Härlig hierarki

Hardy-hierarkin, som föreslogs av den engelske matematikern Godfrey Hardy 1904, är en familj av funktioner , där det finns en stor räkneordinal , sådan att grundläggande sekvenser tilldelas alla limitordinaler mindre än . Hardy-hierarkin definieras enligt följande: $(H_{\alpha }:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} )_{\alpha <\mu }$ $\mu$ $\mu$

$H_{0}(n)=n$
$H_{\alpha +1}(n)=H_{\alpha }(n+1)$
$H_{\alpha }(n)=H_{\alpha [n]}(n)$ , om och endast om är en limitordinal, $\alpha$

där betecknar det :te elementet i grundsekvensen som är tilldelad limitordinal . $\alpha [n]$ $n$ $\alpha$

Varje ordinal som inte är noll kan representeras i unik Cantor-normalform där är den första transfinita ordinalen, . $\alpha <\varepsilon _{0}=\min\{\beta |\beta =\omega ^{\beta }\}$ $\alpha =\omega ^{\beta _{1}}+\omega ^{\beta _{2}}+\cdots +\omega ^{\beta _{k-1}}+\omega ^{\beta _{k}},$ $\omega$ $\alpha >\beta _{1}\geq \beta _{2}\geq \cdots \geq \beta _{k-1}\geq \beta _{k}$

Om , då är en limitordinal och kan tilldelas en grundläggande sekvens enligt följande: $\beta _{k}>0$ $\alpha$

$\alpha [n]=\omega ^{\beta _{1}}+\omega ^{\beta _{2}}+\cdots +\omega ^{\beta _{k-1}}+\left\{{\begin{array}{lcr}\omega ^{\gamma }n{\text{, если }}\beta _{k}=\gamma +1\\\omega ^{\beta _{k}[n]}{\text{, если }}\beta _{k}{\text{ - предельный ординал.}}\\\end{array}}\right.$

Om , då och . $\alpha =\varepsilon _{0}$ $\alpha [0]=0$ $\alpha [n+1]=\omega ^{\alpha [n]}$

Genom att använda detta system av grundläggande sekvenser kan man definiera Hardy-hierarkin upp till det första antalet epsiloner . $\varepsilon _{0}$

För Hardy-hierarkin är relaterad till den snabbt växande hierarkin enligt jämställdheten $\alpha <\varepsilon _{0}$

$H_{\omega ^{\alpha }}(n)=f_{\alpha }(n)$

och vid , "kommer ikapp" Hardy-hierarkin den snabbt växande hierarkin, det vill säga, $\alpha =\varepsilon _{0}$

$f_{\varepsilon _{0}}(n-1)\leq H_{\varepsilon _{0}}(n)\leq f_{\varepsilon _{0}}(n+1)$ för alla . $n\geq 1$

Kraftfullare system med grundläggande sekvenser finns på följande sidor:

Jämlikheten gäller även för Hardy-hierarkin . $H_{\alpha +\beta }(n)=H_{\alpha }(H_{\beta }(n))$

Se även

Länkar

Hardy,GH En sats om de oändliga kardinaltalen. Quarterly Journal of Mathematics (1904) vol.35 s.87–94

Stora siffror
Tal	googol Shannon nummer Googolplex Skeves nummer Moser nummer Graham nummer TRÄD(3) Rayo nummer
Funktioner	Ackermann funktion Veblen funktion Psi-funktioner för Buchholz tetration Pentation Hyperoperator Snabbväxande hierarki Långsamt växande hierarki Härlig hierarki
Noteringar	Steinhaus-Moser notation Knuth pilnotation Conway pil notation Massiv Bowers Notation