Under dessa omständigheter kan alltså begreppet "hypergrad" vara missvisande, eftersom det endast hänvisar till begreppet tetration.
Termen "power tower" ( engelska power tower ) [5] används ibland, i formen "power tower of order " för . $n$ $\underbrace {a^{{a^{{\cdot ^{{\cdot ^({\cdot ^{a))))))))))_{n}$

Tetration förväxlas också ofta med andra närbesläktade funktioner och uttryck. Nedan finns några relaterade termer:

Formen	Terminologi
$a^{{a^{{\cdot ^{{\cdot ^({\cdot ^{a))))))))))))}$	tetration
$a^{{a^{{\cdot ^{{\cdot ^({\cdot ^{{a^{x))))))))))))}$	Iterativa exponenter
$a_{1}^{{a_{2}^{{\cdot ^{{\cdot ^({\cdot ^{{a_{n))))))))))))}$	Kapslade utställare (även torn)
$a_{1}^{{a_{2}^{{a_{3}^{{\cdot ^({\cdot ^{\cdot )))))))))}}$	Oändliga exponenter (även torn)

De två första uttrycken har en bas , och talet som visas är höjden . I det tredje uttrycket finns det en höjd men alla baser är olika. $a$ $a$ $n$

Notation

Notationssystem där tetration kan användas (av vilka vissa tillåter användning av ännu högre iterationer) inkluderar:

namn	Formen	Beskrivning
Standardnotation	${}^{n}a$	Används av Maurer [1901] och Goodstein [1947]; populär i Infinity and the Mind av Rudy Ruecker .
Knuth pilnotation	$a{\uparrow \uparrow }n$	Tillåter förlängning genom att lägga till inkrementella eller indexerade pilar, vilket är mer kraftfullt.
Conway kedja	$a\till n\till 2$	Tillåter förlängning genom att lägga till 2 (motsvarande metoden ovan), men ett ännu kraftfullare sätt att skriva är också möjligt genom att öka kedjan.
Ackermann funktion	${}^{n}2={\mathrm {A}}(4,\;n-3)+3$	Tillåter ett specialfall skriftligt när det gäller Ackermann-funktionen. $a=2$
Iterabel exponentiell notation	${}^{n}a=\exp _{a}^{n}(1)$	Tillåter enkel utökning till iterativa exponenter som börjar på andra värden än 1.
Hoosmand notation ( engelska Hooshmand ) [6]	${\mathrm {uxp}}_{a}n,\quad a^{{\frac {n}{}}}$
Hyper- operator notationssystem	$a^{{(4)}}n,\quad {\mathrm {hyper}}_{4}(a,\;n)$	Tillåter förlängning genom att lägga till 4; detta ger en familj av hyperoperatorer .
ASCII- skrivsystem	a^^n	Eftersom den uppåtriktade pilbeteckningen används identiskt med fältmarkeringen ( ^), kan tetrationsoperatorn skrivas som ( ^^).
Bowers / Bird array notation [7]	{a,b,2}	{a, b, c} = a^^^…^^^b (c supergradspilar).

Ett av systemen ovan använder en itererad exponentnotation; i allmänhet definieras det enligt följande:

\exp _{a}^{n}(x)=\underbrace {a^{{a^{{\cdot ^({\cdot ^({\cdot ^{{a^{x))))))) ) }}}}}}_{n}.

Det finns inte många notationer för itererade exponenter, men några visas nedan:

namn	Formen	Beskrivning
Standardnotation	$\exp _{a}^{n}(x)$	Notationssystemet och det iterativa notationssystemet introducerades av Euler . $\exp _{a}(x)=a^{x}$ $f^{n}(x)$
Knuth pilnotation	$(a{\uparrow })^{n}(x)$	Tillåter superkrafter och superexponentiala funktioner för att öka antalet pilar.
Hyper-E notation	E(a)x#n
Ioannis Galidakis ( eng . Ioannis Galidakis ) notationssystem	${}^{n}(a,\;x)$	Tillåter användning av stora uttryck i basen. [åtta]
ASCII (ytterligare)	a^^n@x	Baserat på uppfattningen att den iterativa exponenten är en ytterligare tetration .
ASCII (standard)	exp_a^n(x)	Baserat på standardnotationen.

Exempel

I tabellen nedan är de flesta av värdena för stora för att skrivas i exponentiell notation, så en iterativ exponentnotation används för att representera dem i bas 10. Värden som innehåller en decimalpunkt är ungefärliga. Till exempel, den fjärde tetrationen från 3 (dvs. ) börjar med 1258, slutar med 39387 och har 3638334640025 siffror, OEIS -sekvensen är A241292 . ${\displaystyle 3^{3^{3^{3))))$

$x$	${}^{2}x$	${}^{3}x$	${}^{4}x$
ett	ett	ett	ett
2	fyra	16	65 536
3	27	7 625 597 484 987	$\exp _{{10}}^{3}(1{,}09902)$
fyra	256	$\exp _{{10}}^{2}(2{,}18788)$	$\exp _{{10}}^{3}(2{,}18726)$
5	3 125	$\exp _{{10}}^{2}(3{,}33931)$	$\exp _{{10}}^{3}(3{,}33928)$
6	46 656	$\exp _{{10}}^{2}(4{,}55997)$	$\exp _{{10}}^{3}(4{,}55997)$
7	823 543	$\exp _{{10}}^{2}(5{,}84259)$	$\exp _{{10}}^{3}(5{,}84259)$
åtta	16 777 216	$\exp _{{10}}^{2}(7{,}18045)$	$\exp _{{10}}^{3}(7{,}18045)$
9	387 420 489	$\exp _{{10}}^{2}(8{,}56784)$	$\exp _{{10}}^{3}(8{,}56784)$
tio	10 000 000 000	$\exp _{{10}}^{3}(1)$	$\exp _{{10}}^{4}(1)$

Öppna nummer

Det är inte känt om n π eller n e är heltal för något naturligt n > 4 . Det är inte ens känt om den är hel ${^4\pi}=\pi^{\pi^{\pi^\pi}}$ .
Det är inte känt om kan vara ett rationellt tal om är ett heltal större än 3, och är ett rationellt, men inte ett heltal (för svaret är negativt) [9] . ${^nq}$ $n$ $q$ $n=2,\,3$
Det är inte känt för något heltal om den positiva roten av ekvationen är ett rationellt, algebraiskt irrationellt eller transcendentalt tal . $n>3$ ${^{n}x}=2$

Anteckningar

↑ Goodstein RL Transfinita ordinaler i rekursiv talteori (neopr.) // Journal of Symbolic Logic. - 1947. - T. 12 . - doi : 10.2307/2266486 .
↑ Bromer N. Superexponentiation // Matematiktidskrift : tidskrift . - 1987. - Vol. 60 , nej. 3 . - S. 169-174 . Arkiverad från originalet den 27 januari 2017.
↑ Nelson E. Predikativ aritmetik. — Princeton University Press, 1986.
↑ MacDonnell JF Några kritiska punkter i hypermaktsfunktionen $\scriptstyle {x^{{x^{{\dots }}}}}$ // International Journal of Mathematical Education: journal. - 1989. - Vol. 20 , nej. 2 . - S. 297-305 .
↑ Weisstein, Eric W. Power Tower på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ Hooshmand MH Ultrakraft och ultraexponentiella funktioner (neopr.) // Integraltransformer och specialfunktioner. - 2006. - T. 17 , nr 8 . - S. 549-558 . - doi : 10.1080/10652460500422247 .
↑ Källa . Tillträdesdatum: 20 januari 2013. Arkiverad från originalet 21 oktober 2014. (obestämd)
↑ Galidakis I. Om att förlänga hyper4 och Knuths upp-pil notation till verkligheten Arkiverad 25 maj 2006 på Wayback Machine .
↑ Marshall, Ash J., och Tan, Yiren, "Ett rationellt tal av formen a a med ett irrationellt", Mathematical Gazette 96, mars 2012, s. 106-109. . Hämtad 28 april 2013. Arkiverad från originalet 6 maj 2014. (obestämd)

Länkar

Webbplats om tetration av Andrew Robins .
Webbplats om tetration av Daniel Geisler .
Tetracys diskussionsforum .
Kuznetsov D. Tetration som specialfunktion // Vladikavkaz Mathematical Journal. — 2010.

Stora siffror
Tal	googol Shannon nummer Googolplex Skeves nummer Moser nummer Graham nummer TRÄD(3) Rayo nummer
Funktioner	Ackermann funktion Veblen funktion Psi-funktioner för Buchholz tetration Pentation Hyperoperator Snabbväxande hierarki Långsamt växande hierarki Härlig hierarki
Noteringar	Steinhaus-Moser notation Knuth pilnotation Conway pil notation Massiv Bowers Notation